“Dall'impossibilità alla certezza:gli irrazionali”

1. “Dall'impossibilità alla certezza:gli irrazionali” Denis Guedj

2. Il fondatore della scuola pitagorica: • Pitagora Nacque a Samo nel VI secolo a.C. Fu allievo di Anassimandro e apprese la filosofia • viaggiando in Egitto,Babilonia e India • . • Fondò la sua scuola a Crotone nel 530 a.C. • A Crotone era considerato un “Cristo eloquente” • Cominciò a ricoprire un' importante carica politica

3. Le lezioni si tenevano spesso nella “casa delle Muse”: un tempio di marmo bianco e... ...potevano essere pubbliche: chiunque poteva seguirle poiché • di semplice comprensione, oppure.. ...private: accessibili solo ai membri della scuola che avevano • una preparazione più elevata.

4. Gli anziani valutavano la vita privata e le caratteristiche fisiche di ogni singolo candidato L'iniziazione consisteva in: 3 anni di prova 3-5 anni si era acusmatici Serie di prove fisiche Si diveniva matematici

5. Matematici -seguivano le lezioni di Pitagora -avevano l'obbligo del segreto sulle dottrine trattate -trattavano le discipline più complesse Acusmatici - allievi al di fuori dalla cerchia degli anziani -seguivano le lezioni da dietro ad una tenda -avevano l'obbligo del silenzio durante le lezioni Alla base del rapporto tra i pitagorici c'era: -segretezza:erano come una famiglia le cui vicende dovevano rimanere private -regolamento rigido: “astieniti dal fare”,”non spezzare il pane”, ”non mangiare fave”,”non sposarti”

6. I pitagorici sostenevano: - la dottrina della metempsicosi:reincarnazione dell'anima - nell'orfismo: culto religioso fondato sulla cosmogonia -che l'archè fosse il numero

7. Nel campo matematico i pitagorici... : - scoprirono che la somma degli angoli interni di una triangolo è pari a due angoli retti - formularono l'enunciato del teorema di Pitagora - elaborarono la costruzione dei solidi regolari -scoprirono i numeri irrazionali e l'esistenza delle grandezze Incommensurabili

8. Le grandezze incommensurabili sono quelle grandezze che non ammettono unità di misura comuni. l 2+ l 2 = d 2 A B d l 2l 2 = d 2 d=√2l 2 D C l d= l√2 √2 era sconosciuto. Al tempo si conoscevano solo i numeri naturali positivi e i numeri razionali Se l=1 d 2 =1 2 +1 2 = 2 d=√2 I pitagorici cercarono di trovare una soluzione per dimostrare che esisteva un' unità comune tra diagonale e lato del quadrato. Pensarono quindi a questi due come segmenti costituiti da infiniti punti.

9. Dimostrazione: Aristotele:”Una dimostrazione di questo tipo, ad esempio, è quella che stabilisce l'incommensurabilità della diagonale [e del lato del quadrato], che si fonda sul fatto che se si suppone che siano commensurabili, i numeri dispari risultano uguali ai numeri pari”. a/b è una frazione in cui denominatore enumeratore sono o entrambi dispari o uno pari e uno dispari. a/b =√2 a 2/b 2 = 2 a 2 =2b 2 Se a=2c PARI pari 4c 2 =2b 2 2c 2 =b 2 a e b risultano entrambi pari pari PARI Abbiamo contraddetto la costatazione iniziale Abbiamo dimostrato che √2 non è un numero razionale

10. Il lato e la diagonale del quadrato si esprimono con due diverse classi di numeri e arriviamo alla conclusione che sono due grandezze incommensurabili anche se riportiamo il lato sulla diagonale... Ulteriore dimostrazione dell'incommensurabilità della diagonale e lato del quadrato.. Riportando l su d vediamo che l è contenuto in d una volta con il resto di r… l<d< 2l Riportando l/10 su r vediamo che è contenuto in r4 volte con il resto di s 1,4<d/l<1,5 Riportando l/100 su s vediamo 1,41<d/l<1,42 Operando così all'infinito non avremo mai un resto nullo Le cifre trovate all'infinito non daranno mai una numero periodico, quindi non sarà possibile risalire ad una frazione generatrice ...quindi la diagonale e il lato del quadrato sono grandezze incommensurabili.

11. Conseguenze della scoperta delle grandezze incommensurabili La diagonale è lunga √2 ed è la distanza dall'origine. Per i pitagorici √2 non esisteva quindi non trovava posto sulla retta numerica dove c'erano solo numeri interi e frazioni. Ma con questa semplice rappresentazione capirono che nei “buchi” erano collocati dei numeri Ippaso da Metaponto dopo aver divulgato la scoperta fu cacciato dalla scuola e morì poco dopo in un naufragio. I pitagorici non furono mai felici di questa scoperta perché mise in discussione parte delle loro dottrine. Geometria e aritmetica si divisero.