I ndice :

1. Indice: • L’algebra di Boole • Applicazione dell’algebra di Boole Boole sviluppò assieme a De Morgan la logica matematica moderna e il metodo simbolico. Boole e De Morgan costruirono l'algebra della logica (o algebrea booleana), staccando la logica dalla filosofia (Logica Aristotelica) e legandola alla matematica.

2. 0 L’ algebra Booleana • Contempla due costanti LOGICHE 0 e 1 (falso e vero) • Corrispondono a due stati che si escludono a vicenda • Possono descrivere lo stato di apertura o chiusura di un generico contatto o di un circuito a più contatti • Si definiscono delle operazioni fra i valori booleani:AND, OR, NOT sono gli operatori fondamentali 1

3. Porte logiche • Le variabili logiche sono indicate generalmente con lettere maiuscole A, B, C.. • Gli operandi principali sono tre: • la negazione o NOT (¯ oppure !) • la somma logica o OR ( + ) • il prodotto logico o AND ( • )

4. L’operazione diAND • Si definisce l’operazione di prodotto logico (AND):il valore del prodotto logico è il simbolo 1 se il valore di tutti gli operandi è il simbolo 1 00 = 001 = 010 = 011 = 1 0 0 0 1 00 01 0 1 1 1 10 11

5. L’operazione di OR • Si definisce l’operazione di somma logica (OR):il valore della somma logica è il simbolo 1 se il valore di almeno uno degli addendi è il simbolo 1 0 0 0+0 = 00+1 = 11+0 = 11+1 = 1 0 1 0+0 0+1 1 1 0 1 1+0 1+1

6. 0 = 0 1 = 1 La negazioneNOT • Si definisce l’operatore di negazione (NOT):l’operatore inverte il valore della costante su cui opera • Dalla definizione… 0 = 1 1 = 0

7. Porte logicheLe possibili combinazioni tra le porte principali sono: • L'operatore NAND (cioè la negazione del risultato dell'operazione AND) • L'operatore NOR (cioè la negazione del risultato dell'operazione OR) • L'operatore XOR (detto anche OR esclusivo) • L'operatore XNOR (cioè la negazione del risultato dell'operazione XOR)

8. A B C Y0 0 0 0 0 0 1 10 1 0 1 0 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 0 1 1 1 1 La tabella di verità • Dalle otto combinazioni si ottiene la tabella di verità della funzione logica • Si può scrivere la funzione Y come somma logica di prodotti logici Y = ABC + ABC + ABC + ABC

9. x1 x2 y0 0 00 1 11 0 11 1 1 Funzioni logiche • Una variabile y è una funzione delle n variabili indipendenti x1, x2,…, xn,se esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2n configurazioni delle xi un valore di y • Una rappresentazione esplicita di una funzione è la tabella di verità, in cui si elencano tutte le possibili combinazioni di x1, x2, …, xn,con associato il valore di y y = F(x1,x2,…,xn) y = x1+x2

10. La forma canonica • Date tre variabili booleane (A,B,C), si scriva la funzione Y che vale 1 quando solo due di esse hanno valore 1 A B C Y 0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 11 1 1 0 Si può scrivere la funzione come somma logica delle configurazioni corrispondenti agli 1 Y = ABC + ABC + ABC Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND) tutte le funzioni logiche si possono scrivere in questa forma

11. Un circuito con due interruttori • I due interruttori corrispondono a due variabili (A,B) a valori booleani  le variabili assumono i due valori 0 e 1 che corrispondono alle due posizioni dell’interruttore Y Y A A B B 0 0 0 0 1 1 1 1 A A B B A=0 B=1 A=0 B=0 Y Y A A B B 0 0 0 0 1 1 1 1 A A B B Y = AB+AB A=1 B=0 A=1 B=1

12. Mappe di KARNAUGH • Le mappe di Karnaugh sono delle tabelle che permettono in modo immediato la rappresentazione e la semplificazione di funzioni booleane fino 6 variabili. Rappresentazione con Mappa di K. di una funzione. • Le Mappe di K. costituiscono un altro metodo per rappresentare una funzione booleana