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运筹学 OPERATIONAL RESEARCH

运筹学 OPERATIONAL RESEARCH. 燕山大学经济管理学院 运筹学课程教学课题组编制. 第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析. 第一节 LP 的对偶理论. Ⅰ Ⅱ 每天可用能力 设备 A 0 5 15 设备 B 6 2 24 调试工序 1 1 5 利润 2 1.

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  1. 运筹学OPERATIONALRESEARCH 燕山大学经济管理学院 运筹学课程教学课题组编制

  2. 第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析

  3. 第一节 LP 的对偶理论 ⅠⅡ 每天可用能力 设备A 0 5 15 设备B 6 2 24 调试工序1 1 5 利润 2 1 一、对偶问题的提出 ①两种家电各生产多少, 可获最大利润?

  4. 5x215 6x1 + 2x224 x1 + x25 x1，x20 解:设两种家电产量分别为变量x1， x2 max Z= 2x1 +x2

  5. 6y2 +y3  2 5y1 +2y2 +y3  1 y1 … y30 ②另一家公司至少应付出多少代价才能使美佳公司愿意出让自己的资源而不组织两种产品的生产？ 解：设y1 ,y2 ,y3 分别为A, B设备和调试工序工时出让的单价。 minW=15y1+24y2 +5y3

  6. a11X1+ a12X2+…+ a1nXn b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn b2 … … … am1X1+ am2X2+…+ amnXn bm Xj 0(j=1,…,n) 二、对偶问题与原问题的关系 1. “对称型” (P) MaxZ=C1X1+ C2X2+…+CnXn

  7. a11Y1+ a21Y2+…+ am1Ym c1 a12Y1+ a22Y2+…+ am2Ym c2 … … … a1nY1+ a2nY2+…+ amnYm cn Yi 0(i=1,…,m) (D) MinW=b1Y1+ b2Y2+…+bnYn

  8. maxZ= 5X1 +6X2 3X1 -2X2 7 4X1 +X2 9 X1 , X20 minW=7y1 +9y2 3y1+4y2 5 -2y1 +y2 6 y1, y2 0 例1：写出下面问题的对偶规划

  9. maxZ= 5X1 +6X2 3X1 -2X2 =7 4X1 +X2 9 X1 , X20 2. “非对称型” (P) 例1：写出下面问题的对偶规划

  10. minW=7y1 +9y2 3y1+4y2 5 -2y1 +y2 6 y1自由, y2 0 对偶问题

  11. 例2：写对偶规划 minZ= 4X1 +2X2 -3X3 -X1+2X2 6 2X1 +3X3 9 X1 +5X2 -2X3 =4 X2 , X3 0

  12. maxW= 6y1 +9y2 +4y3 -y1+2y2 + y3 =4 2y1 +5y3  2 3y2 -2y3 -3 y1  0 , y2 0 , y3自由

  13. 或将原问题变形为 minZ= 4X1 +2X2 -3X3 X1 -2X2 -6 2X1 +3X3 9 X1 +5X2 -2X3 =4 X2 , X3 0

  14. 观察结论: ① 一对对偶问题都有最优解，且目标函数值相等。 ② 最优表中有两个问题的最优解。

  15. maxZ=CX AX≤ b X0 (P) 第二节 对偶问题的基本性质 一、单纯形法计算的矩阵描述 maxZ=CX AX+IXS =b X, XS0

  16. 二、对偶问题的基本性质 1.对称性：对偶问题的对偶问题是原问题 2.定理1 (弱对偶定理)若 , 分别是原问题和对偶问题的可行解，则存在 推论：1.原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界，反之，对偶问题任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。

  17. 推论：2.若原问题有可行解且目标函数值无界，则其对偶问题无可行解；反之，对偶问题有无界解，原问题无可行解。（但逆向不成立）推论：2.若原问题有可行解且目标函数值无界，则其对偶问题无可行解；反之，对偶问题有无界解，原问题无可行解。（但逆向不成立） 推论：3.若原问题有可行解，对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界；反之，对偶问题有可行解，而原问题无可行解，则对偶问题的目标函数值无界。

  18. y X X y 3.定理2 , 分别为(P), (D)的可行解，且 C = b , 则它们是(P), (D)的最优解。 4.定理3（对偶定理）若原问题有最优解，对偶问题也有最优解，且目标函数值相等。或若原问题与对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。 5.互补松弛性： ， 分别是原问题和对偶问题的可行解，则 当且仅当 为最优解。

  19. 例： min = 2x1+3x2+5x3+2x4+3x5 x1+x2+2x3+x4+3x5  4 2x1 -x2+3x3+x4+x5  3 xi  0 ( i =1 … 5 ) (P) 其对偶解y1﹡ =4/5 y2﹡ =3/5 Z﹡ =5 用对偶理论求(P)的最优解 在线性规划问题的最优解中，若对应某一约束条件的对偶变量值为非零，该约束条件取严格等式。反之，若约束条件取严格不等式，则其所对应的对偶变量一定为0。

  20. X1+2X2 + X3 3 2X1 - X2 +3X3  4 X1 , X2 , X3 0 第四节 对偶单纯形法 minZ=2X1 +3X2 +4X3

  21. 初始单纯形表为

  22. 迭代 保持B-1b0，使C-CBB-1 A 0，即CBB-1 A C，（保持原问题的为基可行解，寻找对偶问题的可行解） 思路：(max型) 单纯形法：找基B，满足B-1b0，即先找到基可行解，当C- CBB-1 A不全 0，（即检验数）。

  23. 迭代 保持C-CBB-1 A 0，使B-1b0。 即保持对偶问题的解为可行解，使原问题的基解逐渐转换为基可行解。 一、对偶单纯形法的基本思路： 找基B，满足C- CBB-1 A 0（检验数），即找到对偶问题的可行解。 如果B-1b不全0，即原问题的基解为非可行解，则

  24. (2)判定： B-1 b全0，停。否则，取 max{ B-1 b }=(B-1 b)l B-1 b<0 令第l 行的Xj l为换出变量. 二、对偶单纯形法基本步骤 max型(min型) (1)作初始表，要求全部σj 0 (0)

  25. ② 若Xi l行的alj 有alj <0 , σj σk 则求 θ=min{ }= alj alk alj <0 σk Xk为换入变量 alk (3)确定换入变量 ① 若Xi l行的alj 全0 ，停，原问题无可行解。 (4)以alk 为主元，换基迭代

  26. maxZ=-X1 -4X2 -3X4 X1+2X2 - X3 +X4 3 -2X1 - X2 +4X3 +X4  2 X1 … X40 练习1：

  27. -1 -4 0 -3 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 0 X5 -3 (-1) -2 1 -1 1 0 0X6 -2 2 1 -4 -1 0 1 0 σ-1 -4 0 -3 0 0 -1X1 3 1 2 -1 1 -1 0 0 X6 -8 0 -3 (-2) -3 2 1 -3 σ0 -2 -1 -2 -1 0 -1X1 7 1 7/2 0 5/2 -2 -1/2 0X3 4 0 3/2 1 3/2 -1 -1/2 -7σ 0 -1/2 0 -1/2 -2 -1/2 最优解：X=(7,0,4,0)T Z= -7

  28. maxZ=-X1 -X2 2X1 -X2 2 -X1 + 1/2X2  1 X1 , X20 练习2：

  29. CBB-1b C- CBB-1 A 原始数据A，b，C A=(P1 P2 …Pn ) aij ,bj, cj B-1 b B-1 A 第五节 灵敏度分析 一、灵敏度分析的概念 对系统或事物（线性规划问题）因周围条件的变化（如aij ,bj, cj的变化）显示出来的敏感程度的分析。

  30. 二、灵敏度分析所解决的问题 (1) 参数A，b，C在什么范围内变动，对当前方案无影响？ (2) 参数A，b，C中的一个(几个)变动，对当前方案影响？ (3) 如果最优方案改变，如何用简便方法求新方案？

  31. 一、分析 cj 的变化 cj 的变化首先影响检验数 ① XB= B-1b ② σA =C- CBB-1 A = C- YA σN =CN - CBB-1 N = CN - YN σj =Cj - CBB-1 Pj = Cj - YPj

  32. 5X2 + X3 =15 6X1 +2X2 + X4 =24 X1 + X2 + X5 =5 Xj 0 maxZ=2X1 +X2 设备A 设备B 调试工序

  33. 1.若家电1的利润降至1.5元/件，而家电2的利润增至2元/件时，美佳公司最优生产计划有何变化？1.若家电1的利润降至1.5元/件，而家电2的利润增至2元/件时，美佳公司最优生产计划有何变化？

  34. 2.若家电1的利润不变，则家电2的利润在什么范围内变化时则该公司的最优生产计划将不发生变化。2.若家电1的利润不变，则家电2的利润在什么范围内变化时则该公司的最优生产计划将不发生变化。

  35. -1/4+1/4 λ≤0 -1/2- 3/2 λ≤0 - 1/3 ≤λ≤1 2/3 ≤c2≤2

  36. 二、分析bi的变化 bi 的变化首先影响XB= B-1b ① XB= B-1b ② σA =C- CBB-1 A = C- YA σN =CN - CBB-1 N = CN - YN σj =Cj - CBB-1 Pj = Cj - YPj

  37. 5/4 –15/2 0 10 • 0 1/4 -1/2 8 = 2 • 0 -1/4 3/2 0 -2 B-1 △b= 3.若设备A和调试工序的每天能力不变，而设备B每天的能力增加到32小时，分析公司最优计划的变化。 ∵XB= B-1b ，bb’=b+△b ∴XB= B-1b’= B-1(b+ △b) = B-1b+ B-1 △b

  38. 5/4 –15/2 0-15/2λ • 0 1/4 -1/2 0 = -1/2λ • 0 -1/4 3/2 λ 3/2λ B-1 △b= 4.若设备A和B每天能力不变，而调试工序在什么范围内变化，问题的最优基不变。

  39. 1 ≤λ≤1 • 4 ≤ b3≤6

  40. 三、增加一个决策变量xj 的分析 5.公司计划推出新产品3，生产一件所需设备A,B及调试工序的时间分别为3小时、4小时、2小时，预期盈利3元/件，试分析该种产品是否值得投产，如投产，对该公司的最优生产计划有何影响。

  41. P6=B-1 P6 = ~ • 5/4 -15/2 3 -7 • 0 1/4 -1/2 4 = 0 • 0 -1/4 3/2 2 2 σ6 =C6 - CBB-1 P6 = C6 - YP6 3 =3-( 0, 1/4 , 1/2) 4 = 1 2

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