Aránybecslés Átlag-becslés rétegzett mintából

1. Következtető statisztika4. AránybecslésÁtlag-becslés rétegzett mintából Átlagbecslés (Folytatás) 2010. tavasz Utolsó módosítás: 2010-02-24

2. AránybecslésA sokasági arány (valószínűség) becslése Az arány mint átlag Mi lesz a becslő-függvény? Mi lesz a becslő-fv eloszlása, középértéke, szórása? Az aránybecslés lépései A mintanagyság kérdése PÉLDA

3. Az arány mint átlag • Ha n fős mintában egy kérdésre • k ember igennel felel, • (n - k) fő nemmel, • akkor az átlag:

4. A becslő-fv A becslő-fv: p Mivel így A mintabeli arány a sokasági arány torzítatlan becslése (pontbecslése).

5. A k valószínűségi változó eloszlása BINOMIÁLIS A k/n eloszlása is BINOMIÁLIS A k és k/n eloszlása közelítőleg NORMÁLIS, • ha n elég nagy • ha p és az (1 – p) közül egyik sem túl kicsi Vagy: ha az np és az n(1- p) közül a kisebbik nagyobb 10-nél. (Egyébként binomiális eloszlással kell számolni.)

6. A sokasági szórást nem ismerjük. (Miért?) (Ha ismernénk, akkor a sokasági arányt is ismernénk.) A standard hiba, (tehát ap mintabeli arány szórása) a mintabeli szórással becsülhető: A p becslő-fv standard alakja standard normál eloszlásúnak tekinthető. A szórás számításánál elvileg (n-1)-gyel kellene osztani, és a becslő-fv standard alakja elvileg t-eloszlású. De a nagy minta miatt elég n-nel osztani és tz

7. Az aránybecslés menete • A mintabeli arány, p =k/n meghatározása • A mintaszórás és a standard hiba meghatározása • Az (1- a)-nak megfelelő z érték megkeresése • A konfidencia-intervallum meghatározása:

8. A szükséges mintanagyság meghatározása A maximális hiba: Ebből az n: p(1 – p) maximális értéke: 1/4

9. Adott hibához tartozó mintanagyság (z =1,96)

11. PÉLDAAránybecslés • Egy főiskola hallgatóinak színházba járási szokásait vizsgálták egyszerű véletlen mintavételes felméréssel. Azt találták, hogy a 400 fős mintából 172-en járnak rendszeresen színházba. • Határozza meg és értelmezze a színházbajárók mintabeli arányának a standard hibáját! • Becsülje meg 95%-os valószínűséggel, hogy a főiskola 11 200 hallgatójából hányan járnak rendszeresen színházba! • Mennyi lenne a becslés eredménye, ha 98%-os megbízhatósági szintet választanánk? Próbálja meggondolni még a számolás elkezdése előtt, hogy a konfidenciaintervallum nagyobbnak vagy kisebbnek fog adódni? • 2% -os hibahatár eléréséhez mekkora minta volna szükséges?

12. Átlag-becslés rétegzett mintából • Átlagbecslés rétegzett mintából (Általános eset) • A mintakeret szétosztása rétegzett minta esetén: • Arányos rétegzés • Optimális rétegzés • Átlagbecslés arányosan rétegzett mintából

13. Átlagbecslés rétegzett mintából (Általános eset) Pontbecslés Standard hiba Konfidencia intervallum

14. Mintakeret szétosztása (A mintabeli réteg-arányok meghatározása) Arányos rétegzés Optimális rétegzés

15. Átlagbecslés arányosan rétegzett mintából Pontbecslés Standard hiba: Független minta: Nem független minta: Konfidencia intervallum

16. A belső és külső szórásnégyzet(Emlékeztető) Belső szórásnégyzet Külső szórásnégyzet Teljes szórásnégyzet

17. PÉLDABecslés arányosan rétegzett mintából A felnőtt lakosságból arányos rétegzéssel mintát vettek a havi gyógyszer kiadások becslése céljából. A 2000 fős minta adatai Becsülje meg az átlagos havi kiadást! A konfidenciaszint 95%.

18. A sokasági szórás becslése Feltétel: a sokasági eloszlás normális A szórásnégyzet pontbecslése a mintából: Ez torzítatlan becslés.

19. Intervallumbecslés Ha a sokasági eloszlás normális, akkor az kifejezés Khi-négyzet eloszlású És meghatározható egy intervallum, amelybe ennek a kifejezésnek az értéke (1 – α) valószínűséggel esik.

20. Konfidencia-intervallum Átrendezve:

21. Példa A főiskolás hallgatók testmagasságáról tudjuk, hogy normál eloszlású. A szórást kívánjuk megbecsülni egy 25 fős minta segítségével. A minta korrigált szórásnégyzete 144-nek adódott. Feladat: Adjon becslést a sokasági szórásra95%-os megbízhatósági szinten!

22. Köszönöm a figyelmet!

23. KitérőA binomiális eloszlásról Valószínűség: Várható értéke: Szórása: