2.1 Podgrafi

1. 2.1 Podgrafi

2. Podgrafi • Graf H=(U,F) je podgraf grafa G=(V,E), če je U podmnožica V in je F podmnožica E. • Pozor! Pri tem je pomebno, da je (U,F) res graf! Vsaka izbira podmnožic U in F v splošnem ne določa grafa. Za vsako izbrano povezavo moramo izbrati tudi njeni krajišči.

3. Tipi podgrafov • Odprti podgraf • Inducirani podgraf • Vpeti podgraf • Izometrični podgraf • Konveksni podgraf

4. Vpeti podgraf • Če za podgraf H=(U,F) grafa G(V,E) velja U = V, pravimo, da je H vpet podgraf grafa G.

5. Inducirani podgraf • Graf H je induciran podgraf grafa G, če vsebuje vse povezave, ki imajo obe krajišči v H. • Inducirani podgraf je določen že z množico svojih vozlišč U. Če želimo ločiti med množico vozlišč in pripadajočim induciranim grafom, le-tega označimo z <U>. • P5 je iducirani podgraf grafa C6.

6. Pot in cikel v grafu • Podgrafu grafa G, ki je izomorfen poti, pravimo pot v grafu G. • Podgrafu grafa G, ki je izomorfen ciklu, pravimo cikel v grafu G.

7. 2.2 Drevesa

8. Povezanost grafov • Ničelni graff = (f,f)nima vozlišč. • Graf G je povezan, če in samo če ga ne moremo zapisati v obliki disjunktne unije neničelnih grafov. • Komponenta je induciran povezan podgraf.

9. S potmi povezani grafi • Na množici vozlišč grafa G vpeljemo ekvivalenčno relacijo takole: u @ v, če in samo če obstaja podgraf, izomorfen poti, ki ima u in v za krajišči. • G je s potmi povezan, če ima ekvivalenčna relacija @ en sam ekvivalenčni razred. • Naloga: dokaži, da pri (končnih) grafih pojma povezanosti in povezanosti s potmi spovpadata.

10. Razdalja v povezanih grafih • Iz vsakega povezanega grafa G lahko naredimo metrični prostor (V,dG) takole: • dG(u,v) je dolžina najkrajše poti v G, ki ima za krajišči u in v.

11. Drevo • Drevo je povezan graf brez cikla. • Vsako drevo z n 2 vozlišči ima vsaj dva lista. • Vsak povezan graf ima vpeto drevo.

12. Karakterizacije dreves • Drevo je povezan graf z n vozlišči in n-1 povezavami. • Drevo je graf brez ciklov z n vozlišči in n-1 povezavami • Drevo je povezan graf, ki ni več povezan, če mu odstranimo poljubno povezavo. • Drevo je graf, pri katerem za vsak par vozlišč u in v obstaja natanko ena pot od u do v.

13. 2.3 Dvodelni grafi

14. Dvodelni grafi • Graf je dvodelen, če lahko vozlišča razbijemo na dve množici, recimo M in R, tako da ima vsaka povezava eno krajišče v M, drugo v R. • Graf na levi je dvodelen. • Dvodelni so tudi vsi grafi Km,n.

15. Lastnosti dvodelnih grafov • Graf je dvodelen  vozlišča lahko pobarvamo z dvema barvama na tak način, da sta krajišči vsake povezave različnih barv. • C2n+1 ni dvodelen • Graf je dvodelen  ne vsebuje ciklov lihe dolžine. • Vsa drevesa so dvodelni grafi. • Graf X je dvodelen  je dvodelna vsaka njegova komponenta.

16. Subdivizija povezav • Subdivizija povezave: povezavo nadomestimo s potjo dolžine 2 • S(G,e) oznaka za graf, ki ga dobimo iz G s subdivizijo povezave e • S(G,F) - graf, ki ga dobimo s subdivizijo vseh povezav iz F EG. • S(G) = S(G,E) je subdivizija grafaG. • Graf H je splošna subdivizija grafa G, če dobimo H iz G z zaporedjem subdivizij povezav.

17. Homeomorfizem grafov • Grafa G in H sta homeomorfna, če obstaja njuna skupna splošna subdivizija. • Graf G je topološko vsebovan v grafu K, če obstaja kakšen podgraf H grafa K, ki je homeomorfen grafu G.

18. Subdivizija - Naloge • N1: Dokaži, da je za vsak graf, subdivizija S(G) dvodelen graf. • N2: V Petersenovem grafu P(5,2) poišči (splošno) subdivizijo grafa K3,3 • N3: Naj bo X graf z n vozlišči in m povezavami. Koliko vozlišč in koliko povezav ima njegova subdivizija S(X)?

19. 2.4 Povezanost

20. k-povezanost • Graf G je 2-povezan, če ima vsaj 3 vozlišča in je za poljuben v VG graf G-v povezan • Graf G je k-povezan, če ima vsaj k+1 vozlišč in je G-S povezan za poljubno množico vozlišč S moči manj kot k . • Povezanostk(G) grafa G je največji k, da je G še k-povezan.

21. Bloki • Na množici povezav grafa G vpeljemo ekvivalenčno relacijo takole: e  f, če in samo če ležita na skupnem ciklu v G • Ekvivalenčni razred  imenujemo blok. • Prerezna povezava – ni ekvivalentna nobeni drugi • Prerezno vozlišče – leži v dveh blokih

22. Bloki - nadaljevanje Trditev: Naj bo G graf. Potem: • e je prerezna povezava  njeni krajišči ležita v različnih komponentah G-e • v je prerezno vozlišče G-v ima več komponent kot G • u in v vozlišči bloka B z vsaj dvemi povezavami  u in v ležita na skupnem ciklu

23. Drevo blokov • Poljubna dva bloka imata največ eno skupno vozlišče (prerezno vozlišče) • B1, B2,...Bk, k  3 različni bloki grafa G, Bi Bi+1 , i=1,...,k-1 in B1 B2, B2 B3, Bk-1 Bk vsi različni. Potem je B1 Bk = . • T(G): vozlišča so bloki in prerezna vozlišča, blok je povezan s prereznim vozliščem, ki ga vsebuje • T(G) je drevo blokov

24. 2-povezani grafi Trditev: Naslednje trditve so ekvivalentne: • Graf G je 2-povezan, |VG|  3. • Poljubni dve vozlišči ležita na skupnem ciklu. • Poljubni dve povezavi ležita na skupnem ciklu. • G nima prereznih vozlišč. • G-v je povezan za vsak v  VG. • G ima samo en blok.

25. Dekompozicija 2-povezanih grafov na ušesa Trditev: Naj bo G 2-povezan graf. Potem ga lahko dobimo iz cikla dolžine vsaj 3 z zaporednim dodajanjem poti, ki ima z dotedanjim grafom skupna le krajišča.

26. Mengerjev izrek • Poti s skupnim začetkom in skupnim koncem sta interno disjunktni, če nimata razen teh dveh nobenega skupnega vozlišča. • Izrek: Graf je k-povezan, če in samo če je mogoče med poljubnima njegovima vozliščema napeljati k interno disjunktnih poti.

27. Mengerjev izrek za povezave • Graf je povezavno k-povezan, če mu je mogoče odstraniti poljubno množico manj kot k povezav in ostane povezan. • Izrek: Graf je povezavno k-povezan, če in samo če je mogoče med poljubnima njegovima vozliščema napeljati k povezavno disjunktnih poti. • [Poti s skupnim začetkom in skupnim koncem sta povezavno disjunktni, če nimata nobene skupne povezave.]

28. Vložitve grafov • Naj bo S dovolj pohleven topološki prostor (npr. metrični prostor). • Pot v topološkem prostoru S med točkama u in v je slika zvezne injektivne preslikave e:[0,1]  S,tako da je e(0) = (u) in e(1) = (v). • Graf G je vložen v S če so vsa vozlišča iz G različne točke prostora S in povezave iz G poti v S, ki povezujejo svoji krajišči. Nobeni dve povezavi se ne sekata, razen v skupnem krajišču.

29. Vložitve grafov- nadaljevanje • S potmi povezanim komponentam S – (G) pravimo lica vložitve. • Vložitev grafa G v prostor S je izomorfizem grafa G in grafa G', ki je vložen v S. • Graf je ravninski, če ga lahko vložimo v ravnino. • Grafu, ki je vložen v ravnino pravimo graf v ravnini. • Zunanje lice = neomejeno lice

30. Naloge • Pokaži, da je mogoče vsak graf vložiti v trirazsežen prostor R3. • Pokaži, da je mogoče polni graf K4 vložiti v ravnino. • Dokaži: graf je ravninski, natanko tedaj, ko ga je mogoče vložiti na sfero.

31. Ravninski grafi • 1-skeleti poliedrov • Problem štirih barv: vozlišča ravninskega grafa lahko pobarvamo s štirimi barvami na tak način, da dve sosednji vozlišči nista iste barve. • Praktična uporaba: na primer načrtovanje elektronskih vezij.

32. Eulerjevobrazecza ravninske grafe • Za povezan graf G v ravnini z v vozlišči, e povezavami in f lici velja: n - m + f = 2 • Pozor: pri licih štejemo tudi zunanje lice!

33. Število povezav ravninskega grafa • Naj bo G(V,E) ravninski graf, |V|=n, |E|=m • m  3n-6 • m = 3n-6 G triangulacija (vsa lica so trikotniki) • če G nima trikotnikov: m  2n-4 • G ima vozlišče stopnje največ 5

34. Faryev izrek • Enostavne ravninske grafe je mogoče vložiti v ravnino na posebno eleganten način. • Izrek (Wagner (1936), Fary(1948)): Vsak ravninski graf je mogoče vložiti v ravnino tako, da so povezave predstavljene z ravnimi odseki.

35. Izrek Kuratowskega • Izrek(Kuratowski): Graf G je ravninski natanko tedaj, ko ne vsebuje niti subdivizije grafa K5 niti subdivizije grafa K3,3. • Grafa K5 in K3,3 imenujemo grafa Kuratowskega. • Poljubni graf zdaj bodisi narišemo v ravnini, bodisi poiščemo topološko vsebovan graf Kuratowskega in s tem pokažemo, da ni ravninski.

36. Izrek Wagnerja • Skrčitev povezave e: povezavo e iz G odstranimo, njeni krajišči pa združimo v eno vozlišče. • Minor grafa G: graf, ki ga dobimo iz G z zaporednim odstranjevanjem in skrčitvijo povezav • Izrek (Wagner): Graf G je ravninski natanko tedaj, ko nima K5 ali K3,3za minor.

37. Naloge • Z izrekom Kuratowskega dokaži, da Petersenov graf ni ravninski. • Z izrekom Wagnerja dokaži, da Petersenov graf ni ravninski. • Pokaži, da za poljubni ravninski graf z v vozlišči in e povezavami ter ožino g velja: (g-2)e  g(v-2) • Z uporabo Eulerjeve formule dokaži, da Petersenov graf ni ravninski.

38. Izrek Steinitza • Konveksen polieder je presek končnega števila polprostorov, ki je omejen. • Izrek: Graf je skelet konveksnega poliedra, natanko tedaj, ko je ravninski in 3-povezan.

39. Ernst Steinitz • Ernst Steinitz (1871 -1928), je pomembne nemški geometer judovskega rodu. Njegova doktorska disertacija (1894) je posvečena konfiguracijam.

40. Lica 2- in 3-povezanih grafov • Lica 2-povezanega grafa v ravnini so cikli. • Lica 3-povezanega grafa so inducirani cikli, ki ne separirajo grafa.

41. Izrek o enolični vložitvi • Izrek: (Whitney) 3-povezani ravninski graf je mogoče na en sam način vložiti v sfero.

42. Izrek štirih barv • Izrek, ki je bil zastavljen v devetnajstem stoletju in je bil dokazan v dvajsetem se glasi: • Izrek: Vsak ravninski graf je mogoče pobarvati s štirimi barvami. • Izrek: Vsak ravninski graf je mogoče pobarvati s petimi barvami barvami.