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College National” Mihai Eminescu “ Iasy

College National” Mihai Eminescu “ Iasy. Fonction logarithme Fonction exponentielle Georgiana Mocanu Classe : le XI- eme A Prof. coordonateur : Cristina Anton - 31 octombre 2011-.

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Presentation Transcript

  1. College National” MihaiEminescu “ Iasy Fonctionlogarithme Fonctionexponentielle Georgiana Mocanu Classe: le XI-eme A Prof. coordonateur : Cristina Anton - 31 octombre 2011-

  2. Les fonctionlogarithmes et les fonctionexponentielledans la vie qotidienne • chimie : pH, ... • acoustique : décibel, … • biologie : magnitude, … • musique : savart, construction des gammes, … • en Physique (la radioactivité) • et bien d’autres application encore …

  3. Lexique • logarithme népérien • fonction logarithmigue/fonction logarithme • fonction exponentielle( de base a ) • puissance • logarithme décimal • bijective • surjective • inversable • asymptote horizontale • asymptote verticale • tableau de valeurs • monotonie • courbe • axe de symétrie • bissectrice • domaine de definition • équations • inéquations

  4. ~ La fonction logarithmique

  5. I)Définition et lois des LOGARITHMES an= x n = logax Soit a>1 ,a ≠1 et l`équation ax=n où n est un no,bre réel strictement positif.Comme la fonction exponentielle est bijective,on en déduit que l`équation a une seule solution x,qui,pardéfinition,est le logarithme de basse a de n.On note logax On sait que 3x = 27 x = log3 27 donc loga1 = 0 (car a0= 1) Ex.: log4 1 = 0 car 40 = 1 Par conséquent : logac = 1 (car a1= a) Ex.: log4 4 = 1 car 41 = 4 !!!!!!Remarques: ->LN note le logarithme de base e ;en hommage à John Neper, mathématicien écossais,qui se trouve à l`origine des tables des logarithmes. ->LG note le logarithme de base 10 ,ou le logarithme décimal. En outre, lorsque la base « a » du logarithme est 10, on écrit log x au lieu de log10 x. ou lg x et lorsque la base « a » du logarithme est e, on écrit lg x au lieu de loge x .

  6. Proprietes des logarithmes Note : log3 x2≠ log3 2x car log3 x2= log3 (x • x) log3 2x = log3x • log3x

  7. Exemples : a) Simplifier . b) Simplifier log2 x2 – log2 x . log2 x2 – log2 x = log2 = log2 x = 2 = = c) Simplifier log6 2x4 + log6 3 . log6 (2x4 • 3) log6 2x4 + log6 3 = log6 6x4 = log6 6 + log6 x4 = 1 + 4 log6 x =

  8. Propriétés de la fonction logarithmique( f(x)=logax) 1.f(1)=0 2.LA MONOTONIE ~si a>1 ,alors f strictement croissante,c`est-à -dire: tous x1,x2 qui appartient x1<x2=> logax1< logax2 ~si 0<a<1 ,alors f strictement décroissante,c `est-à -dire: tous x1,x2 qui appartient x1<x2=> logax1> logax2 3.LE SIGNE (conséquence de monotonie) ~pour a>1, logax >0 si x>1 et logax<0 si 0<x<1 ~pour 0<a<1 , logax>0 si 0<x<1 et logax<0 si x>1 On remarque que logax si et seulement si a et x ont la meme position par rapport à un. Plus présisément,si la base et l`argument son infériors à 1 ou supériors à 1 , à la fois ,alors logax>0 ,sinon , logax<0.Une maniére très pratique d exprimer ce résultat est la suivante : sign(logax)=sign(a-1)(x-1) 4. f est un fonctionbijective et donc,inversable.Safonction réciproqueest la fonctionexponentielle.Celasignifiequepor tout y réel,ilexite un seule x= ayréel strictement positif,qui est la solution de l`équation:logax=y.Réciproquement ,l`équation ax =y a une seule solution x=logay pour tout y réel trictement positif.

  9. 5.LES TABLEAUX DE VARIATION: Pour a>0 1 1 1 1 Pour 0<a<1 *On a la droite d`équation x=0 comme asymptote verticale.

  10. 6.Graphique: s`est trasée dans les points . Gf admit des asymptotes. 7.L`intersection avec l`xOy 8.Injectivite La fonctionexponentielleest un fonction injective .On utilisel`injectivite pour résolutions d’inéquations: 9.Surjectivite: La fonctionlogarithmiqueestunefonctionsurjective .On utilise la surjectivite pour résolutions d’inéquations. logax=y=>x= ay

  11. 10.Bijectivite Note: Les represéntations graphiques de la fonction exponentielle f: ->(0, ∞) , f(x)=ax et de la fonction logarithmique f: (0, ∞)-> , ,f(x)= logax sont deux courbes qui ont comme axe de symétrie la première bissectrice

  12. Équations logaritmiques et graphique 1 1 f(x) = logcx Exemple : (forme générale de BASE) f(x) = log2 x (forme générale de BASE où c  1) f(x) = alogcb(x – h) + k Exemple: : f(x) = 3 • log2 6(x – 1) + 5 (forme générale TRANSFORMÉE) x = h Exemple : (Équation de l’asymptote) 1)f(x) = log2 x 0  1 0 2 1 2 4 Asymptote x = 0 8 3 ½ -1 ¼ -2

  13. 1 1 1 1 2)f(x) = log½ x (forme générale de BASE où c  ]0, 1[) 0  Asymptote x = 0 1 0 2 -1 -2 4 8 -3 ½ 1 ¼ 2 3)f(x) = log2 (x + 4) -4  (forme c  1 et h = -4) -3 0 -2 1 2 0 Asymptote x = - 4 4 3

  14. 1 1 1 1 f(x) = alogcb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) c  1 x = h (Équation de l’asymptote) Dom f = ] k , +∞ Imaf =  1) f(x) = log2 (x + 4) Asymptote x = h (forme c  1 et h = -4) c  ] 0 ,1 [ Asymptote x = - 4 -4  -3 0 -2 1 2 0 4 3

  15. Résolutions d’inéquations 1 1 Exemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . log2 (x + 4) + 5– log2 (x – 6) + 9 . Asymptote x = - 4 Asymptote x = 6

  16. Exemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 Il faut que x + 4 > 0 et que x – 6 > 0 donc que x > - 4 et que x > 6 log2 (x + 4) + log2 (x – 6)  9 – 5 log2 [ (x + 4) •(x – 6) ]  4 (x + 4) •(x – 6)  24 x2 – 2x – 24  16 x2 – 2x – 40  0 x2 7,40 x1 – 5,40 À rejeter x  [ 7,40 , + Réponse :

  17. Exemple #2 : Résoudre (1/2)x + 3≤ 52x – 1 . log (1/2)x + 3≤log 52x – 1 . (x + 3) • log (1/2) ≤ (2x – 1) • log 5 (x + 3) • (- 0,3) ≤ (2x – 1) • (0,7) - 0,3x – 0,9 ≤ 1,4x – 0,7 - 0,2 ≤ 1,7x - 0,12 ≤ x x  [ - 0,12 , + Réponse :

  18. ex = y x = logey logex = ln x Base naturelle « e » Il existe un nombre irrationnel (comme ) qui se nomme : e ≈ 2,7182818… C’est une constante mathématique très utilisée en science et que l’on retrouve dans de nombreuses modélisations de phénomènes naturels. Donc, lorsque ce nombre constitue la base d’un nombre exponentiel, on a que : Cependant, lorsque la base « c » du logarithme est e, on écrit ln x au lieu de loge x.

  19. La fonction Exponentielle

  20. Définition Soit q un nombre réel strictement positif et x un no,bre réel quelconque:Si x est un nombre rationnel,alorsax est défini.On veut attribuer un sens à ax pour x irrationelle.Pourcela,rappelons quelques résultats d analiyse ,athé,atique concernant les suites convergentes: 1. Pour tout nombre réel x , il existe deux suites des nombres rationnels ,tels que Note:On peut prendre les suites comme les approximations décimals Par défaut ;respectivement par excés: est une suite convergente de nombres rationnels 2.Si a est un réel,a>0 et et alors la suite et est aussi convergente. 3.Pour tous réels x et y, ex > ey  x > y ex = ey x = y ex > 1  x > 0 ex < 1  x < 0

  21. Proprietes des logarithmes TERMINOLOGIE baseexposant = puissance Ex. :32 = 9 LOIS DES EXPOSANTS m  am• an = am + n =   = am – n  (am)n = amn a - m = (ab)m = am bm  

  22. Proprietes de la fonction exponentielle • 1.f(0)=1 • 2.La monotonie de f • f strictement croissante por a>1,ce qui équivaut à: • tous • -f est strictement décroissante pour 0<a<1 ,ce qui équivaut à: • tous

  23. 5.LES TABLEAUX DE VARIATION: Pour a>0 Pour 0<a<1 *On a la droite d`équation x=0 comme asymptote verticale.

  24. 6.Graphique: s`est trasée dans les points . Gf admit des asymptotes. 7.L`intersection avec l`xOy 8.Injectivite La fonctionexponentielleest un fonction injective .On utilisel`injectivite pour résolutions d’équations. 9.Surjectivite: La fonctionlogarithmiqueestunefonctionsurjective .On utilise la surjectivite pour résolutions d’inéquations. .

  25. 10.Bijectivite Note: Les represéntations graphiques de la fonction exponentielle f: ->(0, ∞) , f(x)=ax et de la fonction logarithmique f: (0, ∞)-> , ,f(x)= logax sont deux courbes qui ont comme axe de symétrie la première bissectrice

  26. De plus, nous pouvons ln au lieu du log afin de résoudre des équations ou inéquations exponentielles. Exemple : Avec LOG Avec LN 3x = 2x – 1 3x = 2x – 1 log 3x = log 2x – 1 ln 3x = ln 2x – 1 x •log 3 = (x – 1) • log 2 x •ln 3 = (x – 1) • ln 2 x •(0,477) = (x – 1) • (0,3) x •(1,1) = (x – 1) • (0,7) 0,477x = 0,3x – 0,3 1,1x = 0,7x – 0,7 0,177x = – 0,3 0,4x = – 0,7 x = – 1,7 x = – 1,7 x  { -1,7 } x  { -1,7 } Réponse : Réponse :

  27. Équations et graphique f(x) = cx Exemple : f(x) = 2x (forme générale de BASE) f(x) = acb(x – h) + k Exemple : (forme générale TRANSFORMÉE) f(x) = 3 • 24(x – 3) + 5 f(x) = acx – h + k (forme CANONIQUE) Exemple : f(x) = 3 • 2x – 3 + 5

  28. 1 1 1)f(x) = 2•3x – 1 – 5 (forme générale TRANSFORMÉE) 0 - 4,3 1 - 3 2 1 13 3 y = - 5 (asymptote) -1 - 4,8 -2 - 4,9

  29. 1 1 2)f(x) = acb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) c  ] 0 ,1 [ c  1 y =k Équation de l’asymptote Dom f =  Ima f = ] k , +∞ y = k (asymptote)

  30. Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 1) – 539 . 0 = 11 (72x – 1) – 539 539 = 11 (72x – 1) 49 = 72x – 1 72 = 72x – 1 2 = 2x – 1 3 = 2x = x x  { } Réponse :

  31. Exemple #2 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = (6x+1) – 108 . 0 = (6x+1) – 108 108 = (6x+1) 216 = 6x+1 63 = 6x+1 3 = x + 1 2 = x x  { 2 } Réponse :

  32. Exemple #3 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 625 ( )3x – 1 . 0 = 625 ( )3x – 1 = ( )3x = ( )3x ( )4 = ( )3x 4 = 3x = x x  { } Réponse :

  33. Exemple #4 : Résoudre ( )8x = 2-10x + 18 . ( )8x = 2-10x + 18 (2-2)8x = 2-10x +18 2-16x = 2-10x + 18 -16x = -10x + 18 -18 = 6x -3 = x x  { -3 } Réponse :

  34. 10 3 Exemple : Trouver l’ensemble-solutions de -26 + 234 (3-0,08x) < 52 . -26 + 234 (3-0,08x)< 52 234 (3-0,08x) < 78 3-0,08x< y = 52 3-0,08x< 3-1 -0,08x < -1 x  12,5 y = - 26 (asymptote) x  ] 12,5 , + ∞ Réponse :

  35. À partir d’un problème de « BACTÉRIES »… Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de 128 000 ? f(x) = 500 (2)x/5 128 000 = 500 (2)x/5 256 = (2)x/5 28 = 2x/5 8 = 40 = x Après 40 heures. Réponse :

  36. Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options. a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement. b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois. c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois. Laquelle est la plus avantageuse ? a)Règle générale… Après 3 ans… C(3) = 1000 (1,05)3 C(t) = 1000 (1 + )1t C(3) ≈ 1157,63 1157,63 $ C(t) = 1000 (1,05)t Réponse : b)Règle générale… Après 3 ans… C(3) = 1000 (1,01667)3(3) C(t) = 1000 (1 + )3t C(3) ≈ 1160,40 1160,40 $ C(t) = 1000 (1,01667)3t Réponse : c)Règle générale… Après 3 ans… C(3) = 1000 (1,0041667)12(3) C(t) = 1000 (1 + )12t C(3) ≈ 1161,47 C(t) = 1000 (1,0041667)12t 1161,47 $ Réponse :

  37. Devoir: 1. Résoudre dans IR les équations suivantes : a)ex = 2 b)ln(x) = 3 c)e2x+3 = 1 d)e2x – 5 = e x e)ex = e4x²+5x+1 f) ln(2x+1) - ln(x-1) = 1 g)ln(x-2) + ln(x+1) = ln(3x-5) 2. On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options. a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement. b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois. c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois.

  38. Source principale: http://matematicadnl.wikispaces.com/ www.wikipedia.com “Ghid pentru bacalaureatul bilingv francofon”-Sorina Danaila , Gabriela Siclovan,Gabriela Sandulescu Programs utilisées: Microsoft Office 2007; Mathtype 6.7; Graph 4.3; Paint;

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