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Johannes-Kepler- Gymnasium Plenum

Johannes-Kepler- Gymnasium Plenum. Wir beginnen mit etwas wirklich Spannendem Monotonie. Was bedeutet noch mal monoton steigend/fallend, was war doch gleich strenge Monotonie ?. streng monoton fallend. streng monoton steigend. monoton steigend.

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Johannes-Kepler- Gymnasium Plenum

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Presentation Transcript

  1. Johannes-Kepler- Gymnasium Plenum

  2. Wir beginnen mit etwas wirklich Spannendem Monotonie

  3. Was bedeutet noch mal monoton steigend/fallend, was war doch gleich strenge Monotonie ? streng monoton fallend streng monoton steigend monoton steigend Was bedeutet das für die Ableitung der Funktion?

  4. Wir fassen die Ergebnisse zusammen:

  5. Hoch- und Tiefpunkte

  6. Hochpunkte und Tiefpunkte finden f‘(2)=0 und f‘(4)=0

  7. VZW von – nach + f´(4)=0 und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von - nach +  Tiefpunkt (TP) bei x=4

  8. VZW von + nach - f´(2)=0 und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von + nach –  Hochpunkt (HP) bei x=2

  9. VZW von + nach - f(x)=x³-9x²+24x f´(x)=3x²-18x+24 f‘(2)=0 + f‘(1)=9 f‘( )= - 2,5 -2,25 f´(2)=0 und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von + nach –  Hochpunkt (HP) bei x=2

  10. Beispiel f‘(x)=0,05(4x3+3x2-36x-16) f(x)=0,05(x4+x3-18x2-16x+32) - + f‘(0)=-4/5 f‘(-0,438)=0 f‘(-1)=19/20 VZW von + nach – also hat f‘ an der Stelle x0=-0,438 einen Hochpunkt.

  11. Liegt in allen Fällen ein Minimum oder Maximum vor, falls f´(x0)=0 ? Nein ! Es gilt zwar f´(1)=0 , aber f´(x) hat an der Stelle x0= 1 keinen VZW  An der Stelle x0 liegt ein Sattelpunkt vor!

  12. Zusammenfassung • So sucht man Extrema: • Suche alle Stellen mit f´(x)=0. • Untersuche f´(x) an diesen Stellen auf VZW. f´(x0)=0 und VZW von f´(x) von + nach -  HP bei x0 f´(x0)=0 und VZW von f´(x) von - nach +  TP bei x0 f´(x0)=0 und kein VZW  SP bei x0

  13. Beispielaufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 3x4 - 8x3 + 6x2, x  R • Suche alle Stellen mit f´(x)=0: • f´(x)= 12x3 - 24x2 + 12x • f´(x)=0 • 0= 12x3 - 24x2 + 12x │ :12 •  0= x3 - 2x2 + x • 0= x(x2 -2x + 1) • 0=x(x-1)2 Damit ist x=0 eine einfache und x=1 eine doppelte Nullstelle von f´(x).

  14. Beispielaufgabe 2.Untersuche f´(x) an diesen Stellen auf VZW: f‘(-1)= - 48 f‘(0,5)= 1,5 f‘(0,5)= 1,5 f‘(2) = 24 - VZW von – zu +  TP + + kein VZW  SP +

  15. Die drei Fragen: • Wie findet man Punkte, die als Hoch- bzw. Tiefpunkte in Frage kommen? • Warum ist die Bedingung f `(x) = 0 zwar notwendig, aber nicht aus reichend, um die Frage nach den Extrema zu klären? • Was sollte man auch untersuchen, damit man in der Beurteilung der Extrema sicher ist?

  16. LS11 Seite 139: A 2 e,f + VZW prüfen Seite 142: A 2 a,b + VZW prüfen Hausaufgabe

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