PROYECTO FIN DE CARRERA

1. PROYECTO FIN DE CARRERA Cálculo automático del ancho del polinomio de Jones de los enlaces pretzel Autor: David Alonso Alcocer Febrero 2011

2. Objetivos del proyecto • Comprender y exponer a un nivel básico las ideas contenidas en un artículo matemático, en donde se explicitan fórmulas para el cálculo del ancho del polinomio de Jones de un enlance pretzel. • Construir una aplicación informática que implemente dichos cálculos. • Publicar la aplicación en Internet.

3. Fundamentos teóricos Un nudo K es el resultado de entrelazar una cuerda a la que posteriormente se le unen los cabos sueltos de forma inseparable, de modo que sea imposible deshacer el enredo sin romper la cuerda.

4. Fundamentos teóricos

5. Fundamentos teóricos Si se hace con una cuerda hablamos de nudo. Si se hace con varias, hablamos de enlace.

6. Fundamentos teóricos Un diagrama D es la representación de un nudo o enlace con sus respectivos cruces sobre el papel, con información extra sobre qué tramo de cuerda pasa por arriba y cuál por debajo en cada cruce.

7. Movimiento de Reidemeister Tipo I Fundamentos teóricos Dos diagramas representan al mismo nudo si y sólo si se puede pasar de uno al otro mediante una secuencia finita de los llamados movimientos de Reidemeister

8. Fundamentos teóricos Movimiento Reidemeister tipo II Movimiento Reidemeister tipo III

9. Fundamentos teóricos El corchete de Kauffman ‹ D › de un diagrama D es un polinomio de Laurent en una variable. Para su cálculo se van deshaciendo cruces, de un modo recursivo, de acuerdo a las siguientes fórmulas:

10. Fundamentos teóricos Un movimiento de Reidemeister de tipo 1 afecta al corchete de Kauffman de la siguiente manera: Corchete de Kauffman del diagrama trivial:

11. Fundamentos teóricos El writhe w(D) es un número entero, resultado de sumar un +1 o un −1 por cada cruce del diagrama D de acuerdo al criterio ilustrado.

12. Fundamentos teóricos El polinomio de Jones VK(t) es un polinomio de Laurent, invariante del nudo K. Si D es un diagrama de K, Además debemos efectuar el cambio de variable:

13. Fundamentos teóricos Polinomio de Jones con normalización δ Un nudo trébol Ancho –1/2 – (– 9/2) = 4

14. Fundamentos teóricos Ancho de un polinomio: grado más alto menos grado más bajo. • Al ser el polinomio de Jones un invariante de nudos, también lo es su ancho. • El corchete de Kauffman no es un invariante de nudos, pero su ancho sí. • El ancho del corchete de Kauffman es cuatro veces el ancho del polinomio de Jones.

15. Fundamentos teóricos Los enlacespretzel constituyen una importante familia de enlaces, y sirven de ejemplo para la comparación de muchos invariantes en teoría de nudos. P (a1,a2,…,an)

16. Fundamentos teóricos El criterio de signos seguidos en las torres P(5) P(-3)

17. Fundamentos teoricos Parámetros para un enlace pretzel P(a1,…,an) Por ejemplo para un diagrama pretzel P(4,-5,1,-1,1,0,-6) • z entradas = 0 • r entradas >1 • s entradas < -1 • α entradas = 1 • β entradas = -1 • λ = α – β • z =1 • r =1 • s = 2 • α =2 • β =1 • λ = α – β = 1

18. Fundamentos teóricos Calcular el ancho del polinomio de Jones de cualquier enlace pretzel siguiendo el artículo citado es un procedimiento en general laborioso y no inmediato Sea P(a1,…,an) un diagrama pretzel (i) En los casos en que z ≠ 0 el ancho es: ∑ |ai|+ z n |ai|>1

19. ∑ |ai|- mín {1, r+λ, s-λ} +1 n ∑ |ai|- 1 n |ai|>1 |ai|>1 Fundamentos teóricos Si z = 0, se tienen las siguientes posibilidades:(ii) En los casos en que r+λ≠1 y s-λ≠1 el ancho es (iii) En los casos en que r+λ=1,r>1 y s-λ≠1 el ancho es

20. ∑ |ai|- mín {a1, |a2|-1} n |ai|>1 Fundamentos teóricos (iv) En los casos en que r+λ=1, r=1 y s>1, suponemos, además de las premisas anteriores, que se cumple que a1>1,aj<-1 con j ∈ {2,...,n} y las entradas están colocadas de manera que |a2|≤ |a3|...≤ |an|. Con todas estas premisas, distinguimos cinco subcasos:(a) Si a1≠|a2|-1, entonces el ancho es

21. n ∑ |ai|- mín ( |a3|-1) |ai|>1 Fundamentos teóricos (b) Si a1=|a2|-1 y |a2|≠|a3|-1, entonces el ancho es n n ∑ |ai|- mín {a2, |a3|-1} |ai|>1 |ai|>1 (c) Si a1=|a2|-1 , |a2|=|a3|-1 y |a3|<|a4|-1 , entonces el ancho es

22. n ∑ |ai|- |a2| |ai|>1 n ∑ |ai|-|a3| |ai|>1 Fundamentos teóricos (d) Si a1=|a2|-1 y |a2|=|a3|-1 y |a3|=|a4|, el ancho es (e) Si a1=|a2|-1 , |a2|=|a3|-1 y |a3|=|a4|-1 , el ancho es

23. Código C Una función principal main(), dos esenciales remark() y teorema() y varias funciones auxiliares. Uso de punteros. Vector como estructura de datos más compleja. El código C consta de más de 600 líneas .

24. Organigrama main()

25. Organigrama función teorema()

26. Organigrama función remark()

27. Comprobación del código C

28. Publicación en internet Para realizar la aplicación de la página web me he ayudado de un applet de Java . Clases creadas: • Class recogerDatos • Class diagramaPretzel Desing

29. La aplicación en Internet La aplicación informática se encuentra dentro de la página web de la Escuela Universitaria Técnica de Ingenieros Industriales de la UPM, alojada en la Web del Departamento de Matemática Aplicada. http://www.euiti.upm.es/index/departamentos/matematicas/WebPretzelDavid/index.htm

30. La aplicación en Internet

31. La aplicación en Internet

32. La aplicación en Internet

33. Conclusiones Mi trabajo ha consistido: • Compresión del artículo. • Aplicación en C (Análisis funcional del programa). • Aplicación en Java (Diseño de la aplicación en Internet). • Latex