6. Plenum 6.11.2009 Ganzrationale Funktionen

1. 6. Plenum 6.11.2009 Ganzrationale Funktionen

2. Was sind noch mal Potenzfunktionen? Funktionen der Form x  a x n mit n N und a Rnennt man Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten.

3. . . . in der Übersicht Graphen von einfachen Potenzfunktionen (a=1) mit geraden Exponenten mit ungeraden Exponenten x x3 x5 x7 x2 x4 x6

4. Lernangebot • Ein neuer Funktionstyp: • Ganzrationale Funktionen • Verhalten für x —› ± ∞ mit Übungen • Symmetrie: • allgemein • bei ganzrationalen Funktionen

5. Anwendungsbeispiel Volumen einer Schachtel 21 - 2x Term zur Volumenberechnung : (30-2x)(21-2x)x Funktion zur Volumenberechnung in Abhängigkeit von x V(x) = 4x3 - 102x2 + 630x Definitionsmenge D = {x| x є R, 0< x < 10,5}

6. Definitionen Neue Funktionsterme Terme der Form anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 mit n є N und an≠ 0 nennt man Polynome 4x3 - 102x2 + 630x -7x5 + 2x3 – 4,2 3x6 –x5 + 6x4 – 9x3 – 88x2 + 10x -7 Der höchste Exponent n heißt Graddes Polynoms. Die reellen Zahlen an bis a0 heißen Koeffizienten.

7. Definitionen GanzrationaleFunktionen Eine Funktion f mit einem Polynom als Funktionsterm nennt man eine ganzrationale Funktion. Grad 4 Der Funktionsterm ist kein Polynom →h ist keine ganzrationale Funktion

8. 3. Grades unter der Lupe Ganzrationale Funktionen unter der Lupe f(x)= x3 - x f(x)= x3 + x2 - 2x -2

9. 4. Grades unter der Lupe Ganzrationale Funktionen unter der Lupe f(x)= x4 - 2x3 - x2 + 2x f(x)= x4 - 3x3 - x2 + 3x

10. 5. Grades unter der Lupe Ganzrationale Funktionen unter der Lupe f(x)= x5 - x3 f(x)= -x5 + 1,27x3 – 0,15x2 + 0,2376x

11. Direkter Vergleich Potenzfunktionen - ganzrationaleFunktionen aus der Nähe aus der Ferne f(x)= x3 g(x)= x3 - x f(x)= x4 g(x)= x4 - 2x3 – x2 +2x

12. Kurvenverlauf f(x) =anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f vom Grad n wird für x ∞ bzw. x  - ∞vom Summanden anxnbestimmt. Ist an > 0und n gerade so folgt für f(x): für x  - ∞ gilt: f(x)  + ∞. für x  + ∞ gilt: f(x)  + ∞. Ist an < 0und n gerade so folgt für f(x): für x  - ∞ gilt: f(x)  - ∞. für x  + ∞ gilt: f(x)  - ∞.

13. Kurvenverlauf f(x) =anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 Ist an > 0und n ungerade so folgt für f(x): für x  - ∞ gilt: f(x)  - ∞. für x  + ∞ gilt: f(x)  + ∞. Ist an < 0und n ungerade so folgt für f(x): für x  - ∞ gilt: f(x)  + ∞. für x  + ∞ gilt: f(x)  - ∞.

14. Casting - Beispiel Casting: Deutschlandsucht denKurvenstar f(x) = -x4 +3x3 +x2 -3x f(x) =-x4+3x3 +x2 -3x

15. Casting 1A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 2x5 +3x4 –7x

16. Casting 1B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 2x5 +3x4 –7x

17. Casting 2A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 7x4 –7x5 +x2

18. Casting 2B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 7x4–7x5 +x2

19. Casting 3A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 10 -x +x2 -x3 +4x4 -10x5 +x6 -x7 +x8

20. Casting 3B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 10 -x +x2 -x3 +4x4 -10x5 +x6 -x7 +x8

21. Casting 4A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 5x6 –50x5 +75x4 +1280x3 +580x2 -6480x +14240

22. Casting 4B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 5x6 –50x5 +75x4 +1280x3 +580x2 -6480x +14240

23. Symmetrie Achsensymmetrie zur y-Achse: zu –x und zu x gehört derselbe y-Wert f(-x) = f(x) Punktsymmetrie zum Ursprung: die zu –x und zu x gehörige y-Werte unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen f(-x) = -f(x)

24. Symmetrie – einfach zu erkennen Bei ganzrationalen Funktionen erkennt man eine vorhandene Symmetrie sehr schnell. f(x)= -3x6 + 5x2 g(x)= x400 - 3x78 – 77 Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit geradenHochzahlen, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Solche ganzrationalen Funktionen heißen gerade. h(x)= 4x7 - 5x3 + 9x k(x)= -22x431 - 3x91 Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit ungeradenHochzahlen, so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Solche ganzrationalen Funktionen heißen ungerade.

25. Die drei Fragen Erkläre die Begriffe: „ Polynom“ und „ganzrationale Funktion“. Welchen Verlauf haben die Graphen der ganzrationalen Funktionen im Vergleich zu den Potenzfunktionen? Wie erkenne ich, welche dieser Funktionen Symmetrieeigenschaften besitzen?

26. Aufgaben Viel Erfolg!