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Chapter 4

Chapter 4. 二元樹的基本概念. 4.1 名詞定義. 樹狀結構實際上也是一種階層化( hierachy) 的結構，在生活中，血統表、組織結構表等都是樹狀結構的例子，圖4-1-1就是一棵樹的例子。. 4.1 名詞定義. 定義： 「樹」 ( tree) 是由一個或多個節點組成的有限集合，滿足 1.有一特定節點，稱之為樹根( root)。 2. 其餘節點分成 n≧0 個互斥集合。 T 1 ，T 2 ， … ，T n 稱為樹根的「子樹」（ subtree）。 圖4-1-1中， A 為樹根， T 1 、T 2 、T 3 也是一棵樹，作為 A 的子樹。

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  1. Chapter 4 二元樹的基本概念

  2. 4.1 名詞定義 • 樹狀結構實際上也是一種階層化(hierachy)的結構，在生活中，血統表、組織結構表等都是樹狀結構的例子，圖4-1-1就是一棵樹的例子。

  3. 4.1 名詞定義 • 定義：「樹」(tree)是由一個或多個節點組成的有限集合，滿足 1.有一特定節點，稱之為樹根(root)。 2.其餘節點分成n≧0個互斥集合。T1，T2，…，Tn稱為樹根的「子樹」（subtree）。 • 圖4-1-1中，A為樹根，T1、T2、T3也是一棵樹，作為A的子樹。 • 關於樹，有許多常用的名詞，底下將以圖4-1-1為例說明： *

  4. 4.1 名詞定義 • 分支度(degree)每個節點的子樹個樹。 如節點A的分支度為3，B的分支度分別為2 • 樹葉(leaf)或終端點(terminal nodes)分支度為0的節點。 如節點{K , L , F , G , M , I } • 非終端節點(nonterminal nodes)分支度不為0的節點。 如節點{A, B, C, D, E, H} *

  5. 4.1 名詞定義 • 兒子(children)與父親(parent)在上的節點叫父親，在下的則叫兒子，因此B的兒子是{E、F}，B的父親是A。 • 兄弟(siblings)同一父親的節點。例如節點{H、J、I}是兄弟。 • 祖先(ancestors)指由樹根到該節點路徑上的所有節點。例如M的祖先為節點{A、D、H}。 *

  6. 4.1 名詞定義 • 階度(level)定義階度時，先定義樹根的階度為1，若某節點的階度是P，則其兒子的階度為P+1。 圖4-1-1右方列出了每一節點的階度。 • 深度(depth)或高度(height)樹所有節點中最大階度者。 圖4-1-1的樹深度就是4。 *

  7. 4.1 名詞定義 • 路徑(path)由一串不同節點所組成，經過這些節點後，可由一節點到達另一節點。如由經A到L的路徑為A、B、E、L，在樹狀結構中，不同節點間的路徑一定不同。 • 路徑長(path lenght)由一節點至另一節點所經過的邊數，例如由A節點至L節點的路徑長為3，至I的路徑長為2。 *

  8. 4.1 名詞定義 • 有序樹(bordered tree)與非有序樹(unordered tree)有序樹中的子節點排列具有某些意義，因此當我們表示結構時，就必須依此順序，下面要介紹二元樹就是有序樹的一種，而非有序樹其子節點表示法不唯一。 • 多向樹(multiway tree)如果樹的每一節點有固定的子節點數目，而且其排列次也具有特殊意義，則稱為「多向樹」。 *

  9. 4.1 名詞定義 • 定義：「森林(forest)」是指n≧0棵互斥樹的集合。 *

  10. 4.1 名詞定義 • 若節點最多只有二個兒子(children)，這個樹狀結構就是二元樹(binary tree)。 *

  11. 4.1 名詞定義 • 定義：「二元樹」(binary tree)是一個有限節點的集合，可能是空的或是包含一樹根或二棵互斥的二元樹，稱為左(left)和右(right)子樹，而左子樹右子數也個是一棵二元樹。 • 二元樹與樹是有所不同的：1.二元樹分成左子樹和右子樹，但一般樹的子樹次序並無關緊要。2.二元樹是准許空樹，但一棵樹則至少有一樹根節點。 *

  12. 4.1 名詞定義 • 圖4-1-4的樹狀結構稱之為歪斜樹(skewed tree)，向左歪斜者稱之為「左歪斜樹」，向右歪斜者，則稱之為「右歪斜樹」。 *

  13. 4.1 名詞定義 下面介紹二種特殊的二元樹： • 定義：「全滿二元樹」(full binary tree)是一深度為K的二元樹，其節點樹恰好2k-1個。 • 圖4-1-5是一深度為4的全滿二元樹，其節點樹共15個。 *

  14. 4.1 名詞定義 • 定義：「完整二元樹」(complete binary tree)是一深度K的二元樹，其所有的樹葉均在階度K和K—1，且階度K上的樹葉均在左邊，小於K—1階度的節點均有兩個兒子。

  15. 4.2 二元樹的基本性質 • 性質一：(1) 二元樹第i階度的節點樹最多2i-1個，i≧1。(2) 深度為K的二元樹，節點樹最多有2k-1個，k≧1。 • 性質二：非空之二元樹中，設n0代表樹葉數，n2代表分支度為2的節點樹，則n0=n2+1 • 性質三：對N個節點的二元樹而言，其高度至少為「log2(N+1)」，若此二元樹洽為完全二元樹，則其高度為log2(N+1)。 *

  16. 4.2 二元樹的基本性質 • 性質四：二元樹的計數(count)n個節點共能組成 種不同的二元樹。 說明：

  17. 4.2 二元樹的基本性質 1.設bn代表所能排出的二元樹總數，則bn=　bibn-i-1 b0=1= b0 bn-1＋b1bn-2＋……＋bn-2 b1＋bn-1b0 2.令B(X)＝　bnXn則B(X)＝b0＋　(b0bn-1＋b1bn-2＋……＋bn-2 b1＋bn-1b0)Xn B(X)－b0＝X　(b0bn-1＋b1bn-2＋……＋bn-2 b1＋bn-1b0)Xn＝X　( b0bn＋b1bn-1＋……＋bn-1 b1＋bnb0)Xn ＝XB2(X) (註：若CnXn=(AnXn)(bnXn) 則Cn=A1bn-1) *

  18. 4.2 二元樹的基本性質 3.解方程式 *

  19. 4.2 二元樹的基本性質 *

  20. 4.2 二元樹的基本性質 • 性質五：對一具n個節點的完整二元樹，若 • 則1.若i≠1，則PARENT(i)在位置「i/2」。i=1，i為樹根，沒有父親。2.若2i≦n，則LCHILD(i)在位置2i。若2i＞n，i沒有左兒子。3.若2i+1≦n，則RCHILD(i)在位置2i+1。若2i+1＞n，則i沒有右兒子。 *

  21. 4.3 二元樹的表示法 • 二元樹的表示法一般有兩種形式： 1.陣列表示法二元樹中的每一個節點由leftchild、rightchild、data三個欄位所構成，而leftchild，rightchild又是一節點，以圖4-1-6為例，表示法如下： *

  22. leftchild data rightchild 1 2 A 3 2 4 B 5 3 6 C 7 4 8 D 9 5 0 E 0 6 0 F 0 7 0 G 0 8 0 H 0 9 0 I 0 4.3 二元樹的表示法 *

  23. 4.3 二元樹的表示法 2.鏈結表示法 • 二元樹中的任一節點由leftchild，rightchild指標及data三個欄位所構成，即 *

  24. 4.4 樹及森林的追蹤 • 追蹤在於樹狀結構非常基本，在此我們一共考慮三種不同的追蹤方式： 1.前序(preorder) 2.中序(inorder) 3.後序(postorder) • 又被追蹤的結構有二元樹、一般樹及森林。 *

  25. 4.4 樹及森林的追蹤 1.二元樹 • 對二元樹而言，其三種追蹤方式的演算法如下： • (1)前序追蹤若非空二元樹 1.拜訪根節點 2.以前序追蹤左子樹 3.以前序追蹤右子樹 *

  26. 4.4 樹及森林的追蹤 • (2)中序追蹤若非空二元樹 1.以中序追蹤左子樹 2.拜訪根節點 3.以中序追蹤右子樹 • (3)後序追蹤若非空二元樹 1.以後序追蹤左子樹 2.以後序追蹤右子樹 3.拜訪根節點 *

  27. 4.4 樹及森林的追蹤 • 以圖4-4-1的算術為例， *

  28. 4.4 樹及森林的追蹤 • 其追蹤結果如下： 前序：/＋－＋ab*c＋def＋g*hi 中序：((a＋b)－c*(d＋e)＋f)/(g＋h*i) 後序：ab＋cde＋*－f＋ghi*＋/ *

  29. 4.4 樹及森林的追蹤 • 若已知二元樹之前序與中序追蹤，或中序與後序追蹤，則決定唯一二元樹，但若前序與後序追蹤相同，此樹並非唯一，但若假設二元樹如下： • 並設T’：表前序追蹤二元樹TT”：表後序追蹤二元樹T *

  30. T1=ø TR=ø T1≠ø TR=ø T1=ø TR≠ø T1≠ø TR≠ø 前序 R RT1’ RTR’ RTL’TR’ 後序 R TL”R TR”R TL”TR”R 4.4 樹及森林的追蹤 • 則此樹所對應的追蹤結果如下(設ø代表空樹) *

  31. 4.4 樹及森林的追蹤 • 因此若有一樹TL’=TR’且TL”=TR” ，則不同的二元樹會有相同的前序及後序追蹤，如圖4-4-2的二元樹所示： *

  32. 4.4 樹及森林的追蹤 • 若設一二元樹其追蹤結果如下：前序 ABCDEFGHI後序 CBAEDGHFI • 則用遞迴的方式，可決定出此樹，其過程如下： (1)由前序知A為此樹之樹根，由中序則可得左子樹為{B、C}，右子樹為{D、E、F、G、H、I}，所以可得下圖 *

  33. 4.4 樹及森林的追蹤 (2)以相同的程序處理左子樹及右子樹。如圖4-4-3所示。 *

  34. 4.4 樹及森林的追蹤 2.一般樹與森林的追蹤 • 設有一樹T含有n個節點，若樹根R，其餘節點分成m個子樹T1、T2…Tm，如下所示。 *

  35. 4.4 樹及森林的追蹤 • 則其追蹤法如下： • (1)前序追蹤若非空二元樹 1.拜訪根節點 2.以前序追蹤T1 3.以前序追蹤T2、T3…Tm *

  36. 4.4 樹及森林的追蹤 • (2)中序追蹤若非空二元樹 1.以中序追蹤T1 2.拜訪根節點 3.以中序追蹤T2、T3…Tm • (3)後序追蹤若非空二元樹 1.以後序追蹤T1 2.以後序追蹤T2、T3…Tm 3.拜訪根節點 *

  37. 4.4 樹及森林的追蹤 • 以圖4-4-4為例， 前序 ABCDEFGHI 中序 CDEBGHIFA 後序 EDCIHGFBA *

  38. 4.4 樹及森林的追蹤 • 而森林的追蹤與樹的追蹤法大同小異，以圖4-4-5為例，其追蹤結果如下 前序 ABCDEFGHI 中序 EBCDAGHFI 後序 FDCBHGIFA • 這種追蹤法在遊戲樹(game tree)中常常使用到。 *

  39. 4.5 樹的二元化 • 當一棵樹的任一節點最多k有個兒子，這棵樹則稱為k二元樹(kary tree)，然而當我們不論使用陣列或鏈結表示法，每一個紀錄的長度都要能儲存k個子樹的位置，但若在類似稀疏樹的結構下，所浪費的記憶體非常可觀，但在二元樹表示法下，所浪費的記憶空間較少，同時許多性質也較能確定。所以我們常將一般樹轉化成二元樹，以圖4-5-1(a)為例，其轉化步驟如下： *

  40. 4.5 樹的二元化 • 其轉化步驟如下： • (1)將個樹樹根連接起來。 • (2)將個樹利用左端子節點、右邊兄弟各點(left—child—sibling)規則轉化成二元樹。 • 再看看森林的追蹤次序與所對應二元樹追蹤之關係，如圖4-5-1(a)，讀者可自行驗證，其中前序追蹤與中序追蹤等兩者次序相同，而後序追蹤則有所區別。 *

  41. 4.5 樹的二元化 *

  42. 4.5 樹的二元化 *

  43. 4.5 樹的二元化 *

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