Shodná zobrazení

1. Shodná zobrazení

2. Shodné zobrazení (shodnost) Definice:Prosté zobrazení v rovině nazýváme shodným zobrazením (shodnost), právě když pro každé dva body X, Y roviny a jejich obrazy X´, Y´ v tomto zobrazení platí: X´Y´=  XY Dělení shodností: • Přímá shodnost • Nepřímá shodnost

3. SHODNÁ ZOBRAZENÍ C M Platí: • AB=  KL • BC=  LM • AC=  KM Přímá shodnost Nepřímá shodnost (zrcadlový obraz) B A K L M Platí: • AB=  KL • BC=  LM • AC=  KM C B A K L

4. SHODNÁ ZOBRAZENÍ Identické zobrazení (identita) • zvláštní případ shodnosti • přiřazuje bodu X dané roviny bod X´s ním totožný: X´ = X

5. SHODNÁ ZOBRAZENÍ Shodné zobrazení, které není identitou, lze realizovat pohybem (přemístěním). Př. 1: Př. 2:

6. SHODNÁ ZOBRAZENÍ Obr. :přímá shodnost Pouhým otočením či posunutím vzoru (ABC) dostaneme obraz (KLM). C M Platí: • AB=  KL • BC=  LM • AC=  KM B A K L Obr. : nepřímá shodnost Obraz (KLM) dostaneme překlopením, tedy zrcadlovým obrazem (ABC). M C Platí: • AB=  LK • BC=  KM • AC=  LM B A K L zrcadlo

7. SHODNÁ ZOBRAZENÍ Typy shodných zobrazení: • Středová souměrnost • Osová souměrnost • Posunutí • Otočení

8. Středová souměrnost Definice: Nechť je dán bod S. Středová souměrnost se středem S je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz, bod X´ tak, že platí: 1) pro X  S; X´leží na přímce XS a X´S=XS 2) pro X = S; X´ = X =S Zápis: S(S): X→ X´

9. STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Obraz bodu: S(N):A → A´ Z definice víme: 1. AN=  A´N 2. N je střed úsečky AA´ Postup konstrukce: • A,N • ⇥ AN • n; n(N;  AN) • A´; A´n ⇥ AN n x A x N x A´

10. Postup konstrukce: AB,N ⇥ AN 3.n; n(N;  AN) 4. A´; A´ n ⇥ AN 5. ⇥ BN 6.m; m(N;  BN) 7. B´; B´m ⇥ BN 8. A´B´ STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Obraz úsečky: S(N):AB → A´B´ Z definice víme: 1. AN=  A´N 1. BN=  B´N 2. N je střed úsečky AA´ 2. N je střed úsečky AB´ x B n m x A x N x A´ x B´

11. Obraz kružnice: S(N):k(O,r) → k´(O´, r) STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Z definice víme: 1. ON=  O´N 2. N je střed úsečky OO´ 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) m k Postup konstrukce: 1. k(O,r), N 2. přímka ON 3. m; m(N,ON) 4. O´; O´ n  přímka ON 5. k´; k´(O´,r) Přesnější konstrukce 6.X; X  k (libovolný) 7. X´; S(N): X →X 8.k´; k´(O´,X´O) k´ X X X O X N X O´ X X´

12. Obraz útvaru: S(N):u → u´ STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př.: S(N): ABC →  A´B´C´ Postup konstrukce: ABC, N A´; S(N):A → A´ B´; S(N):B → B´ C´; S(N):C → C´  A´B´C´ X B´ C X A´ X N A X C´ B

13. Osová souměrnost Definice: Nechť je dána přímka o. Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz bod X´ tak, že platí: 1) pro X o; X´leží na kolmicik ose o a osaopůlí úsečku X´X (tj. oX= oX´ 2) pro X o; X´= X Zápis: O(o): X → X´

14. OSOVÁ SOUMĚRNOST Zobrazení bodu: O(o):A A´ Z definice víme: 1.A´ leží na přímce kolmé k ose o. 2. Osa o půlí úsečku AA´. Postup konstrukce: 1. A, o 2. p; p o; Ao 3. P; Po  p 4. k; k(P; XP) 5. A´; A´ p  k X A k X P X A´ o p

15. OSOVÁ SOUMĚRNOST Obraz úsečky: O(o):AB → A´B´ Z definice víme: 1.A´ leží na přímce kolmé k ose o. 3.B´ leží na přímce kolmé k ose o. 2. Osa o půlí úsečku AA´. 4. Osa o půlí úsečku AA´. Postup konstrukce: • AB, o • a; a o; Ao • P; P  a  o • k; k(P; XP) • A´; A´ a  k • b; b o; Bo • Q; Qo  p • l; l(Q; XQ) • B´; B´ b  l • A´B´ l X B X Q X A X B´ X P b X A´ a o k

16. Obraz kružnice: O(o):k(S,r) → k´(S´, r) OSOVÁ SOUMĚRNOST Z definice víme: 1. O´ leží na přímce kolmé k ose o. 2. Osa o půlí úsečku OO´. 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) Postup konstrukce: • k(S,r), o • p; p o; S o • P; P  p  o • l; l(P; SP) • S´; S´ l  p • k´; k´(S´, r) Přesnější konstrukce: 6. X ; X k (X je libovolný) 7. O(o):X → X´ 8.k´; k´(S´,S´X´) k´ p l x S´ x X´ x P x X k x S o

17. Obraz útvaru: O(o):u → u´ OSOVÁ SOUMĚRNOST Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př.: O(o): ABC →  A´B´C´ C Postup konstrukce: • ABC, N • A´; O(o):A → A´ • B´;O(o):B → B´ • C´; O(o):C → C´ •  A´B´C´ x A B = B´ x C´ o x A´

18. Posunutí Definice: Nechť je dána orientovaná úsečka AB. Posunutí je shodné zobrazení, které každému, bodu X přiřadí jeho obraz, bod X´ tak, že XX´ = AB, XX´AB a jsou souhlasně orientované. Předpis: T(AB): X → X´

19. POSUNUTÍ Zobrazení bodu: T(AB): X  X´ • Z definice víme: • XX´ a AB jsou souhlasně orientované • XX´ = AB k Postup konsturkce: 1. AB, X 2. ⇥XY; XY AB 3.k; k(X, AB) 4. X´; X´ k  p x A x B x X´ x X x Y

20. Obraz úsečky: T(AB):KL → K´L´ POSUNUTÍ • Z definice víme: • KK´ a AB jsou souhlasně orientované. LL´ a AB jsou souhlasně orientované. • KK´ = AB , LL´ = AB. Postup konstrukce: 1. AB, KL 2. ⇥KX; KX  AB 3.k; k(K, AB) 4. K´; K´ k ⇥ KX 5. ⇥LY; LY  AB 6.l; l(L, AB) 7. L´; L´ l  ⇥ LY 8. K´L´ xB xX xA x K´ xK xY x L´ xL l k

21. Obraz kružnice: T(AB):k(S,r) → k´(S´, r) POSUNUTÍ Z definice víme: 1. SS´ je souhlasně orientovaná s AB 2.  SS´ = AB. 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) l Postup konstrukce: 1. AB, k (S,r) 2.⇥SX; SX  AB 3.l;l(S, AB) 4.S´; S´ l  SX 5. k´; k´( S´, r) Přesnější konstrukce: 5. K; K  k (K libovolný) 6.⇥KY; KY  AB 7.m; m(K, AB) 8.K´; K´ m  KY 9. k´; k´(S, SK) x B x A k´ k x S x S´ x X x K´ x K x Y m

22. Obraz útvaru: T(AB):u → u´ POSUNUTÍ Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př.: T(AB): KLM →  K´L´M´ xA Postup konstrukce: KLM, AB K´; T(AB): K → K´ L´;T(AB): L → L´ M´;T(AB): M → M´  K´L´M´ xB M M´ x K xK´ L xL´

23. Otočení Definice: Nechť je dán bod S a úhel α. Otočení v rovině kolem středu S o úhel α v daném smyslu (kladném, resp. záporném) je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz X´ tak, že platí: 1. je – li X  S, leží X´na polopřímce SY, která je ramenem úhlu XSY a přitom XSY = α Ů SX´ = SX 2. X = S, je X´ = X Zápis: R(S, α): X→ X´

24. Zobrazení bodu: R(S, α): X→ X´ OTOČENÍ Z definice víme:  XSX´ = α(tj. X´ leží na rameni SY úhlu XSY , který je stejně velký, jako úhel α) SX´ = SX  α Postup konstrukce: S, α, X ⇥SX XSY;  XSY = α k; k(S,SX) X´; X´ k  ⇥SY k x S x X´ x Y x X

25. Zobrazení bodu: R(S, α): AB  A´B´ OTOČENÍ OTOČENÍ Z definice víme:  ASA´ = α(tj. X´ leží na rameni SX úhlu ASX , který je stejně velký, jako úhel α) SA´ = SA  BSB´ = α(tj. X´ leží na rameni SX úhlu BSY , který je stejně velký, jako úhel α) SB´ = SB x Y l α k Postup konstrukce: S, α, AB ⇥ SA ASX;  ASX = α k; k(S,SA) A´; A´ k  ⇥SA ⇥SB BSY;  BSY = α l; l(S,SB) B´; B´ l  ⇥SB A´B´ x B´ x X x B x A´ x S x A

26. Obraz kružnice: R(S, α): k(O,r) → k´(O´,r) OTOČENÍ Z definice víme:  XSX´ = α(tj. X´ leží na rameni SY úhlu XSY , který je stejně velký, jako úhel α) SX´ = SX  Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) α n Postup konstrukce: S, α, k(O,r) ⇥SO OSX;  OSX = α m; m(O,OS) O´; O´ m  ⇥SA k´; k´(O´,r) Přesnější konstrukce: K; K  k (libovolný) ⇥ SK KSY;  KSY = α n; n(S,SK) K´; K´ n  SK k´; k´(O´,K´O´) m k´ x X x O´ x S k x O x K´ x Y x K

27. Obraz útvaru: R(S, α): u → u´ OTOČENÍ Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př.: P(S,a): KLM →  K´L´M´ Postup konstrukce: KLM, S, a K´; R(S, α):K → K´ L´;R(S, α):L → L´ M´; R(S, α):M → M´  K´L´M´ M M´ x α K K´ x x L´ x S L

28. Konec prezentace Děkuji za pozornost.