İSKENDERİYE OKULU: EUCLİD VE ARCHİMEDES

1. İSKENDERİYE OKULU: EUCLİD VE ARCHİMEDES • EUCLID (MÖ 330-275) • İskenderiye okulunun en tanınmış matematikçisi Euclid’dir. “Elementler” adlı eseri tarih boyunca matematikçiler için en önemli kaynak kitap olmuştur. • İlk defa modern anlamda matematiğe ispat kavramını tanıtan Euclid’in Elementler kitabı matematikteki bir çok konuyu içermektedir. Euclid kitabında kendine özgü problemler çözmüştür. Bu çözümlerin matematiğin bazı branşlarının doğmasına da neden olması bakımından ne kadar önemli olduğunu belirtmeliyiz.

2. Elementler’in büyük bir bölümü Euclid’in kendi adıyla anılan geometrisi ile ilgili önermelerinden oluşmaktadır. Özdeşlik, simetri, Pythagoras bağıntısı, bazı cebirsel özellikler, geometrik şekillerin alanları, daireler, çokgenler, benzerlik ve aritmetik bu kitapta yer alan diğer matematik konularıdır. Euclid bazı kabullerden hareketle nokta, doğru çember gibi matematiksel nesneleri tanımlayarak aşağıdaki 5 önermenin mümkün olabileceğini göstermiştir: 1. Herhangi bir noktadan bir başka noktaya bir ve yalnız bir doğru çizilir. 2. Bir doğrudan sonlu bir doğru parçası elde edilir. 3. Merkez ve yarıçap yardımı ile bir çember ifade edilebilir. 4. Bütün dik açılar birbirine eşittir. 5. Eğer iki doğruyu kesen bir doğru parçasının bu doğrular üzerinde oluşturduğu iç açılar iki dik açıdan küçük ise doğrular bu açıların yönünde bir noktada kesişirler.

3. a + b < 1800 a b • Matematik dünyasında derin tartışmalara neden olan, kuşkular uyandıran ve Euclid-dışı geometrilerin oluşmasına neden olan 5. Önermeyi Euclid şu şekilde açıklamaktadır:

4. G x F n-x H A B n E D C K • Euclid’in çözdüğü ikinci derece denklemlerin tipleri farklı idi. Aslında Euclid m boyunda bir AB doğru parçasının belli koşullarda bölünmesi problemini ve parçaların bir birlerine oranını inceledi. Bunu Elementlerde yer alan bir problemle örnekleyelim: AB doğru parçasının boyu n olsun, AB doğru parçasını x ve n-x olarak öyle bölünüz ki n(n - x) = x2 olsun. Euclid bu problemi oluşturduğu kareler yardımıyla şu şekilde çözmüştür. Euclid ilk önce ABCD karesini oluşturuyor. AD nin orta noktası E yi B köşesine birleştiriyor ve ABE dik üçgenini elde ediyor. Sonra AF = EB olacak şekilde DA yi uzatarak F noktasını belirliyor ve FGAH karesini elde ediyor. Sırasıyla; 1.AE = ED (E orta nokta) 2.A(FGKD) = (EF + ED)(EF - ED) = EF2-ED2 3.A(FGKD) + ED2 =EF2 4.AB2 + AE2 = EB2 = EF2 ............... (EF =EB ve ABE üçgeni dik). 5. AB2 + AE2 = A(FGKD) + AE2 ................................(ED = AE) 6. AB2 + AE2 = A(FGKD) + AE2 7. A(FGKD) = AB2 8. A(FGKD) den A(AHKD) çıkarırsak AH2 kalacak 9.A(ABCD) = A(FGKD) ise A(FGKD) den A(AHKD) çıkarsak (ABCK)dikdörtgeni elde e edilir. 10. A(HBCK) = AH2olur. HBCK = AH2 sonucu n(n - x) = x2 olduğunu gösterir. Böylece Euclid AH veya x in sayısal değerinden denklemi çıkarabiliyordu. Aslında Euclid bizim kolayca bulduğumuz eşitliğini bulmadan çok verilen AB doğru parçasını istenilen oranda bölmeyi cebirsel formüle dönüştürmüştü.

5. Euclid’e ait bir algoritma olarak bilinen iki sayının en büyük ortak bölenini bulmanın cebirsel ifadesini bugünkü gösterimlerle aşağıdaki gibi yazabiliriz: • a = q1b + r1 • b = q2 r1 + r2 • r1 = q3 r2 + r3 • ... .... .... • rn-1 = qn+1rn + 0

6. Dik çubuk Güneş ışını 7,50 İskenderiye Güneş ışını 21 Haziran Öğle vakti 800km 7,50 Asvan Dik çubuk • ERATOTHENES (MÖ 300–250)

7. ARCHIMEDES (MÖ 287-212)“Bana yeterli büyüklükte bir sırık bulun Dünyayı yerinden oynatayım” • Gençlik yıllarını İskenderiye’de geçiren Archimedes’in Euclid’i gördüğü ve onunla çalıştığı söylenir. • O esas Sicilya’da meşhur olmuştur. Sicilya kralı Heiron’un himayesinde matematik ve fizik (mekanik) üzerine bir çok çalışmalar yapmıştır. • Sicilya’nın Romalılara karşı savunulması sırasında yaptığı mekanik savunma düzenekleri ile Romalıları çok zor durumda bırakmıştır.

8. 2r r • Yaptığı buluşlarla sanki adayı tek başına güçlü Roma donanması karşısında savunuyordu. Ada uzun süre Roma kuşatmasında kalınca açlığa yenik düştü. Romalı askerlerin şehri talanı sırasında, Archimedes küller üzerinde bir geometri problemi ile uğraşıyordu.

12. Archimedes önermelerini arka arkaya sıralayarak ispatlamış, bir problemin çözümünü veya yeni bir önermenin ispatını bir önce ispatladığı önermelerden yararlanarak yapmıştır.

15. Archimedes den sonra Yunan matematikçisi olarak bahsetmemiz gereken bazı matematikçiler de şunlardır: Heron, Appolonius, Ptolemy ve Diophantus. HERON, Archimedes gibi mekanik ile geometriyi birleştirerek çalışmalar yaptı. Bugün bile jeodezinin kullandığı bazı ölçme tekniklerini Heron bulmuştur. Heron’ a ait olduğu söylenen formül: APPOLONIUS, Euclid’in düzlem geometride yaptığını o konikler üzerinde yaptı. Bugün , , ve eşitlikler olarak ifade ettiğimiz koniklerin özelliklerini açıklamıştır. Geometri de Euclid ne ise PTOLEMY de astronomi de öyledir. Ptolemy astronomiyi bir sistem haline getirdi. Almagest olarak bilinen çalışmasını Müslümanlar Rönesans Avrupa’sına tanıtmışlardır. Ptolemy’nin bu çalışması Kepler ve Copernic için ilham kaynağı olmuştur.

16. DIOPHANTUS cebirde yaptığı çalışmalar ile meşhur olmuştur. Diophantus’un yunan tarihinde meşhur olan bir problemi vardır: Onun çocukluğu hayatının 1/6 sı kadar sürmüş, hayatının 1/12’sinde sakal bırakmış, 1/7 sinde evli kalmış ve oğlu evlendikten 5 yıl sonra doğmuş, ½’sinde oğlu ile yaşamış ve Diophantus oğlundan 4 yıl sonra ölmüş. Diophantus kaç yıl yaşamış?

17. Bazı kübik denklemlerin çözümünü yapan, bayağı kesirleri ve ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulan Diophantus 4 = 4x + 20 gibi eşitliğin çözümünün olmadığını söylemesi bize garip gelebilir. Ancak zamanında negatif sayıların varlığının büyüklük olarak tanımlanmadığı düşünülürse Diophantus’un yaşadığı zorluğun normal olduğu anlaşılır. • Onun çalışmaları yüzyıllar sonra Fermat’ya ilham kaynağı olacaktır. Diophantus x4 + y4 + z4 = u2 şeklindeki eşitliğin çözümünü veren 4 tam sayı bulmasına rağmen x4 + y4 = u4 tipindeki denklemlerin çözümlerini araştırmamıştır. Bu durumu Fermat yüzyıllar sonra hayretle karşılıyor ve yoksa bu tip eşitliklerin çözümlerinin olmadığını bildiği için mi Diophantus bunların üzerinde çalışmadı diye düşünmeye başlıyor. • Fermat buradan hareketle bugün bildiğimiz meşhur önermesini elindeki Diophantus’un orijinal kitabının kenarına “ xn + yn = un n > 2 için çözümün olmadığını göstermek oldukça kolaydır. Ancak, bu sayfada yer kalmadığı için ispatını buraya yazamıyorum” şeklinde not düşüyor. Bu önerme günümüzde bile matematikçilerin yoğun ilgisini çekmeye devam etmektedir. Bilindiği gibi Wiles tarafından 1993 yılında matematikçilerin kabul ettiği bir ispatı yapılmıştır.

18. BRAHMAGUPTA (Ms 598-665) • Brahmagupta 7. yüzyılda yaşamış bir Hint matematikçisidir. Geometri ve cebir alanında yaptığı ilginç çalışmalarla Batıda çok iyi tanınan bu matematikçi x2 + px - q = 0 tipindeki ikinci derece denklemin bir kökünü veren formülünü kullanmıştır. Bazı dörtgenlerin alanları için doğru olan formülünü kullanmıştır. Bu formülde a, b, c, d dörtgenin kenar uzunlukları ve dir. İki açısı verilen herhangi bir dörtgenin genel formülü Brahmagupta’nın formülünden yararlanarak aşağıdaki gibi geliştirilmiştir.

19. d a c b • Heron’un formülünün bir özel durumu olarak bazı dörtgenlerin alanları için doğru olan • formülünü kullanmıştır. Bu formülde a, b, c, d dörtgenin kenar uzunlukları ve dir. İki açısı verilen herhangi bir dörtgenin genel formülü Brahmagupta’nın formülünden yararlanarak aşağıdaki gibi geliştirilmiştir.

20. Brahmagupta Brahma-sphuta-siddhanta adlı eserinde türden denklemlerin çözümünden söz etmektedir. Ona göre bir kişinin matematikçi olabilmesi için bu denklemi bir yılda çözebilmesi gerekmektedir. Denklemini x =10, y = 1 ve k = 8 olarak düzenleyelim.Eşitlik sağlanmaktadır. Brahmagupta böylece birinci üçlüyü (10, 1,8) olarak bulur..Brahmagupta’nın genel üçlüsünde bunları yerine yazarsak; (10x10+92x1x1,10x1+1x10,8x8) =(192,20,64).Bulduğumuz son üçlüyü denklemde yerine yazarsak 1922 –92(202)=82 elde edilir.eşitliğin her iki tarafını 8’in karesine bölersek 242-92(5/2)2 =1 olur. Bu durumda (24,5/2,1) şeklinde yeni bir üçlü daha elde etmiş oluruz. Bunu genel üçlüde kullanırsak = (1151,120,1) olur. Böylece, denkleminin çözümünü veren yeni kökler x =1151 ve y =120 olarak bulunur. Aynı işlemlere devam edildiğinde çözümü sağlayan yeni üçlüler bulunacaktır. Brahmagupta’nın tipinden denklemler için yaptığı bu genelleme Brahmagupta’nın dehasını ve titiz çalışmasını yansıttığı gibi aynı zamanda Hint matematiğinin 7. yüzyıldaki durumu ile ilgili de bir fikir vermektedir.