Economie de l’environnement

1. Economie de l’environnement Sébastien Rouillon 2011 (Première version, 2006)

2. 1. Les biens Il y a : • Un bien numéraire (prix = 1 €) ; • Un bien environnemental. Le numéraire agrège les autres biens produits dans l’économie, pondérés par les prix courants. Le bien environnemental mesure par la quantité de polluants dans l’environnement.

3. 2. Les consommateurs • Indicés : i = 1, …, I • On note : • xi = consommation du numéraire par i (en €) • z = quantité de polluants dans son environnement (en ppm, en tonnes, etc.)

4. 2.1. Les préférences Un consommateur i est caractérisé par ses préférences sur les états économiques (xi, z). Si (xi’, z’) et (xi’’, z’’) sont deux états, il peut dire s’il préfère le premier, le second ou s’il est indifférent entre les deux. On note : Pi = préférences de i.

5. 2.2. Fonctions d’utilité On utilise des fonctions d’utilité comme moyen de représenter les préférences des consommateurs. Une fonction d’utilité Ui(xi, z) représente les préférences Pi d’un consommateur i, si : • i préfère (xi’, z’)  Ui(xi’, z’) > Ui(xi’’, z’’) • i est indifférent Ui(xi’, z’) = Ui(xi’’, z’’)

6. 2.3. Utilités quasi-linéaires Une fonction d’utilité Ui(xi, z) est dite quasi-linéaire si elle peut s’écrire : Ui(xi, z) = xi – di(z) Dans toute la suite, on supposera que, pour tout i : • les préférences de i sont représentables par une fonction Ui(xi, z) d’utilité quasi-linéaire ; • la fonction di(z) s’annule pour z = 0, est croissante et convexe.

7. 2.4. Dommages Faisons l’expérience (fictive) suivante : • Initialement, l’état économique d’un consommateur i est (xi, 0). • On augmente alors la pollution de son environnement de z unités. Quel dédommagement Di faut-il lui accorder pour qu’il ne soit pas perdant ?

8. 2.4. Dommages Ceci revient à trouver Di tel que : Ui(xi + Di, z) = Ui(xi, 0) Soit : Di = di(z) (en €) Conclusion : Pour tout z, la fonction di(z) donne une évaluation du dommage total subi par le consommateur, en €, du fait de la pollution de son environnement.

9. 2.5. Dommage marginal On appelle dommage marginal du consommateur i, la fonction Dmi, associant à toute quantité z, le dommage subi par i pour l’augmentation d’une unité (infiniment petite) de la pollution. Par définition de la dérivée : Dmi = di’(z) (en €)

10. 2.5. Dommage marginal Ex. 1 : U1(x1, z) = x1 – d1(z), avec d1(z) = z²/6. € 1 On a : Dm1 = d1’(z) = z/3. 2/3 Dm1 1/3 1 Pollution

11. 2.5. Dommage marginal On peut retrouver le dommage total Di subi par le consommateur i, du fait de la pollution z de l’environnement, en calculant l’aire sous la courbe représentant Dmi, entre les quantités 0 et z.

12. 2.5. Dommage marginal Ex. 2 : Cf. ex. 1. On doit calculer l’aire d’un triangle de base b = z et de hauteur h = z/3. On trouve : D1 = bh/2 = z²/6 = d1(z). € h 1 b 2/3 Dm1 1/3 z 1 Pollution

13. 2.6. Dom. marginal social Pour traiter de politique d’environnement, il est commode d’agréger les dommages marginaux des consommateurs, pour évaluer le dommage social d’une unité de pollution supplémentaire, à partir d’une quantité z donnée.

14. 2.6. Dom. marginal social On définit donc le dommage marginal social comme la fonction Dm, associant à toute quantité z, le dommage subi par l’ensemble des consommateurs pour l’augmentation d’une unité (infiniment petite) de la pollution.

15. 2.6. Dom. marginal social Dans le cas le plus simple, où les consommateurs sont localisés au même endroit et partagent le même environnement, on a : Dm = Σi Dmi (en €)

16. 2.6. Dom. marginal social Ex. 3 : d1(z) = z²/6 et d2(z) = z²/3. Pour tout z, on a : Dm1 = z/3. Dm2 = 2z/3 Dm= Dm1 + Dm2 = z/3 + 2z/3 = z € 1 Dm Dm2 2/3 Dm1 1/3 1 Pollution

17. 2.6. Dom. marginal social On peut retrouver le dommage total subi par tous les consommateurs, du fait de la pollution z de l’environnement, en calculant l’aire sous la courbe représentant Dm, entre les quantités 0 et z.

18. € 1 Dm 2/3 h 1/3 b z 1 Pollution 2.6. Dom. marginal social Ex. 4 : Cf. ex. 3. On doit calculer l’aire d’un triangle de base b = z et de hauteur h = z. On trouve : D= bh/2 = z²/2 = d1(z) + d2(z).

19. 3. Les entreprises • Indicés : j = 1, …, J • On note : • yj = production de numéraire par j (en €) • zj = rejets de polluants par j dans l’environnement (en ppm, en tonnes, etc.)

20. 3.1. Fos de production On utilise les fonctions de production pour représenter les technologies des entreprises. La fonction de production fj(zj) d’une entreprise j donne, pour chaque niveau de rejets zj, la plus grande quantité de bien numéraire yj qu’elle peut produire.

21. 3.1. Fos de production On dira donc qu’un plan de production (yj, zj) de j est techniquement possible si : yj ≤ fj(zj) et est techniquement efficace si : yj = fj(zj).

22. 3.1. Fos de production Dans toute la suite, on supposera que, pour tout j : • L’entreprise est techniquement efficace ; • La fonction fj(zj) s’annule pour zj = 0, est croissante et concave.

23. 3.2. Coûts de dépollution Faisons l’expérience (fictive) suivante : • Initialement, le plan de production appliqué par j est (yj, zj) • On « interdit » ensuite à l’entreprise de polluer Quelle perte Cj subit l’entreprise ?

24. 3.2. Coûts de dépollution Sa production passe de : yj = fj(zj), initialement, à : 0 = fj(0), après l’interdiction. Comme chaque unité produite est vendue 1 €, sa perte est : Cj = fj(zj) (en €)

25. 3.2. Coûts de dépollution Conclusion : Pour tout zj, la fonction de production fj(zj) donne aussi le coût subi par l’entreprise, en €, pour la dépollution de zj unités.

26. 3.3. Coût marginal On appelle coût marginal de l’entreprise j, la fonction Cmj, associant à toute quantité zj, le coût subi par j pour la réduction d’une unité (infiniment petite) de ses rejets. Par définition de la dérivée : Cmj = fj’(zj) (en €)

27. 3.3. Coût marginal Ex. 5 : Soit un producteur caractérisé par : f1 (z1) = (1 – z1) z1. € On a : Cm1 = f1’(z1) = 1 – 2z1. 1 Cm1 1/2 1 Rejets

28. 3.3. Coût marginal On peut retrouver la production de l’entreprise j, quand elle rejette zj unités de polluants, en calculant l’aire sous la courbe représentant Cmj, entre les quantités 0 et zj.

29. 3.3. Coût marginal Ex. 6 : Cf. ex. 5. On doit calculer l’aire d’un trapèze de bases B = 1 et b = 1 – 2z, et de hauteur h = z. On trouve : (B + b)h/2 = (1 - z)z = f1(z1) € 1 B b h Cm1 z 1/2 1 Rejets

30. 3.4. Coût marginal social On appelle coût marginal social la fonction Cm, associant à toute quantité z = Σj zj, le coût subi par l’économie pour la réduction d’une unité infiniment petite de ses rejets, en supposant que les rejets zj sont réparties de manière à égaliser les coûts marginaux des entreprises.

31. 3.4. Coût marginal social Graphiquement, on construit la courbe représentant Cm, en faisant l’addition vers la droite des courbes représentant les coûts marginaux Cmj de chaque entreprise. Dans le cas simple où les coûts marginaux Cmj sont linéaires, le Cm est lui-même linéaire et le graphique suffit pour en trouver l’expression.

32. € 1 Cm Cm1 Cm2 1/2 1 3/2 Rejets 3.4. Coût marginal social Ex. 7 : f1= (1 – z1)z1 et f2= (1 – z2/2)z2 On a : Cm1 = 1 – 2z1 et Cm2 = 1 – z2 La courbe représentant Cm passe par (0, 1) et (3/2, 0). Son expression est : Cm = 1 – (2/3) z.

33. 3.4. Coût marginal social Par le calcul, on détermine l’expression de Cm en résolvant le système : Cm1 = Cm … CmJ = Cm Σj zj = z pour exprimer Cm en fonction de z.

34. 3.4. Coût marginal social Ex. 8 : Cf. ex. 7. (1) : 1 – 2z1 = Cm (2) : 1 – z2 = Cm (3) : z1 + z2 = z En faisant (1) + 2(2) : 3 – 2(z1 + z2) = 3Cm. En substituant (3) : 3 – 2z = 3Cm. Finalement : Cm = 1 – (2/3) z.

35. 3.4. Coût marginal social En calculant l’aire sous la courbe représentant Cm, entre les quantités 0 et z, on détermine la quantité de bien numéraire que l’ensemble des entreprises peuvent offrir au maximum, quand elles ne doivent pas rejeter plus de z unités de polluants dans l’environnement.

36. 4. Etats économiques Il y a donc I consommateurs et J producteurs dans l’économie. Leurs plans portent sur les quantités xi, yj, zj et z. Ils déterminent un état de l’économie.

37. 4.1. Etat possible L’état économique, défini par xi, yj, zj et z, est dit possible si : • Les plans de production sont techniquement possibles • L’état économique réalise l’équilibre des emplois et des ressources : Σi xi = Σj yj z = Σj zj

38. 4.2. Un seul individu Soit une économie où il y a un seul individu, à la fois consommateur et producteur. (On supprime donc les indices.) Il choisit x, y et z seul. Son choix est possible si x = y = f(z). Son utilité est alors : U(f(z), z) = f(z) – d(z).

39. 4.2. Un seul individu S’il est rationnel, cet individu devrait choisir l’état de l’économie, c’est-à-dire les quantités x, y et z, de manière à rendre son utilité la plus grande possible. Un tel état peut être dit optimal.

40. 4.3. Vilfredo Pareto S’il y a plusieurs individus, définir un état optimal est plus difficile. Au sens de Pareto, un état économique, défini par les quantités xi, yj, zj et z, est dit optimal si : • Il est possible ; • La situation d’au moins un agent se détériore quand on quitte cet état pour un autre état économique possible quelconque.

41. 4.4. Surplus social On appelle surplus social la fonction S, associant à tout état économique possible, le nombre : S = Σi U(xi, z) = Σi xi - Σi di(z) où : Σi xi = Σj yj yj = fj(zj) z = Σj zj

42. 4.4. Surplus social Après substitutions, on montre que : S = Σj fj(zj) - Σi di(Σj zj) Ainsi, le surplus social S s’obtient en faisant la différence entre l’offre de bien numéraire par les entreprises et le dommage agrégé qui en résulte.

43. 4.4. Surplus social Le théorème suivant est important pour la suite : Un état économique, défini par les quantités xi, yj, zj et z, est optimal au sens de Pareto si, et seulement si : • Il est possible • Il maximise le surplus social dans l’ensemble des états économiques possibles

44. 4.5. Propriétés d’unEtat optimal Supposons que nous soit donné un état optimal, défini par les quantités xi, yj, zj et z. Notons E cet état et cherchons ces propriétés, en utilisant un raisonnement marginaliste.

45. 4.5. Propriétés d’unEtat optimal Hyp. 1 : Supposons d’abord qu’il existe dans l’état E deux entreprises, par exemple les entreprises 1 et 2, pour lesquelles Cm1 ≠ Cm2. Admettons par exemple que Cm1 < Cm2.

46. 4.5. Propriétés d’unEtat optimal Par définition du coût marginal : • l’entreprise 1 doit réduire sa production de Cm1 unités pour rejeter une unité de pollution en moins • à l’inverse, l’entreprise 2 peut augmenter sa production de Cm2 unités en rejetant une unité de pollution en plus

47. 4.5. Propriétés d’unEtat optimal Comme on a supposé que Cm1 < Cm2, la modification imaginée de l’état E accroît l’offre des deux entreprises, donc le surplus social (z ne varie pas). L’hyp. 1 est donc incompatible avec le fait que E soit optimal ; l’état E vérifie : Cm1 = Cm2 = … = CmJ

48. 4.5. Propriétés d’unEtat optimal Hyp. 2 : Supposons maintenant qu’il existe dans l’état E un écart entre Cm et Dm. Par exemple, admettons que Cm < Dm.

49. 4.5. Propriétés d’unEtat optimal Par définition : • L’économie doit réduire sa production totale de bien numéraire de Cm unités pour rejeter une unité de polluants en moins • L’élimination d’une unité de pollution diminue le dommage des consommateurs de Dm unités

50. 4.5. Propriétés d’unEtat optimal Comme on a supposé que Cm < Dm, la modification imaginée de l’état E accroît le surplus social (l’offre de bien numéraire diminue moins que le dommage agrégé). L’hyp. 2 est donc incompatible avec le fait que E soit optimal ; l’état E vérifie : Cm = Dm