DISKRETNE STRUKTURE

1. DISKRETNE STRUKTURE INDUKTIVNI RAZREDI Literatura: vaje: Batagelj in Klavžar, Diskretne strukture 1, DMFA (izbrana poglavja iz... st.25)učbenik: Batagelj, Diskretne strukture, logika in množice (samozaložba)pa še dodatna  literatura in alternative:     Batagelj in Hafner, Matematika, Logika, DZS (nekdanji učbenik za srednjo šolo)     Prijatelj, Uvod v matematično logiko, DMFA (sigma st. 3)     Prijatelj, Matematične strukture I, DMFA (sigma st. 9)

2. INDUKTIVNI RAZREDI • Razredi in postopki • Induktivni razredi • Induktivna posplošitev

3. Razredi in postopki kako podajamo razrede: z naštevanjem elementov z opisom lastnosti (opisni ali konceptualni razredi) Zgledi:

4. Razredi in postopki operacije nad razredi unija, presek, razlika, ... razreda sta enaka natanko takrat ko se ujemata v vseh rečeh razred A je vsebovan v razredu B ....

5. Razredi in postopki (nad.) Predpis, ki posamezni (ne nujno vsaki) reči razreda A priredi natanko določeno reč razreda B, imenujemo preslikava ali funkcija iz A v B. Oznake: f : A  B f : a  b f(a) = b definicijsko območje D(f) Opomba: preslikava je totalna, če ...

6. Razredi in postopki (nad.) postopek je dan s končnim naborom pravil za računanje, ki enolično določajo potek “računanja” račun bi lahko prepustili stroju Preslikava f je izračunljiva, če obstaja postopek, ki za vsako reč a iz D(f) v končnem času izračuna f(a), za vsako reč iz A-D(f) pa v končnem času vrne vrednost “nedoločeno”.

7. Razredi in postopki (nad.) Preslikava f je polizračunljiva, če obstaja postopek, ki za vsako reč a iz D(f) v končnem času izračuna f(a), za vsako reč iz A-D(f) pa v končnem času vrne vrednost “nedoločeno” ali pa se ne izteče. Opombi: vsaka izračunljiva preslikava je polizračunljiva. Povsod definirana polizračunljiva preslikava je izračunljiva.

8. Razredi in postopki (nad.) Zgled: vprašanje, ali je dano število praštevilo na vprašanje vedno odgovori postopek: i:=2; dokler je (p mod i  0) in (i < p) ponavljaj i := i + 1; če je i=p potem “p je praštevilo” sicer “p ni praštevilo” Opomba: postopek se vedno ustavi v končnem času, vendar lahko traja zelo dolgo ...

9. Razredi in postopki (nad.) Pravi postopek ali algoritem je postopek, ki se za vsak podatek iz danega razreda ustavi po končno mnogo korakih. Formalizacije pojma pravega postopka: Turingovi stroji, rekurzivne funkcije, Postovi sistemi, algoritmi Markova, ... - enakovrednost formalizacij - Churcheva teza

10. Razredi in postopki (nad.) Razred lahko definiramo s postopkom, ki razpoznava reči iz razreda. Natančneje: imamo postopek, ki za dano reč iz razreda pove, ali reč ima neko lastnost (ali ne). Razred po definiciji sestavljajo tiste reči, za katere postopek odgovori pritrdilno. Primer: prevajalniki razpoznavajo sintaksno pravilne programe Odločljivi in polodločljivi razredi.

11. INDUKTIVNI RAZREDI Induktivni razred I = Cn(B,P) določimo tako, da podamo 1. odločljiv razred B začetnih reči (B imenujemo baza ali osnova induktivnega razreda) 2. odločljiv razred pravil generiranja

12. INDUKTIVNI RAZREDI (nad.) Opombe: stopnja pravila generiranja (m reči iz razreda I + pravilo = nova reč iz razreda I) izvedba pravila mora biti izračunljiva I je najmanjši razred, ki ga dobimo iz baze z vsemi možnimi uporabami pravil generiranja

13. INDUKTIVNI RAZREDI (nad.) pravilo je določno, če pri danih argumentih dobimo natanko eno reč konstrukcije in konstrukcijska zaporedja (dogovori o zapisih, ki omogočajo preglednost in analizo (ali pojasnilo) konstrukcijskega zaporedja.)

14. INDUKTIVNI RAZREDI (nad.) Zgledi: Geometrijske konstrukcije. Nerešljivost treh problemov starogrške matematike (podvojitev kocke, trisekcija kota, kvadratura kroga) sledi iz ugotovitve, da bi rešitev zahtevala konstrukcijo točke, ki ne spada v induktivni razred K, določen takole: 1. baza so točke, ki so določene z geometrijsko nalogo 2. pravila generiranja so: presek dveh premic, presek dveh krožnic in presek premice in krožnice (rabimo tudi transcendentnost števila )

15. INDUKTIVNI RAZREDI (nad.) Zgledi(nad.): 2. Programski jeziki. 3. Krivulje. (Hilbertove krivulje) 4. ...

16. Induktivna posplošitev Je metoda dokazovanja trditev oblike “lastnost P velja za elemente induktivnega razreda I” dokazati moramo: 1. lastnost P velja za bazo induktivnega razreda 2. pravila generiranja ohranjajo lastnost P