TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

1. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.1 – Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. Los números se llaman coeficientes y las letras se llaman variables, incógnitas o indeterminadas. Hay expresiones algebraicas de muy distintos tipos: - Monomios: - Polinomios: Algunas expresiones algebraicas son igualdades: - Identidades: Se verifica para cualquier valor de “x”. - Ecuaciones: Se verifica para “x = 5” Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números dados y hacer las operaciones indicadas en la expresión.

2. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. y x 2.1 – Expresiones algebraicas Ejemplo: • Si x y y son las medidas de los lados de un rectángulo, 2x + 2y es la expresión algebraica que nos da el perímetro del rectángulo. • Su valor numérico para x = 3 y y = 2 nos da el perímetro de un rectángulo de esas dimensiones: 2 . 3 + 2 . 2 = 10

3. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. Grado respecto de la letra x Coeficiente 2.2 – Monomios Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras (parte literal) son la multiplicación y potenciación de exponente natural. El coeficiente es el número que acompaña a las incógnitas El grado de un monomio es la suma de sus exponentes. Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica la parte literal. 8x2y5 El grado de este monomio es 2 + 5 = 7 Valor numérico de un monomio es el resultado que se obtiene al sustituir las incógnitas por sus valores. (x = 2, y = -1  -32)

4. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.2 – Monomios Suma o diferencia de monomios: La suma (diferencia) de monomios semejantes es otro monomio también semejante a ellos cuyo coeficiente es la suma (diferencia) de sus coeficientes. Si dos monomios no son semejantes, su suma (diferencia) no se puede simplificar y hay que dejarla indicada. Ejemplos: 12x2y – 2x2y + 4x2y = (12 – 2 + 4)x2y = 14x2y 5x2 + 6xy = 5x2 + 6xy 14x2y + 5x2 + 6xy 12x2y – 2x2y + 4x2y + 5x2 + 6xy =

5. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.2 - Monomios • El producto de monomios es otro monomio que tiene: • como coeficiente, el producto de los coeficientes. • como parte literal, el producto de las partes literales Ejemplos: x3. x2 = x3 +2 = x5 (5.7). x2+4 = 35 x6 5x2. 7x4 = –30x4y5z (–2 . 5 . 3) (x . x2 . x)(y2. y3) z = –2xy2. 5x2y3 . 3xz= • El cociente de monomios es otro monomio que tiene: • como coeficiente, el cociente de los coeficientes. • como parte literal, el cociente de las partes literales x Ejemplos: x3: x2 = x3 -2 = (14x4) : (7x2) = (14:7). x4-2 = 2 x2

6. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. Término principal Grado del polinomio Término independiente o término de grado 0 Término de grado 2 2.3 – Polinomios Un polinomio es una expresión que es suma o resta de monomios. Cada uno de los monomios que lo forman se llama término. P = 8x5 – 6x4 – 3x2 + x – 2 El valor numérico de P en a, P(a), se obtiene sustituyendo x por a

7. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.3 - Polinomios Suma o resta de polinomios agrupamos los términos del mismo grado. Ejemplo P = x5 + 2x4– 3x2 + x – 4 P = x5 + 2x4– 3x2 + x – 4 Q = 3x4– 2 x3+ 3x2 + 2x Q = 3x4– 2 x3+ 3x2 + 2x P + Q = x5 + 5x4 – 2x3 + 3x – 4 P – Q = x5 – x4 + 2x3 – 6x2 – x – 4 El grado de P  Q es, como mucho, el mayor de los grados de P y Q

8. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.3 – Polinomios El producto de un polinomio por un monomio es otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio 6x2 y2 – 4xy3 + 8xy2 2xy2. (3x – 2y + 4) = (2xy2. 3x) + (2xy2. (– 2y) + (2xy2. 4) = El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo y sumando luego los términos semejantes –7x3 + 3x2 – 0x + 2 2x2 + 3x – 1 7x3 – 3x2 + 0x – 2 – 21x4 + 9x3 – 0x2 + 6x –14x5 + 6x4 + 0x3 + 4x2 –14x5 –15x4 +16x3 + x2 + 6x – 2

9. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.3 - Polinomios Productos notables (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b) (a – b) = a2 – b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Sacar factor común: Cuando todos los términos de un polinomio, P(x), son múltiplos de un mismo monomio, M(x); podemos extraer M(x) como factor común. 2x+3x 2 – 7x4 = x.(2 +3x – 7x3)

10. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.3 - Polinomios Cociente de polinomios: La división de polinomios es similar a la división entera de números naturales: al dividir dos polinomios, se obtiene un cociente y un resto (el grado del resto es menor que el grado del divisor). La relación entre D(x), d(x), C(x) y R(x) es: Cuando el resto es cero, R(x) = 0, la división es exacto y se cumple:

11. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 3x2+2x–4 Cociente de los términos de mayor grado Se resta 2x2 . d Se resta x3 . d Segundo paso 3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4 – (3x5 + 2x4 –4x3) Cociente de los términos de mayor grado x3 6x4– 4x3 – 11x2 – 3x+ 6 Tercer paso 3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4 – (3x5 + 2x4 –4x3) Cociente de los términos de mayor grado x3 + 2x2 6x4– 4x3 – 11x2 – 3x+ 6 – (6x4– 4x3 – 11x2) – 3x2 – 3x+ 6 cociente –(– 3x2 – 2x+ 4) Se resta (–1) . d resto 2.3 - Polinomios Primer paso 3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 – (3x5 + 2x4 –4x3) x3 6x4 + 4x3 – 11x2 – 3x+ 6 + 2x2 – (6x4+ 4x3 – 8x2) – 3x2 – 3x+ 6 – 1 – x + 2

12. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. Coeficientes de P 2 – 6 – 4 12 a se suma 2 2 r se multiplica por a 2.4 – Regla de Ruffini La Regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por x – a. Ejemplo: Dividir P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se 2 – 6 – 4 12 2 Se opera: – 16 4 – 4 –2 –8 – 4 Hemos obtenido que: P =2x3 – 7x2 – 4x + 12 = (2x2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4)

13. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.4 – Regla de Ruffini Criterio de divisibilidad por x – a: Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible por x –a es necesario que su término independiente sea múltiplo de a. Por tanto, para buscar expresiones x –a que sean divisores de un polinomio, probaremos con los valores de a (positivos y negativos) que sean divisores del término independiente Valor de un polinomio para x = a: El valor numérico de un polinomio, P(x), para x = a, es el número que se obtiene al sustituir la x por a y efectuar las operaciones indicadas. A ese número se le llama P(a). Teorema del resto: El valor que toma un polinomio, P(x), cuando x =a, coincide con el resto de la división P(x) : (x – a), es decir, P(a) = r El resto de dividir P(x) = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se puede obtener así: P(2) = 2 . 23 – 7 . 22 – 4 . 2 + 12 = – 4

14. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.5 – Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores) del menor grado posible. Método para factorizar un polinomio: • Sacar factor común. • Recordar los productos notables. • Si es un polinomio de grado > 2: Por Ruffini, probando con los divisores del término independiente, hasta obtener resto cero: P(x) = (x –a).C(x) • Si es un polinomio de grado = 2. Se resuelve la ecuación de segundo grado:

15. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.5 – Factorización de polinomios Ejemplo: Factorizar el polinomio P = x4 + 3x3 – x2 – 3x Se saca factor común x: x(x3 + 3x2 – x – 3) Por Ruffini: x3 + 3x2 – x – 3 Para ello probamos con los divisores positivos y negativos de 3 1 3 –1 -3 1 1 4 3 1 4 3 0 Por la fórmula:x2 +4x + 3 = 0  x = -1, x = -3 x.(x – 1).(x + 1).(x + 3)

16. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 1 0 –2 4 –2 –2 4 –4 1 –2 2 0 2.5 – Factorización de polinomios Ejemplo: descomponer P = x3 – 2x + 4 1.– No podemos sacar factor común 2 – Regla de Ruffini. Buscamos posibles soluciones de la ecuación x3 – 2x + 4 = 0 entre los divisores del término independiente: {1, –1, 2, –2, 4, –4}. 3.– Por la fórmula x2 – 2x + 2 = 0. No tiene solución (x + 2).(x2 – 2x + 2)

17. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.6 – Divisibilidad de polinomios Múltiplos y divisores: Un polinomio D(x), es divisor de otro, P(X), si la división P(x) :D(x) es exacta. En tal caso, se dice también que P(x) es múltiplo de D(x), ya que P(x) = D(x).C(x) Polinomios irreducibles: Un polinomio es irreducible cuando no tiene ningún divisor de grado inferior al suyo. • Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios: Un polinomio, D(x), es el máximo común divisor de dos polinomios, P(x) y Q(x), si es divisor de ambos y no hay otro polinomio divisor común con mayor grado que él. Se denota: D(x) = M.C.D. [P(x),Q(x)] Método para calcularlo: • Se factorizan los dos polinomios: P(x) y Q(x) • Se toman los factores comunes al menor exponente

18. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.6 – Divisibilidad de polinomios Un polinomio, M(x), es el mínimo común múltiplo de dos polinomios, P(x) y Q(x), si es múltiplo de ambos y no hay otro polinomio múltiplo común con menor grado que él. Se denota: M(x) = m.c.m. [P(x),Q(x)] Método para calcularlo: • Se factorizan los dos polinomios: P(x) y Q(x) • Se toman los factores comunes y no comunes al mayor exponente Ejemplo: P(x) = x3 – x2 – x + 1, Q(x) = 2 x3 + 6 x2 – 8 • Factorizamos : P(x) = (x – 1) 2 .(x + 1) Q(x) =2.(x –1).(x + 2)2 • m.c.m [P(x),Q(x)] = 2.(x –1)2 .(x + 1).(x + 2) 2 • M.C.D [P(x),Q(x)] = x - 1

19. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. (x – 3) (x2 + 1) (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) x3 – 3x2 + x – 3 x4 – 1 x – 3 x2 – 1 2.7 – Fracciones algebraicas Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios Simplificación: Para simplificar una fracción, se factorizan numerador y denominador y se eliminar los factores comunes obteniéndose otra fracción equivalente. Reducir a común denominador: Se sustituye cada fracción por otra equivalente, de modo que todas tengan el mismo denominador, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

20. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. x – 2 (x – 1)(x + 1) x – 2 x2 – 1 x2 – 3x x2 – 2x + 1 (x – 3)x (x – 1)2 = = + + x2 – 3x + 2 + x3 – 2x2 – 3x (x – 1)2 (x + 1) (x – 2)(x – 1) (x – 1)2 (x + 1) (x – 3) x (x + 1) (x – 1)2 (x + 1) = + = x3 – x2 – 6x +2 (x – 1)2 (x + 1) = 2.7 – Fracciones algebraicas OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Suma y diferencia: para sumar o restar fracciones algebraicas, se buscan fracciones algebraicas equivalentes con denominador común y se suman o restan los numeradores

21. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. x4 – 1 2x + 1 (x– 2) (x4 – 1) (x2 – 2x + 1) (2x + 1) = = . x– 2 x2 – 2x + 1 (x– 2) (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) (x – 1)2 (2x + 1) (x– 2) (x + 1) (x2 + 1) (x – 1) (2x + 1) = = x4 - x3 -x2 -x-2 2x2 - x - 2 = 2.7 – Fracciones algebraicas Producto: para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican entre si los numeradores y los denominadores

22. TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2x – 1 x4 + 1 x4 + 1 2x – 1 x3 – 1 2x2 + x x3 – 1 2x2 + x . : = = (x3 – 1) (2x – 1) (2x2 + x) (x4 + 1) = 2x4 - x3 - 2x+ 1 2x6 + x5 + 2x2 + x 2.7 – Fracciones algebraicas Inversa de una fracción algebraica: la inversa de una fracción algebraica P(x)/Q(x) es la fracción (P(x)/Q(x)) -1 = Q(x)/P(x) División de fracciones algebraicas: para dividir una fracción algebraica entre otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda