1.32k likes | 3.1k Views
Prof. dr. sc. Pavao Marović. Otpornost materijala II Šk. god. 2008/2009. Nastavnici. Prof.dr.sc. Pavao Marović , dipl.ing.građ. Doc.dr.sc. Mirela Galić , dipl.ing.građ. Marko Bertolino , dipl.ing.građ. Opće uvodne napomene. (vidi posebni list s pravilima i obavijestima).
E N D
Prof. dr. sc. Pavao Marović Otpornost materijala II Šk. god. 2008/2009
Nastavnici Prof.dr.sc. Pavao Marović, dipl.ing.građ. Doc.dr.sc. Mirela Galić, dipl.ing.građ. Marko Bertolino, dipl.ing.građ. Opći uvod
Opće uvodne napomene (vidi posebni list s pravilima i obavijestima) Opći uvod
Sadržaj predmeta: • Elastična linija • Statički neodređeni sustavi • Složena naprezanja / Jezgra popr. presjeka • Teorije čvrstoće • Potencijalna energija • Izvijanje • Deformacije preko granice elastičnosti / Teorija plastičnosti Opći uvod
Literatura: [1] V. Šimić, Otpornost materijala I, Školska knjiga, Zagreb, 1. izdanje – 1992., 2. izdanje – 2001., 3. izdanje – 2007. [2] V. Šimić, Otpornost materijala II, Školska knjiga, Zagreb, 1. izdanje – 1995., 2. izdanje – 2001. [3] S.P. Timošenko, Otpornost materijala II, Građevinska knjiga, Beograd, 1964. [1] Z. Kostrenčić, Zbirka riješenih zadataka iz Otpornosti materijala, Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, 1971. [2] P. Marović, Zbirka riješenih zadataka iz Otpornosti materijala II, Građevinski fakultet Sveučilišta u Splitu, Split, xxxx Opći uvod
1. ELASTIČNA LINIJA Elastična linija nosača ili progibna linija nosača je uzdužna os štapa (težišna linija nosača) u deformiranom (savijenom) obliku. f ≤ fdop Elastičnu (progibnu) liniju nosača možemo odrediti na 3 načina: - analitički - grafoanalitički - grafički 1. Elastična linija
1.1 – Diferencijalna jednadžba elastične linije Promatrajmo jednu konzolu: w - progib F x φ ρ – radijus zakrivljenosti x φ w φ – kut nagiba tangente na elastičnu liniju wmax=f y elastična (progibna) linija nosača (deformirana linija) ρ Veza između vanjskog opterećenja (moment savijanja) i deformacije: (Za čisto savijanje, ali i za savijanje silama) 1. Elastična linija
Matematički izraz za zakrivljenost: Ako je h/L<1/10 onda je utjecaj poprečne sile <3% → zanemarujemo utjecaj poprečne sile na deformaciju nosača. Ako uvrstimo: Nelinearna diferencijalna jednadžba – Diferenc. jedn. za velike progibe Pošto mi radimo samo s malim progibima, w’2 << 1 , ostaje nam: Linearna diferencijalna jednadžba – Diferenc. jedn. za male progibe Diferenc. jedn. elastične linije nosača – vrijedi princip superpozicije 1. Elastična linija
Dogovor za predznak, + ili – +M Predznak ovisi o izboru koordinatnog sustava. w’ opada → w’’<0 x w w’<0 w’>0 w’=0 → +w y y w’ raste → w’’>0 x w w’>0 w’<0 w’=0 → -w 1. Elastična linija
1.2 – Diferencijalne veze pri savijanju Promatrajmo jednu gredu: ds=ρ·dθ dθ ρ ρ Pošto je w’2<<1 ds možemo uzeti ds≈dx dθ x dx odnosno: M 1. Elastična linija
dθ ρ ρ ds dθ x dx M Tražimo sada kut zaokreta između dva presjeka, C i D: C D Vidimo da je kut zaokreta između dva presjeka jednak površini momenta savijanja između ta dva presjeka podijeljenom s krutošću nosača E·IZ. 1. Elastična linija
+ - - Dokaz: promatrajmo obostrano ukliještenu gredu: Kut zaokreta između upetih presjeka je nula jer je ukupna površina momentnog dijagrama jednaka 0. M 1. Elastična linija
Poznate diferencijalne veze kod savijanja: Nove diferencijalne veze kod savijanja: Opće, za E·Iz ≠ konst. Opće, za E·Iz = konst. 1. Elastična linija
Postupci određivanja elastične linije: • Analitički • Grafoanalitički • Grafički 1. Elastična linija
1.3 – Analitičko određivanje elastične linije Analitički postupak određivanja elastične linije se sastoji u uzastopnom integriranju diferencijalne jednadžbe: pri čemu treba napisati jednadžbu momentne linije, Mz(x), i postaviti odgovarajuće rubne uvjete. 1. Elastična linija
+ M Promatrajmo jednu gredu: Mx M E·Iz = konst. M w x x Mz(x)=Mx=M M M y Rubni uvjeti: (vidimo ih iz skice progibne linije) 1) x=0, w=0 → D=0 2) x=L, w=0 → C=M·L/2 (jednadžba elastične linije) 1. Elastična linija
Promatrajmo jednu konzolu: E·Iz = konst. Mx q x x L-x L y Rubni uvjet: 1) x=0, w’(0)=0 → C=0 1. Elastična linija
E·Iz = konst. q x x L y Rubni uvjet: 2) x=0, w(0)=0 → D=0 (jedn. elastične linije) 1. Elastična linija
E·Iz = konst. q x x L y wmax=f θmax Maksimalne vrijednosti progiba i kuta nagiba tangente su: za x=L : 1. Elastična linija
Promatrajmo gredu s kontinuiranim opterećenjem: Mx q E·Iz = konst. x x w’=0 A=qL/2 B=qL/2 L y Rubni uvjet: 1) x=L/2, w’(L/2)=0 1. Elastična linija
Mx q E·Iz = konst. x x w’=0 A=qL/2 B=qL/2 L y Rubni uvjet: 2) x=0, w(0)=0 → D=0 ili x=L, w(L)=0 → D=0 (jedn. elastične linije) 1. Elastična linija
q E·Iz = konst. x L y A B θA f θB w’=0 Maksimalne vrijednosti progiba i kuta nagiba tangente su: Progib je maksimalan tamo gdje je tangenta na elastičnu liniju horizontalna, a to je u polovini nosača, x=L/2: Kut nagiba tangente je, kako se vidi s crteža, maksimalan na osloncima: 1. Elastična linija
M Promatrajmo gredu s koncentriranom silom: F E·Iz = konst. x a b A B L y Da li možemo napisati ovu diferenc. jednadžbu koja će vrijediti za cijelo područje od 0 do L. A=Fb/L B=Fa/L Fab/L 2 1 a≤x≤L 0≤x≤a Ne možemo, jer linija momentnog dijagrama nije kontinuirana krivulja - primjenjujemo princip superpozicije! Postupak određivanja elastične linije provodimo po dijelovima. 1. Elastična linija
F x a b L y Područje 1: 0≤x≤a Područje 2: a≤x≤L 1 2 Postavimo rubne uvjete iz crteža: U presjeku x=a: 1) w1’= w2’ C1=C2=C 2) w1= w2 D1=D2=D 1. Elastična linija
Područje 1: 0≤x≤a Područje 2: a≤x≤L F x a b L y Postavimo rubne uvjete iz crteža: 3) u x=0, w1=0 D1=D2=D=0 4) u x=L, w2=0 1. Elastična linija
F x a b L y Sada možemo napisati izraze za elastičnu liniju: 0≤x≤a a≤x≤L 1. Elastična linija
Područje 1: 0≤x≤a Područje 2: a≤x≤L Ako smo u području 1 ne uzimamo “žute” članove, a ako smo u području 2 onda ih uzimamo. Pitanje: Možemo li imati jednu jednadžbu koja će obuhvatiti oba područja? 1. Elastična linija
1.4 – Metoda početnih parametara Ako imamo niz sila, onda za svako područje moramo postaviti odgovarajuću jednadžbu. Ako imamo n sila, onda imamo n+1 područje, te moramo postaviti n+1 jednadžbu s (n+1)·2 konstanti. Želimo li pojednostavniti proračun, postavljamo samo 1 jednadžbu i kao rješenje dobivamo samo 1 jednadžbu ali iz nje isključujemo ono što nam je višak. Višak isključujemo preko tzv. početnih parametara. 1. Elastična linija
F q M E·Iz = konst. 1 2 3 4 a1 a2 a3 Ovaj sustav možemo prikazati kao: L F q M a1 q a2 B A a3 L 1. Elastična linija
Jednadžba momenta savijanja koja vrijedi preko cijele grede: uz uvjet da uvijek uzimamo samo članove (x-ai) > 0 1. Elastična linija
Do ovog izraza smo mogli doći i postepeno, kao u prethodnom primjeru: x=a1 x=a2 1) w1’= w2’ → C1=C2 2) w1= w2 → D1=D2 3) w2’= w3’ → C2=C3=C1 4) w2= w3 → D2=D3=D1 C1 = C2 = C3 .... = C D1 = D2 = D2 .... = D Ostaju nam samo 2 konstante koje određujemo iz uvjeta na osloncima. 1. Elastična linija
1) x=0 w(0)=0 → D=0 2) x=L w(L)=0 Iz ovog izraza odredimo konstantu C. 1. Elastična linija
1.5 – Grafoanalitički postupak određivanja elastične linije Grafoanalitički postupak se temelji na matematičkoj sličnosti diferencijalne jednadžbe elastične linije nosača i diferencijalne zavisnosti između momenta savijanja i intenziteta opterećenja. Ovu su analogiju prvi razradili Mohr i Maxwell pa se još naziva Mohr-Maxwell-ova analogija. 1. Elastična linija
q x w M y M Temeljem navedenog možemo uzeti moment savijanja kao fiktivno opterećenje i od njega odrediti fiktivni moment savijanja i fiktivnu poprečnu silu. 1. Elastična linija
(1) (2) Fiktivno opterećenje: Dif. veza između fiktivnog opt. i fiktivnog mom.: (3) Uspoređujući li jedn. (2) i (3), slijedi: “Polazna” diferencijalna jednadžba elastične linije 1. Elastična linija
(Sada možemo dobivenu diferencijalnu jedn. elastične linije dva puta integrirati) pri čemu je: (jedn. kuta nagiba tangente na elastičnu liniju) (jedn. elastične linije) C i D su integracijske konstante koje ovise o uvjetima oslanjanja fiktivnog nosača. 1. Elastična linija
Fiktivni nosač je iste dužine kao i stvarni nosač, ima istu krutost kao i stvarni nosač, EIz, a opterećen je fiktivnim opterećenjem koje je zadano momentnim dijagramom na stvarnom nosaču, . Ako je fiktivni nosač učvršćen tako da je odnosno u onim presjecima gdje je w’=0 odnosno w=0 , tada će konstante C i D biti jednake 0. Ovom prilikom treba voditi računa da fiktivni nosač mora biti statički stabilan. 1. Elastična linija
Izrazi i uz C=D=0 postaju: Kut nagiba tangente na elastičnu liniju (kut zaokreta) u nekom presjeku stvarnog nosača jednak je fiktivnoj poprečnoj sili na fiktivnom nosaču uslijed fiktivnog opterećenja, koje je dano u obliku momentnog dijagrama za stvarni nosač, podijeljenom s krutošću na savijanje stvarnog nosača. Progib u nekom presjeku stvarnog nosača jednak je fiktivnom momentu savijanja na fiktivnom nosaču uslijed fiktivnog opterećenja, koje je dano u obliku momentnog dijagrama za stvarni nosač, podijeljenom s krutošću na savijanje stvarnog nosača. 1. Elastična linija
w Određivanje rubnih uvjeta za fiktivni nosač Prosta greda: E·Iz Stvarni nosač Konjugirani nosači E·Iz Fiktivni nosač F.N.: Prosta greda 1. Elastična linija
Određivanje rubnih uvjeta za fiktivni nosač Konzola: E·Iz Stvarni nosač w Konjugirani nosači E·Iz Fiktivni nosač F.N.: Konzola 1. Elastična linija
Određivanje rubnih uvjeta za fiktivni nosač Greda s prepustima: E·Iz Stvarni nosač w E·Iz Fiktivni nosač F.N.: Gerberov nosač 1. Elastična linija
Određivanje rubnih uvjeta za fiktivni nosač Gerberov nosač: E·Iz Stvarni nosač w E·Iz Fiktivni nosač F.N.: Gerberov nosač Zaključak: Između stvarnog i fiktivnog nosača postoji reciprocitet. 1. Elastična linija
q= M - Promatrajmo jednu konzolu: E·Iz = konst. q wmax=f=? L θmax=? M T M Φ ¾L ¼L 1. Elastična linija
q= M + Promatrajmo gredu s kontinuiranim opterećenjem: q E·Iz = konst. θB θA ½L ½L M A B 1. Elastična linija
Promatrajmo gredu s kontinuiranim opterećenjem: q E·Iz = konst. q= M θB θA ½L ½L M + A B Recimo da želimo odrediti progib u sredini raspona: Φ2 Φ1 1. Elastična linija
q= M + - Promatrajmo gredu s koncentriranom silom: F E·Iz = konst. B A θB a b L M B a/3 L/3 1. Elastična linija
q= M + - Promatrajmo gredu s koncentriranom silom: F E·Iz = konst. B A θA a b L M A a/3 L/3 1. Elastična linija
q= M + - Promatrajmo gredu s koncentriranom silom: F E·Iz = konst. B A w a b L M A B L/2 a/3 L/3 1. Elastična linija
Promatrajmo gredu s koncentriranom silom u sredini raspona: F E·Iz = konst. B A L/2 L/2 1. Elastična linija
Ako na nosaču imamo više sila, tada ćemo progib i kut nagiba tangente odrediti primjenom principa superpozicije: F1 Fi Fn E·Iz = konst. an a1 ai L/2 L/2 wL/2=? 1. Elastična linija