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Pendule avec excitation périodique et friction. Pendule simple soumis à une force périodique Pendule est constitué d’une barre rigide de longueur L sans masse & masse pesante ponctuelle m attachée à son extrémité.
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Pendule avec excitation périodique et friction Pendule simple soumis à une force périodique Pendule est constitué d’une barre rigide de longueur L sans masse & masse pesante ponctuelle m attachée à son extrémité. Pendule soumis à une friction proportionnelle à sa vitesse de rotation : dq/dt. Pendule soumis à une force excitatrice périodique f(t). (Système d ’Unités tel que g/L=1) Etudier cette équation en fonction de c de la manière suivante : c, on portera dans un diagramme (dq/dt,c), les valeurs avec 20<k<50. 3 conditions initiales q(0)=0 et dq(0)/dt=0,1,2. En tout, pour chaque valeur de c, on calcule donc 3x30 valeurs de dq/dt que l’on place sur le diagramme On demande d’interpréter le diagramme obtenu
RESULTATS q(0)=0 et dq(0)/dt=0
RESULTATS q(0)=0 et dq(0)/dt=1
RESULTATS q(0)=0 et dq(0)/dt=2
RESULTATS q(0)=0 et dq(0)/dt=0q(0)=0 et dq(0)/dt=1q(0)=0 et dq(0)/dt=2
Interprétation • 0.9<c<1 • on observe un et un seul point • les 90 valeurs de dq(k.2p/w)/dt sont égales • le choix des conditions initiales - à savoir q(0)=0 et dq(0)/dt=0,1,2 - n’affecte en rien la solution • L’interprétation est aisée : la solution est périodique de période 2p/w. De ce fait, dq(k.2p/w)/dt=Constante ce qui explique que les 90 points soient confondus en un seul point (avec 20<k<50). • c >1 • Naissance de deux branches bifurcation : deux solutions sont possibles selon la condition initiale • Doublement de la période dès c=1.07 qu’on a doublement de la période (deux valeurs de dq(k.2p/w)/dt) • L ’état stationnaire dépend des conditions initiales !!!!
Interprétation • c 1.1 • le doublement quadruplement sextuplement. Pour c=1.1, infinitié dénombrable de valeurs de dq(k.2p/w)/dt. k, dq(k.2p/w)/dt dq((k+1).2p/w)/dt. On est donc très loin d’une solution périodique. • C’est l’apparition du chaos ! Conclusion L’établissement d’un diagramme de bifurcation tel que ci-dessus est une méthode couramment utilisée pour déterminer quand un système passe vers un état chaotique en fonction d’un paramètre du système.
q(t) en fonction de t pour c=1.2. On voit effectivement un mouvement avec des lobes de sinus et de cosinus qui se superposent et se succèdent anarchiquement comme si la période changeait sans arrêt.
