Dopasowanie rozkładów

1. Dopasowanie rozkładów

2. Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2 zmienne nie spełniają rozkładu normalnego -> testy nieparametryczne

3. Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Cele prognostyczne Często dla celów prognostycznych jest wskazane zrozumienie kształtu rozważanego rozkładu populacji.

4. Najczęściej używane rozkłady • Bernoulliego • Beta • Dwumianowy • Chi-kwadrat • Wykładniczy • F (Snedeckora) • Gamma • Geometryczny • Gompertza • Logistyczny • Logarytmiczno- normalny • Pareto • Poissona • Prostokątny • Rayleigha • t-studenta • Weibulla • NORMALNY

5. ROZKŁAD NORMALNY Rozkład o charakterystycznym kształcie "krzywej dzwonowej", symetrycznej w stosunku do średniej.

6. ROZKŁAD NORMALNY • Ogólnie jest dobrym modelem dla rozkładu zmiennej losowej, w sytuacji gdy: • Występuje silna tendencja do przyjmowania wartości położonych blisko środka rozkładu;

7. ROZKŁAD NORMALNY • Ogólnie jest dobrym modelem dla rozkładu zmiennej losowej, w sytuacji gdy: • Dodatnie i ujemne odchylenia od środka rozkładu są jednakowo prawdopodobne;

8. ROZKŁAD NORMALNY • Ogólnie jest dobrym modelem dla rozkładu zmiennej losowej, w sytuacji gdy: • Liczność odchyleń gwałtownie spada wraz ze wzrostem ich wielkości.

9. ROZKŁAD NORMALNY Podstawowy mechanizm tworzący rozkład normalny:nieskończoną liczbę niezależnych zdarzeń losowych które generują wartości danej zmiennej. Przykład: istnieje prawdopodobnie prawie nieograniczona liczba czynników determinujących wzrost człowieka (olbrzymia liczba genów, sposób odżywiania, przebyte choroby itd.). Tak więc należy spodziewać się, że w populacji wzrost podlega rozkładowi normalnemu.

10. JAK OKREŚLIĆ, CZY ROZKŁAD JEST NORMALNY? 1. obliczenie skośności i kurtozy 2. analiza histogramu 3. analiza wykresów P-P 4. testy normalności

11. JAK OKREŚLIĆ, CZY ROZKŁAD JEST NORMALNY? 1. obliczenie skośności i kurtozy Skośność mierzy odchylenie rozkładu od symetrii. Jeśli wartość skośności jest wyraźnie różna od zera, wówczas dany rozkład jest asymetryczny. Rozkład normalny jest symetryczny (skośność jest bliska 0)

12. JAK OKREŚLIĆ, CZY ROZKŁAD JEST NORMALNY? 1. obliczenie skośności i kurtozy Kurtoza mierzy "spiczastość" rozkładu. Jeśli wartość kurtozy jest wyraźnie<0, wówczas rozkład jest bardziej płaski, a jeśli jest wyraźnie >0 to rozkład jest bardziej spiczasty niż rozkład normalny. Wartość kurtozy dla rozkładu normalnego wynosi 0!

13. JAK OKREŚLIĆ, CZY ROZKŁAD JEST NORMALNY? 2. Analiza histogramu

14. JAK OKREŚLIĆ, CZY ROZKŁAD JEST NORMALNY? 3. Analiza wykresów P-P Wykres prawdopodobieństwo-prawdopodobieństwo Dystrybuanta empiryczna kreślona jest względem dystrybuanty teoretycznej. Jeśli teoretyczny rozkład dobrze przybliża rozkład obserwowany, wówczas punkty na wykresie powinny leżeć blisko przekątnej.

15. JAK OKREŚLIĆ, CZY ROZKŁAD JEST NORMALNY? 3. Analiza wykresów P-P

16. JAK OKREŚLIĆ, CZY ROZKŁAD JEST NORMALNY? W celu zidentyfikowaniarozkładu zazwyczaj dopasowuje się rozkład empiryczny do rozkładu teoretycznego poprzez: porównanie częstości zaobserwowanych w danych rzeczywistych do częstości oczekiwanych rozkładu teoretycznego 4. Testy normalności

17. JAK OKREŚLIĆ, CZY ROZKŁAD JEST NORMALNY? częstości zaobserwowane w danych rzeczywistych częstości oczekiwane rozkładu teoretycznego

18. JAK OKREŚLIĆ, CZY ROZKŁAD JEST NORMALNY? Porównania częstości zaobserwowanych w danych rzeczywistych do częstości oczekiwanych rozkładu teoretycznego dokonuje się za pomocą testów statystycznych: • chi kwadrat • Kołmogorowa-Smirnowa • Lillieforsa • Shapiro-Wilka 4. Testy normalności

19. JAK OKREŚLIĆ, CZY ROZKŁAD JEST NORMALNY? Test Kołmogorowa-Smirnowa: Wykorzystuje maksymalną wartość różnicy między dystrybuantą z próby, a założoną dystrybuantą teoretyczną. p< 0.05 -> rozkład różni się istotnie od normalnego p> 0.05 -> rozkład jest normalny 4. Testy normalności

20. JAK OKREŚLIĆ, CZY ROZKŁAD JEST NORMALNY? Test chi-kwadrat: Stopnie swobody: df = liczba kategorii - liczba parametrów - 1 liczba kategorii - liczba klas w tablicy liczności, w której liczności oczekiwane są wyższe niż 5, liczba parametrów- liczba parametrów odpowiedniego rozkładu teoretycznego. p< 0.05 -> rozkład różni się istotnie od normalnego p> 0.05 -> rozkład jest normalny 4. Testy normalności

21. JAK OKREŚLIĆ, CZY ROZKŁAD JEST NORMALNY? Test W Shapiro-Wilka: preferowany test normalności ze względu na jego dużą moc w porównaniu z innymi testami. p< 0.05 -> rozkład różni się istotnie od normalnego p> 0.05 -> rozkład jest normalny 4. Testy normalności

22. JAK OKREŚLIĆ, CZY ROZKŁAD JEST NORMALNY? Test Lillieforsa: test oparty na badaniu maksymalnej różnicy pomiędzy dystrybuantą empiryczną (z próby) a dystrybuantą rozkładu normalnego o takiej samej średniej i wariancji jak oszacowana z próby p< 0.05 -> rozkład różni się istotnie od normalnego p> 0.05 -> rozkład jest normalny 4. Testy normalności