1 / 20

BAB 9 PERSAMAAN PEMBEZA SEPARA

BAB 9 PERSAMAAN PEMBEZA SEPARA. PENGENALAN. Persamaan Pembeza Separa (PPS): Persamaan yg mempunyai suatu kaitan terbitan sebuah fungsi dengan fungsi tersebut dan beberapa pembolehubah Cth PPS peringkat kedua yg umum: PPS dikelaskan kpd 3 jenis: Eliptik Parabolik Hiperbolik.

junius
Download Presentation

BAB 9 PERSAMAAN PEMBEZA SEPARA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB 9PERSAMAAN PEMBEZA SEPARA

  2. PENGENALAN • Persamaan Pembeza Separa (PPS): • Persamaan yg mempunyai suatu kaitan terbitan sebuah fungsi dengan fungsi tersebut dan beberapa pembolehubah • Cth PPS peringkat kedua yg umum: • PPS dikelaskan kpd 3 jenis: • Eliptik • Parabolik • Hiperbolik dlm pembolehubah x dan y dgn A,B,C,D ,E,F,G adalah fungsi dlm sebutan x dan y < 0 = 0 > 0 jika B2-4AC

  3. PPS Eliptik • Terdiri drpd: • persamaan Laplace • Persamaan poisson dalam p/ubah x dan y di mana A=C=1 dan B=0. Maka B2-4AC=0-4(1)(1)=-4<0 • PPS Parabolik • Cth: Persamaan Haba iaitu dalam p/ubah x dan y di mana A=1 dan B=C=0. Maka B2-4AC=0-4(1)(0)=0 • PPS Hiperbolik • Cth: Persamaan Gelombang dalam p/ubah x dan y di mana A=1 dan B=0 dan C=-a2. Maka B2-4AC=0-4(1)(-a2)=4a2 >0

  4. KAEDAH BEZA TERHINGGA • Nilai yg hendak dikira bergantung kpd keluasan domain segiempat 0≤x≤a dan 0≤y≤b • Utk memudahkan kiraan selang 0≤x≤a dan 0≤y≤b dibahagikan kpd N jalur dgn keadaan h=a/N dan k=b/N. Maka titik pd paksi x dan y bg domain segiempat seperti berikut: Pada paksi-x : xi = ih di mana i=0,1,2,....,N Pada paksi-y : yj = jk di mana j=0,1,2,...,N

  5. b u(xi,yj)  ui,j yj N jalur y1 a xi xi+1 x1 M jalur • Tandaan ui,j digunakan sbg penyelesaian berangka

  6. du = ui,j +1 - ui,j -1 dy i,,j 2k du = ui,j +1 - ui,j dy i,,j k ATAU ATAU d2u = ui,j +1 - 2ui,j+ ui,j -1 dy2i,,j k2 du = ui,j - ui,j -1 dy i,,j k DAN du = ui+1,j - ui-1,j dx i,,j 2h du = ui+1,j - ui,j dx i,,j h ATAU ATAU d2u = ui+1,j - 2ui,j+ ui-1,j dx2i,,j h2 du = ui,j - ui-1,j dx i,,j h DAN

  7. PERSAMAAN LAPLACE ui+1,j - 2ui,j+ ui-1,j + ui,j +1 - 2ui,j+ ui,j -1 = 0 h2 k2 Utk memudahkan pengiraan ambil h = k, diperolehi ui,j = ¼[ui-1,j + ui+1,j + ui,j-1 + ui,j+1 ]= 0 1 ui,j+1 ui,j ui-1,j ui+1,j 4 1 1 1 ui,j-1

  8. contoh • Bagi persamaan Laplace 0<x<1, 0<y<1 Dgn syarat sempadan u(x, 0) = x, u(x, 1) = 1, 0 x  1 u(0, y) = y, u(1, y) = 1, 0 y  1 Dapatkan SPL dgn menggunakan KBT. Diberi M = N = 3

  9. Penyelesaian: h = a/M = 1/3 k = b/N = 1/3 1 j=3 j=2 j=1 j=0 2/3 xi = (1/3) i yj = (1/3) j 1/3 0,0 1/3 2/3 1 i= 0 i=1 i=2 i=3 Sempadan bawah : u(x, 0) = x u 0,0 = u(0, 0) = 0, u 1,0 = u(1/3, 0) = 1/3 u 2,0 = u(2/3, 0) = 2/3 u 3,0 = u(1, 0) = 1

  10. Penyelesaian: 1 1 1 1 j=3 j=2 j=1 j=0 2/3 1/3 0,0 1/3 2/3 1 i= 0 i=1 i=2 i=3 Sempadan atas : u(x, 1) = 1 u 0,3 = u(0, 1) = 1, u 1,3 = u(1/3, 1) = 1 u 2,3 = u(2/3, 1) = 2/3 u 3,3 = u(1, 1) = 1

  11. Penyelesaian: 1 1 1 1 j=3 j=2 j=1 j=0 2/3 1/3 0,0 1/3 2/3 1 i= 0 i=1 i=2 i=3 Sempadan kiri : u(0, y) = y u 0,0 = u(0, 0) = 0, u 0,1 = u(0, 1/3) = 1/3 u 0,2 = u(0, 2/3) = 2/3 u 0,3 = u(0, 1) = 1

  12. Penyelesaian: 1 1 1 1 j=3 j=2 j=1 j=0 1 2/3 1 1/3 0,0 1/3 2/3 1 i= 0 i=1 i=2 i=3 Sempadan kanan : u(1, y) = 1 u 1,0 = u(1, 0) = 1, u 0,1 = u(1, 1/3) = 1 u 1,2 = u(1, 2/3) = 1 u 0,3 = u(1, 1) = 1

  13. Penyelesaian: 1 1 1 1 j=3 j=2 j=1 j=0 2/3 1 1 1/3 0,0 1/3 2/3 1 i= 0 i=1 i=2 i=3 Nak cari u 1,1 , u 1,2 , u 2,1 , u 2,2 , U 1,1 = ¼[u 1,2 + u 2,1 + u 1,0 + u 0,1 ] U 1,2= ¼[u 1,3 + u 2,2 + u 1,1 + u 0,2 ] U 2,1 = ¼[u 2,2 + u 1,1 + u 2,0 + u 1,1 ] U 2,2 = ¼[u 2,3 + u 3,2 + u 2,1 + u 1,2 ]

  14. PERSAMAAN POISSON ui+1,j - 2ui,j+ ui-1,j + ui,j +1 - 2ui,j+ ui,j -1 = f i, j h2 k2 Utk memudahkan pengiraan ambil h = k, diperolehi ui,j = ¼[ui-1,j + ui+1,j + ui,j-1 + ui,j+1 – h2f i, j ] 1 ui,j+1 -h2f i, j ui,j ui-1,j ui+1,j 4 1 1 1 ui,j-1

  15. contoh ¶ ¶ 2 2 u u • Bagi persamaan poisson 0<x<1, 0<y<1 Dgn syarat sempadan u(x, 0) = x3, u(x, 1) = x3 -3x+1, 0 x  1 u(0, y) = y, u(1, y) = -2y+1, 0 y  1 Dapatkan SPL dgn menggunakan KBT. Diberi M = N = 2 + = 6x ¶ ¶ 2 2 x y

  16. U=1 U=0.125 Penyelesaian: h = a/M = 1/2 k = b/N = 1/2 1 j=2 j=1 j=0 xi = (1/2) i yj = (1/2) j 1/2 0,0 1/2 1 i= 0 i=1 i=2 Sempadan bawah : u(x, 0) = x3 u 0,0 = u(0, 0) = 0, u 1,0 = u(1/2, 0) = 0.125 u 2,0 = u(1, 0) = 1

  17. U=-1 U=-0.375 Penyelesaian: 1 j=2 j=1 j=0 1/2 0,0 1/2 1 i= 0 i=1 i=2 Sempadan atas : u(x, 1) = x3 -3x+1, u 0,2 = u(0, 1) = 1, u 1,2 = u(1/2, 1) = -0.375 u 2,2 = u(1, 1) = -1

  18. Penyelesaian: 1 j=2 j=1 j=0 1/2 0,0 1/2 1 i= 0 i=1 i=2 Sempadan kiri : u(0, y) = y, u 0,0 = u(0, 0) = 0, u 0,1 = u(0, 1/2) = 1/2 u 0,2 = u(0, 1) = 1

  19. U=0 U=-1 Penyelesaian: 1 j=2 j=1 j=0 1/2 0,0 1/2 1 i= 0 i=1 i=2 Sempadan kanan : u(1, y) = -2y+1, u 2,0 = u(1, 0) = 1, u 2,1 = u(1, 1/2) = 0 u 2,2 = u(1, 1) = -1

  20. U=0 U=-1 Penyelesaian: U=1 U=-0.375 j=2 j=1 j=0 U=1/2 U=0 U=0.125 U=1 i= 0 i=1 i=2 Nak cari u 1,1 ui,j = ¼[ui-1,j + ui+1,j + ui,j-1 + ui,j+1 – h2f i, j ] u 1,1 = ¼[u0,1 + u2,1 + u1,0 + u1,2 – (1/2)26x1] = ¼[0.5+0+0.125-0.375-0.25(6)(0.5)] = -0.125

More Related