200 likes | 336 Views
ENE 206 MATLAB Laboratory. Lab 3: การใช้ MATLAB สำหรับการสร้างแบบจำลองเพื่อวิเคราะห์ (ต่อ). โจทย์ปัญหาการหาค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีเอกซ์ในตัวกลางที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่คงที่.
E N D
ENE 206 MATLAB Laboratory Lab 3: การใช้ MATLAB สำหรับการสร้างแบบจำลองเพื่อวิเคราะห์(ต่อ)
โจทย์ปัญหาการหาค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีเอกซ์ในตัวกลางที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่คงที่โจทย์ปัญหาการหาค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีเอกซ์ในตัวกลางที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่คงที่ พิจารณาระบบรังสีเอกซ์ (X-ray) ผ่านตัวกลางที่มีค่าการลดทอนรังสีไม่คงที่ตัวกลางหนึ่ง ซึ่งตัวกลางดังกล่าวสามารถแบ่งออกเป็นเมตริกซ์ที่มีค่าการลดทอนคงที่ได้ดังรูป ในการหาค่าการลดทอนดังกล่าว กระทำได้โดยการทดลองผ่านกลุ่มของรังสีเอกซ์ขาเข้าในทิศทางต่าง ๆ แล้ววัดค่าความเข้มของกลุ่มรังสีเอกซ์ขาออกภายหลังตัวกลางในทิศทางนั้น ๆ เทียบกับความเข้มรังสีตั้งต้น 0.2I0 0.3I0 I0 0.4I0 0.1I0
หลักการของรังสีเอกซ์ ก่อนการคำนวณหาค่าการลดทอนที่ซับซ้อนดังกล่าว จึงจำเป็นต้องทราบหลักการลดทอนของรังสีเอกซ์เบื้องต้นก่อน ซึ่งการลดทอนของรังสีเอกซ์จะเป็นไปในแบบเอกซ์โพเนนเชียล กล่าวคือ หากผ่านรังสีเอกซ์ที่มีความเข้มตั้งต้น I0 ผ่านตัวกลางที่มีความยาวเท่ากับ x และค่าการลดทอนคงที่เท่ากับ µ รังสีเอกซ์ขาออกที่เหลือจะมีค่าเท่ากับ I0e–µx ตามรูป I0 0.2I0 = I0e–µx ← x →
หลักการของรังสีเอกซ์ (ต่อ) ดังนั้นในกรณีทั่ว ๆ ไปที่รังสีเอกซ์ผ่านตัวกลางที่มีค่าการลดทอนคงที่มากกว่าหนึ่งค่าและมีความยาวในช่วงการลดทอนต่าง ๆ ดังรูปข้างล่าง จะได้ว่าค่ารังสีเอกซ์ขาออกที่เป็นผลลัพธ์จากการผ่านตัวกลางดังกล่าวมีค่าเท่ากับ 0.2I0 = I0e–(µ1·x1 + µ2·x2 + µ3·x3 + µ4·x4) เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณ กำหนดให้ค่าความยาวของตัวกลางแต่ละช่วงมีค่าเท่า ๆ กัน x ดังนั้นสมการดังกล่าวจะลดรูปเป็น 0.2I0 = I0e–(µ1 + µ2 + µ3 + µ4) · x I0 0.2I0 ← x1 → ← x2 → ← x3 → ← x4 →
ประยุกต์หาความสัมพันธ์ของค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีเอกซ์ประยุกต์หาความสัมพันธ์ของค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีเอกซ์ I0 ดังนั้นสมมติให้ตัวกลางมีค่าการลดทอนแบ่ง เป็น 16 ช่วงเท่า ๆ กันเป็นเมตริกซ์ดังรูปด้านขวา และได้ทำการทดลองวัดค่าความเข้มของ กลุ่มรังสีเอกซ์ขาออกที่ทิศทางต่าง ๆ ตามรูป จะได้ความสัมพันธ์รังสีเอกซ์ขาเข้าและขาออก เป็น 0.2I0 0.3I0 I0 0.4I0 0.1I0 0.4I0 0.5I0 0.1I0 0.3I0
ความสัมพันธ์ในรูปแบบเมตริกซ์ความสัมพันธ์ในรูปแบบเมตริกซ์ จัดรูปสมการใหม่จะได้
ความสัมพันธ์ในรูปแบบเมตริกซ์ (ต่อ) เห็นได้ว่าในกรณีทั่ว ๆ ไปที่ตัวกลางมีความยาวแต่ละช่วงไม่คงที่ สมการเมตริกซ์จะเป็นดังนี้ ดังนั้น โดยหลักการค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนทั้ง 16 ค่า สามารถหาได้จากการแก้สมการเมตริกซ์ดังกล่าว
การแก้สมการเมตริกซ์ การแก้สมการเมตริกซ์ที่กล่าวมาแล้วสามารถกระทำได้หลายรูปแบบ วิธีที่ง่ายที่สุดคือการหาค่าจากวิธี Inverse method โดย µ = A-1b อย่างไรก็ดี วิธีดังกล่าวมีข้อจำกัดของการหา inverse ของเมตริกซ์ A ซึ่งโดยปกติ rank(A) จำเป็นต้องมีค่าเท่ากับจำนวนตัวแปรของเวคเตอร์ µ จะเห็นได้ว่าวิธีดังกล่าวอาจไม่สามารถใช้ได้ในทางปฏิบัติ ดังที่โจทย์ปัญหาตัวอย่างที่ตั้งขึ้น เนื่องจากมีรังสีเอกซ์ที่ทำการทดลองเพียง 8 เส้นรังสี ทำให้ได้เพียงแค่ 8 สมการความสัมพันธ์ หรือ rank(A) < 16 การแก้ปัญหาดังกล่าวจึงต้องการอัลกอริทึมที่แก้ปัญหาสมการเมตริกซ์แบบ underdetermined
เทคนิคการสร้างข้อมูลคืนทางพีชคณิต (Algebraic Reconstruction Technique: ART) I0 เป็นเทคนิคที่ถูกนำมาใช้ในการคำนวณ ระบบสมการเมตริกซ์แบบ underdetermined ของโจทย์ปัญหารังสีเอกซ์ดังกล่าวด้วยวิธีวนซ้ำ (iterative algorithm) 0.2I0 0.3I0 I0 0.4I0 0.1I0 0.4I0 0.5I0 0.1I0 0.3I0
หลักการวนซ้ำเพื่อปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนหลักการวนซ้ำเพื่อปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน หลักการวนซ้ำสำหรับการหาค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน จะสมมติค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นค่าตั้งต้น จากนั้นจะมีกระบวนการในการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดตามข้อมูลรังสีเอกซ์ทุกทิศทางไปเรื่อย ๆ โดยในการปรับปรุงแต่ละรอบจะสามารถคำนวณความเข้มของรังสีเอกซ์ขาออกทั้งหมดเพื่อเปรียบเทียบกับความเข้มของรังสีเอกซ์ขาออกที่วัดจากโจทย์ได้ กระบวนการวนซ้ำจะสิ้นสุดเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ที่คำนวณได้ให้ความผิดพลาดของความเข้มรังสีเอกซ์ขาออกทั้งหมดน้อยกว่าค่าหนึ่งที่ต้องการ
ART1: กำหนดค่าเริ่มต้น • กำหนดค่าเริ่มต้นของเวคเตอร์สัมประสิทธิ์ให้เป็นศูนย์ทั้งหมด • ในที่นี้ เพื่อความเข้าใจระยะความยาวของตัวกลาวแต่ละช่วงกำหนดให้เป็น 1 หน่วย (x = 1) ***ในกรณีทั่วไปค่าสัมประสิทธิ์ใน A จะเปลี่ยนแปลงตามค่าระยะความยาวของตัวกลางด้วย
ART2: ปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี • เลือกกลุ่มทิศทางของรังสีเอกซ์เดียวกันมาหนึ่งทิศทาง (ในที่นี้เลือกแนวนอนก่อน) • ทำการปรับปรุง(update) ค่าสัมประสิทธิ์จากค่าที่สมมติไว้ โดยอาศัยหลักการที่ว่า “ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของตัวกลางที่รังสีเอกซ์เส้นเดียวกันจะถูกปรับปรุงด้วยค่าที่เท่ากัน”ในที่นี้ เลือกรังสีI1เป็นตัวอย่าง หากคำนวณค่าปรับปรุงได้เป็น ∆μ1 ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีแถวแรกจะถูกปรับปรุงเป็น μ1 → μ1 + ∆μ1 μ2 → μ2 + ∆μ1 μ3 → μ3 + ∆μ1 μ4 → μ4 + ∆μ1 0.2I0 → I1 0.3I0→ I2 0.4I0→ I3 0.1I0→ I4 0.4I0 0.5I0 0.1I0 0.3I0
ตัวอย่างการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ตัวอย่างการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ ดังนั้น เมื่อประยุกต์หลักการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ดังกล่าว เข้าจะทำให้การคำนวณค่าสัมประสิทธิ์จากรังสีเอกซ์แถวแรกเป็น
ตัวอย่างการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ตัวอย่างการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ ต่อมา แทนค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนที่สมมติเบื้องต้นเป็นศูนย์ ดังนั้นในรอบแรกของการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ ค่าปรับปรุงในทิศ I1 จะมีค่าเท่า ๆ กันโดยมีค่าเท่ากับ ใช้วิธีเดียวกันคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ปรับปรุงกับรังสีเอกซ์ในทิศทางเดียวกันที่เหลือ I2, I3, และI4 ได้เป็น ∆μ2, ∆μ3, และ∆μ4 ตามลำดับ
ART2: ปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี • หลังจากคำนวณค่าปรับปรุงของสัมประสิทธิ์ในทิศทางที่เลือกไว้แล้ว ให้นำค่าเหล่านี้กลับไปปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกับรังสีเอกซ์ทิศนั้น ๆ ดังนั้นจึงนำค่า∆μ1, ∆μ2, ∆μ3, และ∆μ4 ไปบวกเข้ากับ μ ของรังสี I1, I2, I3, และI4 ตามลำดับ 0.2I0 → I1 0.3I0→ I2 0.4I0→ I3 0.1I0→ I4
ART2: ปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี • หลังจากปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ ค่าความเข้มของรังสีเอกซ์ขาออกในทิศทาง I1, I2, I3, และI4 จะมีค่าเท่ากับค่าที่ให้ในโจทย์เสมอ ดังนั้นให้คำนวณค่าความเข้มของรังสีเอกซ์ขาออกในทิศทางของรังสีที่เหลือคือ I5, I6, I7, และI8 ซึ่งจะไม่ตรงกับค่าความเข้มรังสีขาออกตามที่โจทย์ให้ และคำนวณความผิดพลาดของความเข้มรังสีขาออกโดยเฉลี่ยจากทุกทิศทาง 0.2I0 → I1 0.3I0→ I2 0.4I0→ I3 0.1I0→ I4 0.22I0 0.22I0 0.22I0 0.22I0
การคำนวณค่าความผิดพลาดของความเข้มรังสีเอกซ์ขาออกการคำนวณค่าความผิดพลาดของความเข้มรังสีเอกซ์ขาออก • คำนวณโดยใช้ค่าความผิดพลาดยกกำลังสองที่ต่ำที่สุดต่อหนึ่งหน่วยเซล หรือพิกเซล (Minimized Square Error per pixel) ดังนี้ MSE/pixel = [(0.2I0– 0.2I0)2 + (0.4I0– 0.4I0)2 + (0.3I0– 0.3I0)2 + (0.1I0– 0.1I0)2 + (0.22I0– 0.3I0)2 + (0.22I0– 0.1I0)2 + (0.22I0– 0.5I0)2 + (0.22I0– 0.4I0)2 +] / 8 MSE/pixel = 0.0325I02
ART2: ปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี • หากค่าความผิดพลาดยังอยู่ในระดับที่สูง ให้ทำการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ด้วยวิธีเดียวกัน กับกลุ่มรังสีเอกซ์ในทิศทางถัดไป ในที่นี้คือกลุ่มรังสี I5, I6, I7, และI8 ซึ่งอยู่ในกลุ่มทิศแนวดิ่งเดียวกัน (หากมีกลุ่มรังสีที่มีทิศทางมากกว่าสองทิศทางให้แบ่งการปรับปรุงเป็นกลุ่ม ๆ ตามลำดับใดก็ได้) MSE/pixel = 0.005I02 0.25I0 0.38I0 0.5I0 0.12I0 0.4I0 0.5I0 0.1I0 0.3I0
ART2: ปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี • คำนวณความผิดพลาดโดยเฉลี่ยใหม่ หากยังอยู่ในระดับที่สูง ให้ย้อนกลับไปเริ่มปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในทิศที่เคยทำมาแล้ว (ตามลำดับเดิมที่เคยได้ทำมาตั้งแต่ข้อ 1) กระทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนค่าความผิดพลาดเฉลี่ยอยู่ในระดับที่น้อยมาก จึงหยุดการคำนวณและถือว่าค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนที่ได้เป็นคำตอบของตัวกลางดังกล่าว
แบบฝึกหัด • จงประยุกต์ใช้ ART ตามที่ได้อธิบายมาแล้วกับการทดลองวัดรังสีเอกซ์ในทิศทางต่าง ๆ ดังรูปข้างล่าง โดยให้แสดงผลลัพธ์ของเมตริกซ์ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนที่ได้จากการปรับปรุงด้วยอัลกอริทึม ART ภายหลังจากค่า MSE/pixel มีค่าน้อยกว่า 0.00001I02และ plot กราฟค่า MSE/pixel เทียบกับจำนวนรอบ (iteration) จนกระทั่งอัลกอริทึม ART จบการคำนวณ I0 0.2I0 0.3I0 I0 0.4I0 0.1I0 0.4I0 0.5I0 0.1I0 0.3I0