ÍNDICE

3. ÍNDICE VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS • Unidades de volumen. • Volumen, capacidad y masa. • Densidad. • Volumen de un ortoedro. • Volumen de prismas y cilindros. • Volumen de pirámides y conos. • Volumen de la esfera.

4. ·Unidades de volumen Volumen de un cuerpo El metro cúbico es la unidad principal de medida de volumen. Se escribe .

5. Los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico son:

7. En las unidades de volumen, cada unidad es 1.000 veces mayor que la inmediata inferior y 1.000 veces menor que la inmediata superior.

8. EJEMPLO 1)Expresa en metro cúbicos. • 46 • 82 • 5,6 • 4,3 • 0,2 • 0,04

9. ·Forma compleja e incompleja Las medidas de volumen se pueden expresar en una sola unidad, forma incompleja, o con varias unidades, forma compleja. EJEMPLO 2)Expresa 35.622,31 en forma compleja.

10. 3)Expresa 7

11. ·Volumen de un cuerpo El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. EJEMPLOS 4)Determina el volumen de los cuerpos A, B y C. Tomando el cuerpo A como unidad. Tomando el cuerpo B como unidad. a)

12. 5)Calcula el volumen de un cubo cuya arista mide 2 cm. Este cubo contiene 8 cubitos de 1. El volumen es

13. Volumen de un cuerpo.

14. ·Relación entre las unidades de volumen y capacidad. Volumen, Capacidad y masa Al establecer el Sistema Métrico Decimal, se definió el litro como la capacidad de un cubo de 1 dm de arista, es decir, 1 Un litro es la capacidad de un cubo de 1dm de arista. 1

16. Así, las equivalencias entre las unidades de volumen y capacidad son:

17. ·Relación entre las unidades de volumen y masa. Un litro de agua destilada pesa 1kg. Como 1l = 1 el peso de 1de agua destilada es 1kg. Un kilo es la masa que tiene 1de agua destilada. 11kg.

18. Las equivalencias entre las unidades de volumen y masa son:

19. EJEMPLO: 6)Expresa estas medidas de volumen de agua destilada en litros y kilos. • 32 • 3,2 • 320

20. Densidad Cuando se trata de agua destilada, el número que expresa la masa en kilogramos es el mismo que el expresado por su volumen en . 5kg de agua destilada = 5 de agua destilada. Esto no ocurre con otras sustancias, como, por ejemplo: Mercurio 1 tiene una masa de 13,6 kg.

21. NOTA

22. Aceite 1 tiene una masa de 0,9 kg. Aluminio 1 una masa de 11,4 kg.

23. 8)¿Cuánto pesan 2,5l de mercurio si su densidad es 13,6 kg/l? Planteamos una regla de tres: Si 1l 13,6 kg 2,5l x kg x = 2,5 · 13,6 = 34 kg. Dos litros y medio de mercurio pesan 34 kg.

24. EJEMPLOS 7)Calcula la densidad de un trozo de galena que tiene un volumen de 12 y una masa de 87,6 kg. D=kg/l Decimos que la densidad de la galena es 7,3 kg/l. 8)Expresa la densidad anterior en g/. 7,3 kg/l g/= g/= 7,3 g/ También se puede decir que la galena tiene una densidad de 7,3 g/.

25. ·Volumen de un ortoedro Volumen de un ortoedro El volumen de un ortoedro cuyas aristas miden a, b y c, es:

26. EJEMPLO 10)Calcula el volumen de un ortoedro de aristas 6 cm, 4 cm y 3 cm. Dividimos el ortoedro en cubos de Si consideramos su volumen como el número de cubos que contiene, tenemos que:

27. ·Principio de Cavalieri Observa el montón de paquetes de folios apilados, y a la derecha los mismo folios pero desordenados. En los dos casos el volumen es igual, pues hay el mismo número de folios; además, si cortamos las figuras con un plano paralelo a la base, la sección es igual en los dos montones.

28. Principio de Cavalieri Si, en dos cuerpos de igual altura, las áreas de las secciones producidas por planos paralelos a la base son iguales, los cuerpos tienen el mismo volumen. Según el principio de Cavalieri, un prisma recto y otro oblicuo que tengan la misma altura y cuya área de la base sea idéntica, tendrán igual volumen.

29. ·Volumen del prisma Volumen de prismas y cilindros Según el principio de Cavalieri, el volumen de un ortoedro y de un prisma con igual altura y cuyas bases tengan la misma área será el mismo.

30. El volumen de un prisma con altura h y área de la base , es:

31. ·Volumen del cilindro En el caso del cilindro, tal y como ocurre con el prisma, cualquier sección de un plano paralelo a la base es idéntica a la base. Por tanto, un cilindro y un prisma con la misma altura y con bases de igual área tendrán también el mismo volumen, aplicando el principio de Cavalieri.

32. El volumen de un cilindro de radio r y altura h, es:

33. EJEMPLO 11)Calcula el volumen del prisma y el cilindro. a)

34. b)

35. NOTA

36. Volumen de pirámides y conos

37. ·Volumen de la pirámide Esta pirámide y este prisma tienen la misma altura, h, e igual base ,B.

38. Si llenamos la pirámide con arena fina, comprobamos que para llenar el prisma se necesitaría el contenido de tres pirámides. El volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen del prisma. El volumen de una pirámide con altura h y área de la base es:

39. ·Volumen del cono Esto mismo ocurre entre el cono y el cilindro. El volumen de un cono es la tercera parte del volumen del cilindro con la misma altura e idénticas bases.

40. El volumen de un cono de radior y altura h, es: EJEMPLO 12)Calcula el volumen de un cono de 11 cm de altura y 4 cm de radio.

41. ·Nota Como un cono y una pirámide con la misma altura e idéntica base tienen secciones de igual área. Por el principio de Cavalieri, tienen el mismo volumen.

42. EJEMPLO Calcula el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm. V=

43. Volumen de la esfera

44. El volumen de una esfera se determina a partir de un cilindro que tiene la altura y el diámetro de la base iguales que el diámetro de la esfera. Diámetro esfera = Diámetro cilindro = Altura cilindro = 2r Si llenamos con arena fina la mitad de una esfera y la vaciamos en el cilindro, comprobamos que el contenido de este cuerpo cabe tres veces en el cilindro.

45. El volumen de la mitad de la esfera es un tercio del volumen del cilindro. Luego el volumen de la esfera, que es el doble, es dos tercios del volumen del cilindro. El volumen de la esfera de radio r es:

46. EJEMPLO Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría este agua en una esfera de 20 cm de radio? Por tanto, sí cabría.

47. EJEMPLO 13)Calcula el volumen de un balón de 30 cm de diámetro. r =

48. Nota