Prof. Dr Franciszek Kubiczek e-mail:fkub@onet.eu

1. 11 REGRESJA LINIOWA - PREDYKCJA (LINEAR REGRESSION - PREDICTION) Rok akademicki 2010/2012 Prof. Dr Franciszek Kubiczek e-mail:fkub@onet.eu

2. STATYSTYCZNA TEORIA KORELACJI I REGRESJI • „Rak płuc jest powiązany z paleniem papierosów” – im więcej pali się papierosów, tym bardziej jest prawdopodobne, że zachoruje się na raka!! • Narzędzie do dokładnego określania stopnia, w jakim zmienne są ze sobą powiązane. Pozwala zweryfikować (także negatywnie) rozpoznane powiązanie, jak również wykryć nierozpoznane dotychczas współzależności. • Podstawowym problemem statystyki korelacji i regresji jest stwierdzenie, czy między zmiennym (zjawiskami, procesami, zdarzeniami) występuje jakiś związek, jakaś zależność i czy związek ten jest mniej lub bardziej ścisły.

3. GALTON – TWÓRCA STATYSTYCZNEJ TEORII REGRESJI • Sir Francis Galton (kuzyn Darwina) – 1822-1911, twórca eugeniki, daktyloskopii, prekursor badań nad inteligencją, statystyk, meteorolog, antropolog, kryminolog. Pisarz, lekarz. Opracował metody statystyczne badania rozkładu uzdolnień w populacjach, wprowadził pojęcie testu umysłowego (składały się z zadań psychofizycznych) . Za odpowiedzialne za inteligencję i zdolności umysłowe uważał dwie zmienne: energię działania i wrażliwość zmysłową. • W 1899 r. w pracy „Naturalna dziedziczność” ogłosił, że rozmiary nasion groszku pachnącego mają tendencję w kolejnych generacjach do powracania (to regress)do swego średniego rozmiaru, podobnego związku dopatrzył się także między wzrostem syna i ojca itd. • Dopasowywał do tych par liczb linię prostą opisującą tę zależność

4. ISTOTA REGRESJI • KORELACJA (Correlation) daje możliwość stwierdzenia, czy istnieje związek (niekoniecznie przyczynowo-skutkowy) miedzy badanymi cechami (zmiennymi) oraz jaka jest jego siła i kierunek • REGRESJA (Regression) daje możliwość oszacowania (estymacji) wartości jednej cechy (zmiennej zależnej, objaśnianej) na podstawie wartości przyjmowanych przez drugą cechę (zmienną niezależną, objaśniającą) • FUNKCJA REGRESJI (Function of regression) której parametry można oszacować przy pomocy metody najmniejszych kwadratów (MNK). Równanie opisujące związek statystyczny między zmiennymi nazywa się równaniem lub modelem regresji.

5. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW MNKLEAST SQUARES METHOD • K. F. Gauss – twórca metody (1809 r. , w wieku 25 lat) • Metoda powstała w kontekście estymacji sześciu stałych w czasie parametrów określających położenie ciała niebieskiego na orbicie eliptycznej • Początek szerszego stosowania 1950-1960 • Najmniejszy błąd kwadratowy jako kryterium oceny, stąd nazwa metody najmniejszych kwadratów • Metoda najmniejszych kwadratów polega na estymacji parametrów modelu regresji zapisanego w postaci addytywnej (sumarycznej), która pozwala na znalezieniu takich wartości tych parametrów, że suma kwadratów odchyleń pomiędzy rzeczywistymi (empirycznymi) a teoretycznymi (obliczonymi z równania regresji) wartościami zmiennej objaśnianej jest najmniejsza. Model jest tym lepiej dopasowany do danych rzeczywistych, im różnice miedzy zaobserwowanymi wartościami zmiennej objaśnianej (Y) a jej wartościami teoretycznymi są mniejsze.

6. MODELE REGRESJI • Model ekonometryczny (Econometric model):równanie (lub układ równań) opisujące zależność pomiędzy zjawiskami ekonomicznymi - przyczynowo-skutkowe(cause and effect model):w których między zmiennymi objaśnianymi a zmiennymi objaśniającymi zachodzi związek przyczynowo-skutkowy - symptomatyczne:bez związku przyczynowo-skutkowego, ale w których zachodzi statystyczny silny związek korelacyjny; może to oznaczać, że inne zmienne (tzw. symptomatyczne) oddziałują silnie na zmienne objaśniające włączone do modelu - autoregresyjne (autoregression):w których w roli zmiennych objaśniających występują opóźnione w czasie zmienne objaśniane - tendencji rozwoju:opisują rozwój zjawisk w czasie (bez analizy przyczyny zjawisk bądź związków miedzy zmiennymi)

7. ETAPY BUDOWY MODELU (RÓWNANIA) REGRESJI • Określenie istoty zjawiska, które jest badane; wybór modelu • Wybór zmiennych objaśniających (x), spośród wielu czynników wpływających na zmienną objaśnianą (y); informacje o tym zdobywamy w rezultacie analizy korelacji miedzy zmiennymi. • Jeżeli modelujemy zjawisko, które ma swoją rozwiniętą teorię, wtedy z tej teorii możemy uzyskać informację o potencjalnych zmiennych objaśniających, a niekiedy nawet o analitycznej postaci funkcji regresji. • Zdarza się, że zmienne uważane za przyczynę nie mogę zostać zmierzone lub informacja o nich nie jest osiągalna. Wtedy sięgamy do innych zmiennych, pośrednio mówiące o pierwotnych przyczynach. Takie zmienne nazywamy symptomatycznymi i ich wykorzystanie w modelu jest uzasadnione.

8. ETAPY BUDOWY MODELU (RÓWNANIA) REGRESJI • W wielu zjawiskach, liczba potencjalnych zmiennych objaśniających jest bardzo duża i nie możemy ich wszystkich zamieścić w równaniu regresji. Ograniczeniem jest jednak zwykle liczba posiadanych (lub możliwych do zdobycia) informacji liczbowych o wartościach tych zmiennych. • Wnioskowanie przyczynowo-skutkowe wymaga nie tylko spełnienia formalnych wymagań poprawności równania regresji, lecz przede wszystkim logicznej i merytorycznej analizy modelowanego zjawiska.

9. ETAPY BUDOWY MODELU (RÓWNANIA) REGRESJI • Wybór postaci analitycznej modelu: określenie postaci funkcji matematycznych opisujących zależność zmiennej objaśnianej od zmiennych objaśniających; • Najczęściej stosowanym modelem regresji jest model liniowy oraz jednorównaniowy • Oszacowanie (estymacja) parametrów modelu (równania) • Weryfikacja modelu: sprawdzenie czy model adekwatnie opisuje badaną rzeczywistość ekonomiczną • Wnioskowanie na podstawie modelu: analiza ekonomiczna i prognozowanie

10. RÓWNANIE REGRESJI LINIOWEJ (LINEAR REGRESSION EQUATION) Y = a x + b S [Y – (a x + b)]2 = minimum Y –zmienna objaśniana (dane rzeczywiste) Y– zmienna objaśniana (dane teoretyczne z równania regresji) x–zmienna objaśniająca a, b–parametry strukturalne równania regresji a - współczynnik regresji (regression coefficient) b - wyraz wolny (tzw. parametr skali); podaje wartość zmiennej y, gdy zmienna x przybiera wartość zero. ^

11. RÓWNANIE REGRESJI LINIOWEJ (LINEAR REGRESSION EQUATION) • Parametry tej funkcji (a i b) muszą być tak dobierane, aby wartość sumy kwadratów odchyleń wartości rzeczywistych cechy (Y) od wartości tej cechy, obliczonej na podstawie tego równania (Y) była jak najmniejsza, czyli:

12. RÓWNANIE REGRESJI • Gdy obliczymy parametry równania a i b i wstawimy je do równania otrzymamy empiryczne równanie regresji wyprowadzone z konkretnego szeregu danych statystycznych. Estymacja parametrów liniowej funkcji regresji polega na znajdowaniu takich wartości, aby model regresji jak najlepiej pasował do danych rzeczywistych. • Mając to równanie możemy obliczyć zmienną zależną (objaśnianą) podstawiając konkretną wartość zmiennej niezależnej (objaśniającej) • Wyniki te możemy wykorzystać do prognozowania kształtowania się konkretnego zjawiska w konkretnej przyszłości, badania wariantów rozwojowych; • Współczynnik regresji: informuje, o ile, średnio biorąc, zmieni się przeciętny poziom zmiennej zależnej (objaśnianej - Y), jeśli wartość zmiennej niezależnej (objaśniającej – X), przy której stoi współczynnik, wzrośnie (spadnie) o jednostkę, natomiast wartości pozostałych zmiennych objaśniających nie ulegną zmianie.

13. ESTYMACJA I WERYFIKACJA • Estymacja: zastosowanie odpowiednich metod statystycznych w celu otrzymania jak najlepszych wartości występujących w modelu parametrów w oparciu o rzeczywiste dane liczbowe. • Weryfikacja: sprawdzenie, czy otrzymane oszacowania (estymacje) wytrzymują konfrontację z teorią (równaniem regresji) oraz czy dane potwierdzają poprawność przyjętego modelu. Szacujemy istotność otrzymanych parametrów równania (równań). Jeżeli model nie spełnia stawianym wymaganiom możemy opracować nowy: zmienić postać funkcji, zebrać nowe dane, wykorzystać inną teorię.

14. OBLICZANIE PARAMETRÓW RÓWNANIA REGRESJI(Estimate of the parameters) lub a, b – parametry (współczynniki) równania regresji xi ,yi –wartości rzeczywiste zmiennych x, y- wartości średnie zmiennych rxy – współczynnik korelacji Sx, Sy – odchylenia standardowe

15. S V = x 100 y WERYFIKACJA OSZACOWANIA PARAMETRÓW ( VERIFICATION OF THE ESTIMATION) S to odchylenie standardowe wartości rzeczywistych (empirycznych) cechy y od jej wartości teoretycznych uzyskanych z liniowej funkcji regresji dla tych samych wartości cechy x; im mniejsze S tym większa precyzja dopasowania linii regresji do danych rzeczywistych V to współczynnik zmienności, miara natężenia odchyleń

16. WSPÓŁCZYNNIK DETERMINACJI (DETERMINATION COEFFICIENT) • Współczynnik determinacji informuje, jaka część zmienności zjawiska (Y) jest wyjaśniana przez zaobserwowane zmiany w wartościach zmiennych objaśniających. • R2 jest miarą siły liniowego związku między zmiennymi, czyli miarą dopasowania linii regresji do danych rzeczywistych i przyjmuje wartości od 0 do 1 i oznacza w skrajnych wypadkach: • 0 - zupełny brak dopasowania funkcji regresji do danych rzeczywistych • 1 - idealne dopasowanie funkcji regresji do danych rzeczywistych Im większe R2 tym dopasowanie jest lepsze i tym większe można mieć zaufanie do regresji

17. WSPÓŁCZYNNIK ZBIEŻNOŚCI (CONVERGENCE COEFFICIENT) Z = 1 – R2 • Informuje, jaka część całkowitej zmienności cechy y nie jest wyjaśniana regresją liniową względem cechy x; • Jeżeli funkcja regresji jest idealnie dopasowana toR2 = 1, czyli Zb = 0 i odwrotnie, • Jeżeli funkcja regresji zupełnie odbiega od danych rzeczywistychtoR2 = 0, czyliZb = 1

18. TABLICA KORELACYJNA • Tablicę budujemy porządkując szeregi danych wg wartości zmiennej niezależnej, np. wg czasu, wartości PKB na mieszkańca, wysokości wynagrodzenia, • Z oglądu tablicy wnioskujemy intuicyjnie, czy istnieje jakiś związek (choćby liczbowy) pomiędzy zmiennymi, np. wraz ze wzrostem PKB na mieszkańca wydłuża się długość życia, wraz ze wzrostem ceny spada popyt • Jako specjaliści w danej dziedzinie może stwierdzić lub przyjąć hipotezę, że pomiędzy zmiennymi istnieje związek przyczynowo-skutkowy • Dopiero obliczenie współczynników korelacji i determinacji pozwoli określić kierunek i siłę ewentualnej korelacji pomiędzy danymi zmiennymi • Po stwierdzeniu korelacji, jej siły i kierunku przystępujemy do wyboru rodzaju krzywej regresji. Pomocny jest w tym celu diagram (wykres) korelacji. Układ punktów na wykresie powinien wskazać na rodzaj krzywej (lub prostej) regresji

19. TABLICA KORELACYJNA (Correlation table) REGRESJA 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 Ilości sprzedane Z oglądu tablicy i wykresu widać intuicyjnie, że występuje korelacja, gdyż wraz ze wzrostem ceny maleje sprzedaż oraz, że dobrym przybliżeniem będzie regresja liniowa.

20. OBLICZANIE WSPÓŁCZYNNIKA KORELACJI I DETERMINACJI Współczynnik korelacji r= SILNA KORELACJA UJEMNA Współczynnik determinacjir2= (-0,93)2 = 0,87tzn. , że w 87% zmiana ceny wpływa na zmianę sprzedaży

21. OBLICZANIE PARAMETRÓW RÓWNANIA REGRESJI • Współczynnik regresji • Równanie regresji • Błąd standardowy • Współczynnik zmienności

22. WYKRES KORELACYJNY (DIAGRAM OF CORRELATION) REGRESJA 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 Równanie regresji Ilości sprzedane

23. TABLICA KORELACYJNA

24. WYKRES KORELACYJNY PRZECIĘTNE DALSZE TRWANIE ŻYCIA W LATACH W RELACJI DO PKB NA 1 MIESZKAŃCA 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 14 000 16 000 18 000 20 000 22 000 24 000 26 000 28 000 30 000 32 000 34 000

25. WSPÓŁCZYNNIKI KORELACJI I DETERMINACJI • KORELACJI (Correlation coefficient) R = 0,85, tzn. że korelacja jest silna i jednokierunkowa, tzn. że związek między poziomem PKB na mieszkańca a długością życia jest silny oraz że wzrost PKB powoduje wydłużanie życia ludności • DETERMINACJI (Determination coefficient) R2 = 0,852 = 0,72, tzn. że w 72% poziom PKB na mieszkańca wyjaśnia (określa) poziom długości życia • INTERDETERMINACJI (Indetermination coefficient) 1 – R2 = 1 - 0,72 = 0,28, tzn. że w 28% poziom długości życia zależy od innych czynników niż poziom PKB na mieszkańca • Po obliczeniu tych współczynników i stwierdzeniu istnienia korelacji przystępujemy do dalszych kroków mających na celu wypracowanie równania regresji

26. OBLICZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW RÓWNANIA REGRESJI • a = 1 589 587 : 3 081 243 874 = 0,00052 $/rok co oznacza, że każde 1000$ PKB na mieszkańca wydłuża życie o 0,52 roku • b = 70 – 0,52 15,1 = 62,2 lata (70 = średnia trwania życia, 15,1 = średni PKB) • Równanie regresji liniowej: Y = 0,52 xi + 62,2(PKB w tys. USD)

27. WYKRES KORELACYJNY • Trzeba się dobrze przyjrzeć (wzrokowo – dosłownie) wykresowi pod kątem wybory formy regresji: liniowej bądź nieliniowej, jeśli nieliniowej to wg jakiej krzywej • Wybierając formę regresji (rodzaj funkcji) przystępujemy do obliczeń współczynników równania regresji

28. WYKRES FUNKCJI REGRESJI I DANYCH RZECZYWISTYCH PRZECIĘTNE DALSZE TRWANIE ŻYCIA W LATACH W RELACJI DO PKB NA 1 MIESZKAŃCA 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000 11 000 12 000 13 000 14 000 15 000 16 000 17 000 18 000 19 000 20 000 21 000 22 000 23 000 24 000 25 000 26 000 27 000 28 000 29 000 30 000 31 000 32 000 33 000

29. PROGNOZY SZEREGÓW CZASOWYCH (Time series forecating) • Wyrównywanie szeregów czasowych przy pomocy średniej ruchomej nazywaliśmy metodą mechaniczną • Wyrównywanie szeregów czasowych przy pomocy równań regresji liniowej (lub nieliniowej) i MNK nazywamy metodą analityczną • W tych równaniach zmienną niezależną (x) jest czas (lata, miesiące itp.), najczęściej oznaczana jako zmienna t. • Równania regresji mogą służyć prognozowaniu szeregów czasowych, zwłaszcza w perspektywie średnio i długookresowej (time specific regression). Równanie:y = b + a t

30. TYPOWE POSTACI ZWIĄZKÓW DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJA LINIOWA (Linear) FUNKCJA WYKŁADNICZA (potential) Y = aX + b Y = abx

31. 1 Y = a + b X TYPOWE POSTACI ZWIĄZKÓW DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJA HIPERBOLICZNA FUNKCJA PARABOLOCZNA (parabolic)KWADRATOWA Y = a + bX + cX2

32. TYPOWE POSTACI ZWIĄZKÓW DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJA LOGARYTMICZNA FUNKCJA WIELOMIANOWA (polynominal) Y = a + blnX Y = a0 + a1X + a2X2+ a3X3+ …+anXn

33. a0 Y = 1 + a1e-x TYPOWE POSTACI ZWIĄZKÓW DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJA TRYGONOMETRYCZNA (sine) FUNKCJA LOGISTYCZNA (logistic) Y = a sinX + b

34. PROBLEM WYBORU KRZYWEJ DO REGRESJI • Aby wybrać właściwą dla danego zjawiska postać krzywej musimy sporządzić wykres punktowy i dobrze się przyjrzeć kształtowi rozmieszczenia się punktów xi yi • Mając do dyspozycji wiele postaci krzywych (parabolicznych, wykładniczych, logistycznych, trygonometrycznych itp.) musimy sami wybrać tę, która jest najbliższa zjawisku ukazanemu na wykresie • Tę właśnie wybraną krzywą dopasowujemy do zjawiska poszukując parametry równania funkcji jej odpowiadającej przy pomocy MNK • Jeśli dla wybranej krzywej błąd standardowy okaże się zbyt duży, poszukujemy innej postaci krzywej lub zrezygnować z metody regresji na rzecz metod mechanicznych (średnia ruchoma, wyrównanie wykładnicze Browna)

35. BŁĄD PREDYKCJI • Ocenę dokładności prognozy opartej o równanie regresji prowadzimy przy pomocy tzw. błędu predykcji • Jeśli wielkość błędu (stopnia precyzji) jest akceptowalna pozostajemy przy wybranej formie regresji (np. liniowej) • Jeśli jest zbyt wysoki, poszukujemy innej krzywej bądź innej formy regresji, np. wielorakiej, gdyż być może na zmienną zależną ma wpływ więcej niż jedna – dotychczas brana pod uwagę - zmienna

36. BŁĄD PREDYKCJI (PREDICTION ERROR) Y p,n =wartość cechy y dla ustalonej wartości cechy x równejx k

37. REGRESJA WIELORAKA (MULTIPLES REGRESION) • W analizie regresji często się zdarza, że zmienna (y) zależy od więcej niż jednej zmiennej niezależnej (x), które ją objaśniają przyczynowo • Często w modelach posługujemy się układem wielu równań, a nie tylko jednym równaniem z wieloma zmiennymi • Jeśli do równania regresji włączymy kilka takich zmiennych powstaje model regresji wielorakiej Y = b + a1 x1 + a2 x2 + ... + ak xk + e gdzie:xi – zmienne niezależne wpływające nay ai - współczynniki regresji wiążące daną zmiennąxize zmienną zależnąy b - wielkość stała e – współczynnik losowy

38. ANALIZA REGRESJI WIELORAKIEJ (Multiple regression analysis) • Zadaniem analizy regresji wielorakiej jest: • Budowa właściwego równania (liniowego lub nieliniowego), jako modelu zjawiska • Oszacowanie wartości parametrów (oraz składnika losowego) równania przy pomocy MNK • Obliczenie standardowego błędu oszacowania parametrów wg wzoru RMSE oraz współczynników korelacji, determinacji i regresji wielorakiej. Uwaga: współczynnik regresji wielorakiej mierzy część zmienności zmiennej zależnej (objaśnianej), która została wyjaśniona oddziaływaniem zmiennych niezależnych (objaśniających) występujących w danym modelu regresji

39. REGRESJA WIELORAKA - PRZYKŁAD • Firma Alka-Seltzer nasiliła kampanię promocji swoich produktów chemicznych. W ciągu 10 tygodni firma śledziła swoje wydatki na reklamę radiowo-telewizyjną (zmienna x1 ) oraz wydatki na pokazy w sklepach (zmienna x2 ). • Wielkość sprzedaży to zmienna zależna Y. • Analityk przeprowadził badania statystyczne modelu liniowej regresji wielorakiej wg równania: Y = b +a1x1 + a2x2 + e wiążącego wielkość sprzedaży z dwiema zmiennymi.

40. REGRESJA WIELORAKA - PRZYKŁAD • Rezultat analiz to równanie regresji (miano w tys. $): Y = 47,2 + 1,6 x1 + 1,15 x2 a1 = 1,6 oznacza, że każdy 1 000$ wydatków (w danym okresie) na reklamę radiowo-telewizyjną przynosi wzrost sprzedaży o 1 600$ w dłuższym okresie czasu a2 = 1,15 oznacza, że każdy 1 000$ wydatków (w danym okresie) na pokazy w sklepach przynosi wzrost sprzedaży o 1 150$ w dłuższym okresie czasu

41. REGRESJA WIELORAKA - PROGNOZOWANIE • Prognozowanie: x1 = 10 000$ (wydatki na reklamę) x2 = 5 000$ (wydatki na pokazy w sklepach) Y = b + a1 x1 + a2 x2 Y = 47,2 + 1,6 x 10 000 + 1,15 x 5 000 = 68 900$

42. REGRESJA NIELINIOWA (NONLINEAR REGRESSION) • W praktyce czasami między zmienną zależną (Y) a zmiennymi niezależnymi (xi ) zachodzą nieliniowe związki korelacyjne; najlepiej informuje o tym wykres korelacyjny (rozrzutu). • W wielu przypadkach model nieliniowy można przekształcić w liniowy (modele linearyzowane), który jest znacznie prostszy w analizie i oszacowaniu parametrów • Gdy to przekształcenie jest zbytnim uproszczeniem zjawiska, poszukujemy modeli wykładniczych, logarytmicznych, logistycznych, trygonometrycznych itd., które lepiej (bardziej adekwatnie do rzeczywistości) opisują badane zjawisko.

43. REGRESJA LINIOWA I NIELINIOWA • Jeżeli chcemy sprawdzić, czy linia prosta nadaje się do wyrównania szeregu (przy pomocy MNK), badamy pierwsze przyrosty wyrazów danego szeregu • Jeśli te przyrosty są mniej więcej równe, to dla wyrównania szeregu można (w pierwszej przymiarce) przyjąć linię prostą (regresję liniową) wg równaniay = a x + b • Jeśli przyrosty stale wzrastają lub maleją to należy posłużyć się wielomianem wyższego stopnia np. y = b + a x + c x2 • Jeśli przyrosty względne są stałe to można się posłużyć wzorem na funkcję wykładniczą: y = a (1+p)t, gdzie a=wartość wyjściowa, p=stopa przyrostu, t= czas

44. MODELE EKONOMETRYCZNE (Econometric models) • Modele rozwoju gospodarki narodowej Langego, Kaleckiego, Pajestki itd., w których interesują nas głównie trendy • Modele koniunktury gospodarek lub branż, w których interesują nas cyklei wahania sezonowe • Modele rynkowo-produktowe, w których interesują nas elastyczności cenowo-dochodowe w kontekście popytu i podaży • W modelach tych wielkie znaczenie ma właściwe statystyczne oszacowanie parametrów równań. Wtedy modele te nabierają wartości analityczno-prognostycznych

45. MODELE EKONOMETRYCZNE (Econometric models) • W sferze finansów zaproponowano modelowanie zjawisk wysokiej częstotliwości; dotyczy to głównie kursów walut, kursów akcji, które zmieniają się niezmiernie często. Do analizowania takich procesów powstała nowa klasa modeli o nazwie ARCH. • Jej twórca Robert Engle otrzymał za to Nagrodę Nobla w 2003 r. • W innych obszarach ekonomii, gdzie posługujemy się danymi o niskiej częstotliwości, a więc miesięcznych, kwartalnych czy rocznych zaproponowano nowe podejście modelowe, które złożyło się na teorię kointegracji. • Za nią Nagrodę Nobla otrzymał Clive Granger.

46. MODEL Langego • Model Oskara Langego: STOPA PRZYROSTU PRODUKTU KRAJOWEGO= iloczyn stopy inwestycji i efektywności inwestycji DD/D = I/D xDD/I R = a x b STOPA INWESTYCJI= iloraz wydatków na inwestycje i produktu krajowego (udział inwestycji w produkcie krajowym) – a = I/D EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI= iloraz przyrostu produktu i wydatków na inwestycje (przyrost produktu na 1 zł inwestycji) – b = D/I

47. PROBLEMY • Dla polityka gospodarczego: - ustalić stopę inwestycji • Dla analityka-statystyka: - oszacować statystycznie (na podstawie długiego szeregu czasowego i prognoz) przy pomocy MNK współczynnik makroekonomicznej efektywności inwestycji Przykład: a = 0,15 (15% produktu krajowego) b = 0,3 R = a b = 0,15 0,3= 0,045 Przy założonym a = 0,15 i oszacowanej efektywności 0,3 produkt krajowy wzrasta o 4,5% rocznie

48. MODEL I. Kudryckiej PKBt = - 102,98 + 1,529 Kt + 0,485 Zt gdzie: PKBt - indeks dynamiki PKB w cenach stałych (1990=100) Kt - indeks dynamiki majątku trwałego w cenach stałych (1990=100) Zt - indeks dynamiki przeciętnej liczby pracowników (1990=100) R2 = 97,69 !

49. REGRESJA LOGISTYCZNA (LOGISTIC REGRESSION) • Historia modelu logistycznego sięga końca XIX w.: P.F. Verhulst i R.F.Pearl • Pierwsze zastosowania: prognoza wzrostu populacji • Podstawy modelu: J. Berkson 1944 r. – „Application of the logistic function to bio-assay” • Pełny model regresji logistycznej zastosowany po raz pierwszy w 1972 r. przez D.J. Finneya – „Probit analysis”

50. KRZYWA LOGISTYCZNA (Logistic curve) Yt = a/(1+b e–ct) gdzie:Yt - wartość funkcji logistycznej w punkcie t a, b i c – to parametry funkcji logistycznej wartość a – odpowiada poziomowi nasycenia e – podstawa logarytmu naturalnego t - czas • Funkcja logistyczna wzrasta najpierw powoli, potem w tempie coraz bardziej przyspieszonym i osiągnąwszy punkt przegięcia tempo maleje i wreszcie niemal całkowicie ustaje zbliżając się do punktu nasycenia