Construc ţii cu rigla şi compasul în gimnaziu

1. Construcţii cu rigla şi compasul în gimnaziu Prof. Mariana Radu Şcoala Generala GHIMBAV-BRASOV

2. Motto: ” Vă plictisiţi în timpul orelor de geometrie sau nu înţelegeţi nimic?Eu vă asigur totuşi că geometria este pasionantă şi că geometria este o manifestare inteligibilă”-E.FOURREY

3. Cele cinci construcţii fundamentale 1.Prin două puncte distincte se poate duce cu ajutorul unei rigle o singură dreaptă. (Postulatul lui Euclid ). 2. Cu centrul într-un punct oarecare şi cu o rază dată se poate construi un singur cerc. 3. Intersecţia a două drepte. 4. Intersecţia unui cerc cu o dreaptă. 5. Intersecţia a două cercuri.

4. Cele cinci construcţii fundamentale b O∙ A B a R A d A A B B

5. Construcţia mediatoarei unui segment • se desenează un segment AB • trasăm un cerc sau un arc de cerc de rază mai mare decât jumătatea lungimii segmentului dat cu centru în punctul A. • cu aceeaşi deschizătură trasăm un cerc sau un arc de cerc de rază cu centru în punctul B. • aceste arce de cerc se intersectează în punctele C şi D. • trasăm dreapta CD.Această dreaptă este mediatoarea segmentului AB. • punctul P , în care mediatoarea astfel construită taie segmentul AB, este mijlocul lui.

6. Construcţia mediatoarei unui segment d C P B A D

7. Construcţia bisectoarei unui unghi: • se desenează un unghi  xOy , de o măsură oarecare. • trasăm un cerc sau un arc de cerc cu centrul O, în vârful unghiului dat. • cercul taie laturile unghiului în punctele A şi B. • cu aceeaşi deschidere a compasului trasăm arce de cerc cu centru în punctele A şi B, care se vor intersecta a doua oară în punctul P. • semidreapta OP reprezintă bisectoarea unghiului  xOy.

8. Construcţia bisectoarei unui unghi x A O P B y

9. Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat: • desenam unghiul  ABC. • construim un unghi cu vârful în punctul M şi cu o latură MX, astfel să fie congruent cu unghiul  ABC. • trasăm două cercuri de raze egale cu centrele în punctele B şi M. • unghiul  ABC determină pe cerc arcul PN. • al doilea cerc taie MX în punctul D. • din punctul D desenăm arcul DE congruent cu arcul PN • trasăm semidreapta ME . • unghiul  ABC este congruent cu unghiul  DME.

10. Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat A X P D B M N C E

11. Construcţia unei perpendiculare dintr-un punct exterior pe o dreaptă: • avem o dreaptă d şi un punct P exterior ei. • desenăm un arc de cerc cu centrul în punctul P. • arcul de cerc taie dreapta în punctele M şi N. • cu centrele punctele M şi N se desenează arce de cerc de raze egale. • aceste arce de cerc se intersectează în punctul Q. • dreapta PQ este perpendiculară pe dreapta d= MN.

12. Construcţia unei perpendiculare dintr-un punct exterior pe o dreaptă P M N d Q

13. Construcţia unei perpendiculare pe o dreaptă într-un punct al ei: • se desenează o dreaptă d şi un punct M situat pe ea. • se construieşte un cerc de centru M, care intersectează dreapta d în punctele A şi B. • în punctele A şi B se desenează cu aceeaşi rază două arce de cerc de o parte a dreptei d şi care se intersectează în punctul N. • dreapta MN este perpendiculară pe dreapta d în punctul M.

14. Construcţia unei perpendiculare pe o dreaptă într-un punct al ei N M B d A

15. Construcţia tangentelor dintr-un punct exterior dat la un cerc dat: • fie cercul C ( O , R) şi punctul A exterior lui. • desenăm segmentul OA . • desenăm M mijlocul segmentului OA. • construim cercul cu centrul în punctul M şi diametru OA. • acest cerc taie cercul C ( O , R) în punctele T1 şi T2. • semidreptele AT1 şi AT2 sunt tangentele din punctul A la cercul C ( O , R).

16. Construcţia tangentelor dintr-un punct exterior dat la un cerc dat T2 O T1 M A

17. Construcţia cercului circumscris unui triunghi dat: • construim mediatoarea laturii AC şi mediatoarea laturii BC. • la intersecţia celor două mediatoare se găseşte centrul O al cercului circumscris  ABC.

18. Construcţia cercului circumscris unui triunghi dat A O B C

19. Construcţia unui hexagon regulat înscris în cerc: • se construieşte un cerc de rază egală cu latura hexagonului regulat. • se împarte cercul în 6 părţi congruente.

20. Construcţia unui hexagon regulat A F B O E C D

21. Construcţia unui triunghi echilateral înscris în cerc: • se construieşte un cerc de rază egală cu latura hexagonului regulat. • se împarte cercul în 6 părţi congruente. • se unesc din 2 în 2 punctele de diviziune.

22. Construcţia unui triunghi echilateral A F B O E C D

23. Construcţia unui pătrat înscris în cerc: • se desenează un cerc de o anumită rază. • se împarte cercul în 4 părţi congruente prin construirea a două diametre perpendiculare.

24. Construcţia unui pătrat A O B D C

25. Construcţia unui octogon regulat înscris în cerc: • se desenează un cerc de o anumită rază. • se împarte cercul în 4 părţi congruente prin construirea a două diametre perpendiculare. • se desenează mediatoarea unei laturi a pătratului înscris în cerc. • se desenează 8 părti egale.

26. Construcţia unui octogon regulat A M Q O B D N P C

27. Construcţia expresiei a + b: • fie a şi b două numere reale pozitive, a > b. • se desenează două segmente de lungimi egale cu a şi b. • se desenează o dreapta d şi se alege punctul O în care se desenează un cerc de rază egală cu a, care va intersecta a doua oară dreapta d în punctul A. • în punctul A se desenează un cerc de rază egală cu b, care va intersecta dreapta d în punctele B1 şi B2. • segmentul OB2 reprezintă expresia a + b.

28. Calculul sumei a+b a b A b O B2 d B1 a+b a

29. Construcţia mediei aritmetice: • fie a şi b două numere reale pozitive, a > b. • se desenează două segmente de lungimi egale cu a şi b. • construim segmentul AB care are lungimea egală cu a + b. • se desenează mediatoarea segmentului AB, care va împărţi segmentul în două segmente congruente care reprezintă numărul ( care reprezintă media aritmetică a numerelor a şi b).

30. Calculul mediei aritmetice a două numere a şi b a b d (a+b)/2 P B a A b

31. Construcţia mediei geometrice a numerelor • a şi b: • fie a şi b două numere reale pozitive, a > b. • se desenează două segmente de lungimi egale cu a şi b. • construim segmentul AB care are lungimea egală cu a + b. • se construieşte semicercul de diametru AB. • în punctul C, AC = a, se duce o perpendiculara care intersectează semicercul în punctul D. • conform teoremei înălţimii în triunghiul dreptunghic  DAB, DC2 = AC  CB.Deci reprezintă media geometrică a numerelor a şi b.

32. Calculul mediei geometrice a două numere a şi b a d b D C B A a b