3. PLOSKVE IN ZEMLJEVIDI

1. 3. PLOSKVE IN ZEMLJEVIDI

2. Obroči v molekularnih grafih • Molekularni grafi [benzenoidni sistemi, fulereni, ...] pogosto obravnavajo posebej obroče (rings) ali lica(faces). • Npr. na levi vidimo štiri obroče.

3. Odprta in zaprta škatla • Odprta škatla ima 5, ztaprta pa 6 lic. • Grafi ne ločijo med obema. Potrebujemo NOVA ORODJA.

4. 3.2 Topološki pogled na ploskve • n-dimenzionalna mnogoterost je Hausdorffov prostor s števno bazo, kjer ima vsaka točka odprtookolico, homeomorfno n- dimenzionalni krogliUn = { (x1,..,xn) Rn ; x12+...+xn2 < 1 } ali polkrogli{ (x1,..,xn)  Un ; xn 0 }.

5. Ploskve • Rob mnogoterosti sestavljajovse točke, ki nimajo okolice, homeomorfne Un . • Povezano, kompaktno 2-mnogoterosts praznim robom imenujemo ploskev(včasih tudi sklenjena ploskev). • Ravnina: nekompaktna ploskev • Zaprt disk: ploskev z robom

6. Primeri sklenjenih ploskev • Sg, g  0. • Pri tem dobimo Sg tako, da na sfero S0 nalepimo g ročk.

7. Ročka je torus z lunknjo • Ročka je v bistvu torus z luknjo na površini. • Torus dobimo tako, da prilepimo ročko na sfero. • To pa je isto, kot da bi na sfero prilepili cevko (na dveh mestih) . • Sfera z eno luknjo je disk. • Sfera z dvema luknjama je cevka. Disk Ročka Cevka

8. Möbiusov trak • Möbiusov trak dobimo tako, da zlepimo nasprotni stranici dolega traku, pred tem trak zasukamo, tako da lepimo vzdolž obeh puščic. • Möbiusov trak je neorientabilna ploskev z eno robno komponento.

9. Kleinova steklenica • Kleinovo steklenico dobimo tako, da prilepimo cevko nase. Pri tem še pazimo, da obrnemo smer na enem robu. • V treh razsežnostih se ne moremo izogniti samopresekanju (zelena elipsa na sliki).

10. Triangulacija ploskveS • končna družina zaprtihpodmnožic {T1,T2,...,Tk}, ki pokrivajo S in • družina homeomorfizmov i : Ti' Ti,i=1,..n, kjer jeTi'trikotnik v ravnini. • Ti Tj je , točka ali stranica za i j • Slike stranicin oglišč trikotnikov Ti' imenujemo stranice in oglišča.

11. Triangulirana ploskev • Ploskev s triangulacijo imenujemo triangulirana ploskev. • IZREK (T. Radó,1925) Vsaka ploskev je homeomorfna triangulirani ploskvi.

12. Poligoni • Poligon je homeomorfna slika zaprtega enotskega kroga v ravnini, kiima rob z roglišči razdeljen na r stranic, r > 0. • Orientacijo poligona določimo z izbiro smeri obhoda. • Dva poligonas skupno stranico sta skladno orientirana, če na tej skupni straniciinducirata nasprotni orientaciji.

13. Celulacija ploskve • Celulacija ploskve- pri triangulaciji ploskve dovolimo združitev več trikotnikov sskupnimi stranicami v poligone . • Orientacija celulacijeje izbira orientacij vseh poligonov na tak način, da sta poljubna dva poligona sskupno stranico orientirana skladno.

14. Orientacija celulacije • Z orientacijo ene celulacije C dane ploskve so določene orientacije vsehnjenih subdivizij. • Obratno, orientacija subdivizije določa orientacijo prvotne celulacije. • To pomeni, da so z izbiro orientacije ene celulacije določene orientacijevseh celulacij dane ploskve.

15. Orientabilna ploskev • Ploskev je orientabilna, če ima orientacijo s celulacijo. • Orientacija ploskve je izbira orientacije ene celulacije te ploskve.

16. 3.1 Kombinatorni pogled na ploskve

17. (Topološki) polieder • F=končna družina paroma disjunktnih poligonov v ravnini. • Naj bo skupno število stranic sodo. Razdelimo jih na pare in jih označimos črkami. Dve stranici označimo z isto črko pripadataistemu paru. • Stranice poljubno usmerimo. • Sedaj identificiramo parestranic z istimi črkami na tak način, da se usmeritve stranic ujemajo. • Če je dobljeni topološki prostor povezan: polieder • Polieder je ploskev.

18. Zgled poliedra 1 • F={abc-1,fdb-1,ecd-1,a-1e-1f-1} b b d c c f e d a a f e

19. Zgled poliedra 2 • F={afb-1,chd-1,eij-1,gkl-1,aik-1c-1,blj-1d-1,efgh} b b d c c f e d a e a f k j g h c d i l f a b e

20. Zgled 3: knjiga s tremi listi • F={abcd, aefg, aijk} c f j d g k b e i a a a

21. Shema • A={a1,a2,...,an} množica simbolov • AA-1= {a1,a2,...,an ,a1-1,a2-1,...,an-1} • w= x1,x2,...,xd , xd AA-1, w je vrstica. •  ={w1,w2,...,wp } je shema • Vrstica določa usmerjen večkotnik (poligon).

22. Zgled za vrstico • w = abc-1 = =bc-1a = c-1ab • w -1 = cb-1a-1 = =a-1c b-1 = b-1a -1c b c a

23. Abstraktni polieder •  - shema • u  v : v dobimo iz u na naslednje načine - u ciklično permutiramo - u zapišemo v nasprotnem vrstnem redu - zamenjamo eksponente 1 in –1 •   ’, če imata ekvivalentne vrstice •  /  je abstraktni polieder

24. Vprašanja Katere sheme opisujejo • povezane prostore? • ploskve (ploskve z robom) ? • orientabilne ploskve?

25. Podshema •  - shema z množico simbolov A() • ’   je podshema . •  in  sta trivialni podshemi. • ’   je odprta,če A(’)A(\ ’)=  • Shema je povezana, če nima netrivialnih odprtih podshem.

26. Odgovor 1 Katere sheme opisujejo • povezane prostore? • Povezane sheme - nimajo netrivialnih odprtih podshem.

27. Odgovor 2 Kateri sheme opisujejo • ploskve (ploskve z robom) ? • #(,a) ... število pojavitev simbola a v  •  je ploskev, če je povezana in za vsak a  A() velja #(,a) =2. •  je ploskev z robom, če je povezana in za vsak a  A() velja #(,a)  2.

28. Odgovor 3 Katere sheme opisujejo • orientabilne ploskve? • +(,a) ... število pojavitev a v  • -(,a) ... število pojavitev a-1 v  • Ploskev je orientirana, če za vsak a  A() velja +(,a) = -(,a) . • Ploskev je orientabilna, če obstaja orientirana ploskev ’   /

29. Enorazsežna subdivizija •  shema, • A={a1,a2,...,an,x} množica simbolov • Enorazsežna subdivizija(xyz) : x povsod zamenjamo z yz, x-1 pa z z-1y-1 • Inverzna operacija (kompozicija) (yzx) ni vedno izvedljiva.

30. Dvorazsežna subdivizija •  shema, • x  A() • w = uv   • Dvorazsežna subdivizija(uv{ux, x-1v}) • Inverzna operacija (kompozicija) ({ux, x-1v}  uv)

31. Ekvivalenca shem •  in ’ sta ekvivalnetni, če lahko ’ dobimo iz  s končnim zaporedjem eno- in dvorazsežnih subdivizij ter eno- in dvorazsežnih kompozicij. • Ekvivalentni shemi opisujeta (do homeomorfizma natančno) isti polieder • Ekvivalenčni razred je abstraktna ploskev.

32. Graf poliedra •  shema • Množica lic shemeF - vrstice • Množica povezav E - različni simboli • VozliščaV - krajišča povezav • X() =(V, E) – pripadajoči graf

33. Eulerjeva karakteristika • ______ ()= |V| - |E| + |F| Pri eno- in dvorazsežni subdiviziji ter eno- in dvorazsežni kompoziciji se ohranja •  () • orientabilnost, neorientabilnost

34. Fundamentalni poligon • Če pri povezanem poliedru zadostikrat združimo po dve vrstici sheme (naredimodvorazsežno kompozicijo), dobimo eno samo vrstico (poligon) • To je fundamentalni poligon (poliedra)

35. Sfera

36. Torus (sfera z enim ročajem) a b b-1 a-1

37. Večkratni torus (sfera z g ročaji)

38. Projektivna ravnina

39. Kleinova steklenica b a b a

40. Neorientabilna ploskev roda q

41. Nehomeomorfnost ploskev • Ploskve S0, S1,..., Sp,.., N1, N2,… so paroma nehomeomorfne.

42. Preprosta normalizacija • P in Q neprazna niza simbolov •  = Paa-1Q shema, • ´ = PQ je ekvivalentna shemi  • Ko shemo prevedemo na eno samo vrstico in izvedemo preprosto normalizacijo, kolikorkrat se da, ima shema obliko aa-1 ali pa vsebuje vsaj dva različna simbola.

43. Prevedba na ročaj • Naj opisuje orientabilno ploskev. • v  naj nastopata vsaj dva različna simbola v vrstnem redu a…b…a-1…b-1 •  = PaQbRa-1S b-1T • ´ = PSRQTaba-1b-1je ekvivalentna shemi 

44. Prevedba na standardne modele • Ko na shemi z eno vrstico, ki opisuje orientabilno ploskev, dovoljkrat uporabimo preprosto noramlizacijo in prevedbo na ročaj, dobimo shemo oblike a1b1a1-1b1-1... agbgag-1bg -1 • Podobno prevedemo shemo, ki opisuje neorientabilno ploskev, na obliko a1a1a2a2...aqaq

45. Klasifikacija sklenjenih ploskev • Vsaka sklenjena orientabilna ploskev je homeomorfna eni od ploskev Sg, g  0. • Vsaka sklenjena neorientabilna ploskev je homeomorfna eni od ploskev Nq, q  0.

46. Razpoznavanje sklenjenih ploskev • Naj  določa sklenjeno ploskev. • Ugotovimo, ali je orientabilna ali ne • Izračunamo  (); rod izračunamo iz formule  () = 2-2g za orientabilne ploskve in () = 2-q za neorientabilne ploskve