第二章波函数与 Schördinger 方程

第二章波函数与Schördinger方程 §2.1 波函数的统计解释 1、对波粒二象性的理解对于能量为E动量为P的状态，说限于某点的波没有意义，不能按经典的概念去理解微观粒子的波粒二象性。那么，如何理解波粒二象性呢？粒子----定域性波动----广延性

历史上曾经把粒子用波包来等价，比如自 由粒子的平面波包（由一定范围动量，即不同的构成，因为）。以波包中心表示粒子的位置，波包的大小表示粒子的大小。群速度表示粒子的速度。则 ①不能认为一个粒子就是经典概念下的波

即不同的k运动速度不同，导致波包扩散，粒 子变胖。但实验上观测到的电子总处于空间一个小区域中，其广延不超过原子大小~1Å 另外也不能把电子看成三维空间的物质波包。衍射实验说明单粒子打到靶上就是一点。

但它不是经典粒子：不能用( )确定粒子 状态，没有轨道概念； ②不能认为波是由一群粒子组成。否则必然导致波动是由粒子间的相互作用产生的电子衍射实验中，电子流非常弱，一个一个电子打到靶上也产生干涉图样。说明波动性也是单个粒子所具有的。结论：微观粒子既是粒子又是波。也不是经典波：抛弃了物理量在空间周期性分布的概念，但具有波动的相干叠加性。两者统一于 Bohn的几率波概念中。

2、几率波多粒子系的波函数 (1)几率波分析电子的双缝衍射实验发现，衍射图样与发射电子流强度无关。且多个电子一次行为与一个电子的多次行为结果相同。 ①多个电子的一次行为干涉图样明条纹暗条纹 “粒子”观点到达电子多少波强度大小 “波动”观点

结论：到达屏某处电子数正比于波强度。 若总发射电子数为M，到达某处的电子数为N，则到达某处的电子几率为N/ M ②单个电子的多次行为干涉图样明条纹暗条纹 “粒子”观点发现电子几率大小 “波动”观点波强度大小结论：这种波是一种几率波

若衍射振幅用表示，与在光学中类似， 波的强度可用表示。一般情况下称为几率振幅，它描述微观粒子的运动状态，从而代替了经典体系状态（）的描述。由此得到微观粒子的状态用波函数完全描述。波函数的统计解释：波动性正反映了这种统计规律性，因此称为几率波。量子力学的基本原理之一：

几率密度用表示， t 时刻，在端点处单位体积中发现一个粒子的几率。 z Ψ dV 而t 时刻在端点附近dV 内发现粒子的概率为: r x y 不过它所描写的是大量粒子的统计行为。对于单个粒子只能给出几率性的答复。其物理涵义是(见下图）：

与经典波不同，对空间中的各点， 描述同一个状态,考虑的几率是相对几率。比如对空间中任意两点的相对几率为这就是波函数的统计解释。显然几率是归一的，即 ▲几率的相对性

即使归一化，波函数仍具有的相位不稳 定性，因为经典波相差c，强度相差 |c|2。经典波根本谈不上归一化。若显然

在t时刻，多粒子系的波函数可以表示为 （2）多粒子系的波函数而

一般定义内积

由前述，若体系的状态用 来描述，则粒子在给定时刻测得在处的几率实际上是位置的几率分布。以经典力学中状态变量的分布为例：但一般情况下，含有各种波长的分波，为一波包。因而相应动量有一分布。 3、动量的几率分布如测量其它力学量，几率分布如何？

可以设想同样给出的几率分布。 那么与有何联系？答案：是的平面波展开，即 Fourier变换: 代表中含有平面波的成分其逆变换为：

设电子垂直入射到单晶表面，入射波是一 具有一定波长的平面波。衍射沿一定角出射，且满足Bragg公式：器狭缝电流计电 G θ 集电子射线 K θ U 晶单镍以电子的晶体衍射为例。

设沿出射的波幅为 因为沿方向衍射波强度在衍射过程中，未变，因此衍射波谱反映了衍射前粒子动量的几率分布。对于一个粒子，在方向被测到的几率若入射波为一波包，则每一Fourier分波将按一定角度出射，得到一波谱。在足够远处，将在空间分开。

即粒子动量在范围内的几率为 即也满足归一化条件。容易验证：

在前面的推导中，我们利用了δ函数的性质 同理这样同理可推知三维坐标矢量的δ函数的形式

按照波函数的几率解释，经典轨道将会抛弃。 但由于波粒二象性，经典概念又不能全被抛弃。 4、测不准关系那么，经典概念能多大程度上适用于量子力学？ Heisenberg将其形象地概括为测不准关系。 Werner Karl Heisenberg德国人（1901-1976）创立量子力学，获得1932年诺贝尔物理学奖

例1 测不准关系的严格证明在第四章给出。这里从简单的例子出发引出测不准关系。一维自由粒子具有确定的动量 p0 自由粒子动量的不确定度Δp=0 相应的波函数是平面波即在任何位置上动量都有确定值则而位置完全不确定，可取任何值，

例2 一维粒子位于x0处，即 Δx=0。相应波函数其Fourier展开为将波函数代入即得则表明在位置x0处动量取各值的几率相等故

考虑Gauss波包 描述的粒子即粒子主要局限于 , 即例3 有见右图：

的Fourier变换为

用de Broglie关系 ,容易得到 严格证明见(4.3.1) 这就是测不准关系，即粒子的坐标(位置)和动量不能同时有确定值。它是粒子的波粒二象性的反映。如何理解不确定性？

说某一点的动量如同说在某一点的波长一样 是无意义的。然而由于h是个很小的量，所以其实际影响与日常经验并无矛盾，但实在存在却是本质的。对于宏观系统，量子效应可忽略不计。测不准关系常用来估计体系的主要特征，而不必知道体系精确的波函数或严格求解薛定谔方程。

则电子活动范围 由不确定关系例估算一些物理量的量级估算 H原子的轨道半径R H原子最稳定的半径 -- 玻尔半径解：设H原子半径为r

假设核静止，按非相对论，基态电子能量为 作为数量级估算，可取则

Å 最稳定，即能量最低得

前面的学习告诉我们，在 态中，不是所有的力学量都具有确定值。但它们有一定的分布几率 5、力学量的平均值和算符的引进因而有确定的平均值

如波函数没有归一化，应当除以归一化因子，写成如波函数没有归一化，应当除以归一化因子，写成同理

另外，若波函数没有归一化，且 则

但对于动量，其平均值 试思考：为什么？解释：粒子在某一点的动量是没有意义的那么如何求？

(再利用一次FT)

且注意:

此时或

这里要注意：由于测不准关系的存在， 是没有意义的，因为不能同时有确定值。但是 (?) (?)

6、统计解释对波函数提出的要求

如散射理论中的入射粒子

1、量子态及其表象 §2.2 态的叠加原理在统计物理中，我们学过量子态的概念。那时我们把微观粒子的运动状态称为量子态。

微观粒子的运动状态用波函数 完全来描述。考虑一个波包，它由平面波叠加而成。在这个波包中测量动量，能测得什么值？下面我们学习第二个基本原理前面我们学习了量子力学的基本原理之一： 2、态的叠加原理问题的提出: 自由粒子的波函数是动量取确定值的态函数，即平面波。

态的叠加原理能回答这个问题。

则也是体系的一个状态这就是态的叠加原理。

例如,一束线偏振光经过检偏振晶片,晶轴沿 x 方向。入射光偏振沿 x 方向,全部通过(a); 入射光偏振沿 y方向, 全部吸收(b)。如下图： 3、光子偏振态的叠加

设想：若入射光偏振与x成α角，情况如何？ 入射光的能量只有一部分（∝cos2α）通过晶片，而另一部分则被晶片吸收。若α=45。，入射的电场分量Ex=Ey=E，则通过晶片后Ex=E，Ey=0。能量有一半被吸收。由于光子具有粒子性，若用一束偏振光激发光电子，光电子分布（有时称为角分布）将有一优越方向。

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