Download
1 / 23
280 likes | 802 Views
Differentiaalvergelijkingen. VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010. Exponentiële groei Begrensde groei Logistische groei. Differentiaalvergelijkingen. VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010. Bij exponentiële groei horen differentiaalvergelijkingen van de vorm : De oplossingsfuncties zijn : .
E N D
Differentiaalvergelijkingen VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Exponentiële groei Begrensde groei Logistische groei Differentiaalvergelijkingen VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Bij exponentiële groei horen differentiaalvergelijkingen van de vorm : De oplossingsfuncties zijn : Exponentiële Groei VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Voorbeeld : Bepaal de oplossingsfunctie van : Exponentiële Groei Antwoord : VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010 Controleren :
Een pan soep, die aan de kook is, wordt van het vuur gehaald en op tafel gezet. Vanaf dat moment begint de soep af te koelen. Volgens de afkoelingswet van Newton geldt dan : Begrensde Groei De snelheid waarmee de temperatuur van de soep daalt is evenredig met het verschil in temperatuur van de soep en de omgeving. Deze omgevingstemperatuur is gelijk aan 20C en we veronderstellen dat deze niet verandert door de warmte die de pan afgeeft. VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010 Differentiaalvergelijking :
Gegeven : Begrensde Groei Controleer of een oplossingsfunctie is. VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Bij begrensde groei horen differentiaalvergelijkingen van de vorm : De oplossingsfuncties zijn : Begrensde Groei VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Bakkersgist, dat aan deeg wordt toegevoegd, bestaat uit levende cellen. Wanneer je een zakje gedroogd gist oplost in water, ‘ontwaken’ de gistcellen uit hun rusttoestand en beginnen ze zich onmiddellijk door deling te vermenigvuldigen. Vlak nadat het gist wordt opgelost, is de toenamesnelheid van het aantal gistcellenevenredig met het aanwezige aantal. Na verloop van tijd zal het aantal gistcellenper cm³ deeg echter minder snel gaan groeien omdat er een verzadigingsniveau wordt genaderd. Logistische Groei VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Logistische groei In het begin van het groeiproces lijkt het aantal cellen exponentieel toe te nemen.Kenmerk van exponentiële groei is dat de groeifactor constant is.
Logistische groei want : Op de iets langere termijn beschrijft het exponentiële groeimodel het proces niet goed,omdat er in werkelijkheid slechts plaats is voor een beperkt aantal gistcellen per cm³.
Logistische groei Naarmate het aantal cellen dit verzadigingsniveau nadert, zal de groei afgeremd wordendoordat gistcellen zich minder snel delen of eerder sterven. De maximale capaciteit lijkt ongeveer gelijk te zijn aan 650 gistcellen per cm³. Het exponentiële model wordt nu aangepast via een zogenaamde remfactor
Logistische groei • De waarde van de remfactor zal afhangen van de waarde van A en wel zo dat: • Als A 0, dan remfactor 1, want dan vindt nog nauwelijks remming plaats. • Als A 650, dan remfactor 0, want dan is er nauwelijks groei meer. • Naarmate A dichter bij het maximum van 650 komt, neemt de groei af. Het simpelste is om aan te nemen dat remfactor een dalende lineaire functie van A is.
De differentiaalvergelijking : Begrensde Groei • Hierbij is 0,41 de evenredigheidsconstante als de groei ongeremd zou zijn. • De factor zorgt voor de remming. • Maximale capaciteit is gelijk aan 650 gistcellen per cm³ VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Bij logistische groei horen differentiaalvergelijkingen van de vorm : De oplossingsfuncties zijn : Logistische Groei VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Logistische Groei VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Grenswaarde M = 650 en k = 0,41 Beginhoeveelheid y(0)=14 Differentiaalvergelijkingen Dezegegevensinvullen in de standaardoplossinglevert de waardevoor b: VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
