Estruturas de Dados e Complexidade de Algoritmos

1. Estruturas de Dados e Complexidade de Algoritmos Prof. Dr. Lucídio dos Anjos Formiga Cabral PPGI/UFPB Março/2009

2. Descrição do curso • Conteúdo • Introdução • Fundamentos de algoritmos • Análise da eficiência de algoritmos • Ordenação e estatísticas de ordem • Estruturas de dados avançadas • Técnicas avançadas de projeto e análise • Tópicos selecionados • Problemas NP-Completos

3. Bibliografia • Básica: • CORMEN, T.; LEISERSON, C.; RIVEST, R.; STEIN, C.;Algoritmos: Teoria e Prática, Editora Campus, Rio de Janeiro, 2002. • Complementar • GOODRICH, M. T., TAMASSIA R., Projeto de Algoritmos, Editora Bookman, Porto Alegre, 2004. • ZIVIANI, N.,Projeto de Algoritmos, Editora PioneiraThomson, Belo Horizonte, 2004. • Knuth, D., The Art of Computer Programming, Volumes 1,2 e 3, Addison-Wesley,1997. • TOSCANI, L. V.; VELOSO. PAULO A. S. Complexidadede Algoritmos, Editora Sagra-Luzzatto, 2001. • SZWARCFITER, J.;Grafos e AlgoritmosComputacionais, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1984. • TERADA, R.;Desenvolvimento de Algoritmos e Estruturade Dados. Editora Makron Books, 1991.

4. Organização do Curso • Página do curso www.di.ufpb.br/~lucidio/complexest.htm • 3 provas escritas

5. Introdução • O que é um algoritmo? • São as idéias implícitas nos programas de computadores. • Corresponde a um conjunto bem definido de regras que especificam uma seqüência de operações a serem aplicadas a um conjunto de dados, chamado entrada, produzindo após uma quantidade finita de tempo um conjunto de dados chamado saída. • Também chamado de processo, procedimento computacional, etc. • Pode ser implementado de diferentes formas.

6. O que será estudado? • Objetivos principais: • Um conjunto de ferramentas práticas: uma coleção de algoritmos fundamentais para uso em outros cursos, ou em seus trabalhos futuros. • Estudo teórico: uma avaliação dos aspectos envolvidos no projeto, análise ou seleção de um algoritmo para um novo problema.

7. Exemplos de algoritmos 1 - Ordenação Entrada: Uma seqüência de n números ‹a1, a2, ..., an›. Saída: Uma reordenação da seqûëncia de entrada ‹a'1, a'2, ...,a'n›, onde a'1 ≤ a'2 ≤ ... ≤ a'n 2 – Número Primo Entrada: Uma número natural q. Saída: sim ou não, dependendo se q é primo. NÓS BUSCAMOS ALGORITMOS QUE SEJAM CORRETOS E EFICIENTES !!!

8. Problemas • Estudaremos os problemas computacionais, que consistem de uma descrição geral da questão a ser respondida, em geral, envolvendo algumas variáveis livres ou parâmetros. • Uma instância de um problema computacional é uma questão específica obtida por associar valores aos parâmetros do problema.

9. Problema do Caixeiro Viajante • Instância: Um conjunto de cidades X juntamente com a informação de distância d(x,y) entre qualquer par x, y pertencentes a X. • Questão: Qual é a menor rota circular que inicia e termina em uma dada cidade e visita todas as cidades?

10. Problema Computacional • Um instância de um problema computacionalé um possível valor para a entrada. • ‹45, 7, 13, 23, 2› é uma instância para o problema daordenação. • 29 é uma instância para o problema dos númerosprimos. • Um algoritmo está correto se, para qualquerinstância, ele termina e retorna como saída ovalor esperado.

11. Como expressar algoritmos? • Aspectos como precisão e facilidade de expressão são importantes. • Três formas • Linguagem natural • Pseudo-Código • Linguagem de Programação • Infelizmente, quanto maior a facilidade de expressão menor é a precisão.

12. Corretude • Para qualquer algoritmo, nós devemos provar que ele sempre retorna a saída desejada para todas as instâncias válidas do problema. • Para a ordenação, isto deve ser válido ainda que a entrada já esteja ordenada, ou que contenha elementos repetidos

13. Quão bom é um dado algoritmo? • Existem muitas considerações envolvendo esta questão? • Corretude • Corretude teórica • Estabilidade númerica • Eficiência • Complexidade • Velocidade • Uso de outros recursos

14. Corretude não é óbvia! • O seguinte problema aparece em aplicações de manufatura e transporte. • Suponha que você tenha um braço de robô equipado com um soldador. Para habilitar o braço do robô a soldar todos os pontos de contato, devemos construir uma ordem de visita aos pontos. • Desde que robôs são caros, nós precisamos encontrar a ordem que minimiza o tempo (ou distância percorrida) que ele gasta para efetuar a solda nos pontos desejados. Imagine um algoritmo para encontrar o melhor percurso!

15. Estratégia do vizinho mais próximo • Uma solução muito popular inicia em algum ponto p0 e então caminha em direção ao vizinho mais próximo, digamos p1, e repete o procedimento. • Algoritmo Visite o ponto inicial p(0) P = p(0) i = 0 Enquanto existir ponto não visistado i = i + 1 Seja p(i) o ponto não visitado, mais próximo de p(i-1) Visite p(i) Retorne para p(0) a partir de p(i) • Este algoritmo é simples de entender e implementar e muito eficiente. Entretanto .............

16. Estratégia do vizinho mais próximo • Entretanto, ele não é CORRETO!!! Adotar a estratégia de sempre começar pelo ponto mais à esquerda ou a partir de qualquer outro ponto não corrige o problema.

17. Um algoritmo correto • Nós podemos tentar todas as ordens possíveis dos pontos e então selecionar a ordem que minimiza o comprimento total. • Algoritmo d = INF Para cada uma das n! Permutações Pi dos n pontos Se (custo(Pi) <= d) então d = custo(Pi) Pmin = Pi Retorne Pmin • Desde que todas as ordens possíveis são consideradas, tem-se a garantia de terminar com o percurso (ciclo) de menor custo possível. • Para valores ainda modestos de n este algoritmo se torna inviável. • Nenhum algoritmo correto eficiente existe para o problema do caixeiro viajante.

18. O modelo RAM • Algoritmos são a única parte durável, importante e original da ciência da computação porque podem ser estudados de modo independente da linguagem e da máquina. • Assim sendo, faremos toda a nossa análise baseada no modelo de computação RAM (Máquina de Acesso Aleatório). • Cada operação simples (+, -,=,if, call) toma exatamente um passo. • Laços e chamadas de procedimentos não são operações simples, mas dependem sobre o tamanho da entrada e do conteúdo do procedimento. • Cada acesso a memória toma exatamente um passo • Nós medimos o tempo de execução de um algoritmo contando o número de passos.

19. Complexidade de melhor, médio e pior caso • A complexidade de pior caso de um algoritmo é a função definida pelo número máximo de passos tomados sobre qualquer instância de tamanho n. • A complexidade de melhor caso de um algoritmo é a função definida pelo número mínimo de passos tomados sobre qualquer instância de tamanho n. • A complexidade de caso médio de um algoritmo é a função definida pelo número médio de passos tomados sobre qualquer instância de tamanho n.

20. Ordenação por Inserção • Uma maneira de ordenar um vetor de n elementos é iniciar com uma lista vazia e sucessivamente inserir novos elementos na posição correta: • Em cada estágio, o elemento inserido forma uma lista ordenada e após n inserções tem-se a lista totalmente ordenada. • Quão eficiente é este algoritmo? • O tempo de execução muda para instâncias diferentes!!!! • Como esse algoritmo se comporta para uma lista já ordenada na entrada? • E para uma lista ordenada em ordem inversa?

21. Análise exata da ordenação por inserção • Contaremos o número de vezes que cada linha do pseudo-código será executada.

22. Análise exata da ordenação por inserção • Para calcular T(n) do algortimo de ordenação, faremos:

23. Análise exata da ordenação por inserção • Melhor caso: lista ordenada de elementos • Avaliando o laço do enquanto podemos achar T[ j ] <= x quando x tem valor inicial (i-1). E observamos que t(i)=1 para i=2,...,n. Portanto, o tempo de execução, neste caso é: • O tempo de execução pode ser expresso então como: • T(n) = an + b

24. Análise exata da ordenação por inserção • Pior caso: lista ordenada na ordem inversa • Cada elemento T[ i ] deve ser comparado com todos os elementos da lista ordenada T[1...j –1] tal que t(i)=i para i=2,3,...,n. • Observe que:

25. Análise exata da ordenação por inserção • Portanto:

26. Análise exata da ordenação por inserção • Que pode ser expresso como:

27. Análise do pior caso e do caso médio • Na análise do algoritmo de ordenação consideramos o melhor e o pior caso. Vamos nos concentrar apenas no tempo de execução do pior caso, pois: • Seu tempo de execução corresponde a um limite superior sobre o tempo de execução para qualquer instância. • Ocorre com freqüência em alguns algoritmos. • Exemplo: pesquisa em um banco de dados por informação não armazenada. • Muitas vezes, o caso médio é quase tão ruim quanto o pior caso.

28. Ordem de Crescimento • A função obtida na análise do pior caso do algoritmo de ordenação foi a função n2+bn+c. Esta função pode ser representada pelo termo n2 que tem crescimento muito superior aos demais termos. • A ordem de crescimento é dada pelo termo mais significante da função. No algoritmo de ordenação nós dizemos que ele é de O(n2). • Um algoritmo é mais eficiente que outro, se seu tempo de execução no pior caso tem uma ordem de crescimento menor.