Chap 3 远期和期货的定价

1. Chap 3远期和期货的定价 【本章要求】 • 掌握远期价格和期货价格与其标的资产的关系； • 掌握远期定价模型； • 掌握远期价格和期货价格之间的差别。

2. 3.1　远期合约概述 • 金融远期合约的定义：金融远期合约（Forward Contracts）是指双方约定在未来的某一确定时间，按确定的价格买卖一定数量的某种金融资产的合约。

3. Examples of Forward contracts • Agreement to: • buy 5,000 oz. of gold @ US$800/oz. in 1 year • sell £1,000,000 @ 1.8000 US$/£ in 6 months • earn a 4% rate of interest on a US$ deposit for a3-month period starting in 6 months • sell 1,000,000 bbl. of oil @ US$80/bbl. in 9 months

4. Terminology • The party that has agreed to: • BUY has what is termed a LONG position • SELL has what is termed a SHORT position

5. 远期价值、远期价格与期货价格 • 远期价值是指远期合约本身的价值。关于远期价值的讨论要分远期合约签订时和签订后两种情形。 • 在签订远期合约时，如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期相同，对于一份公平的合约，多空双方所选择的交割价格应使远期价值在签署合约时等于零。 • 在远期合约签订以后，由于交割价格不再变化，多空双方的远期价值将随着标的资产价格的变化而变化。

6. 远期价格是指使远期合约签订时价值为零的交割价格。远期价格是理论上的交割价格。关于远期价格的讨论也要分远期合约签订时和签订后两种情形。远期价格是指使远期合约签订时价值为零的交割价格。远期价格是理论上的交割价格。关于远期价格的讨论也要分远期合约签订时和签订后两种情形。 • 一份公平合理的远期合约在签订的当天应使交割价格等于远期价格。如果实际交割价格不等于这个理论上的远期价格，该远期合约价值对于多空双方来说就都不为零 ，实际上隐含了套利空间。 • 在远期合约签订以后，交割价格已经确定，远期合约价值不一定为零，远期价格也就不一定等于交割价格。

7. 远期价值、远期价格与期货价格 类似地，在期货合约中，我们定义期货价格（Futures Prices）为使得期货合约价值为零的理论交割价格。 但值得注意的是，对于期货合约来说，一般较少谈及“期货合约价值”这个概念。基于期货的交易机制，投资者持有期货合约，其价值的变动来源于实际期货报价的变化。由于期货每日盯市结算、每日结清浮动盈亏，因此期货合约价值在每日收盘后都归零。

8. 金融远期合约的种类 • 远期利率协议（Forward Rate Agreements，FRA） • 远期外汇合约（Forward Exchange Contracts） • 按照远期的开始时期划分，远期外汇合约又分为直接远期外汇合约（Outright Forward Foreign Exchange Contracts）和远期外汇综合协议（Synthetic Agreement for Forward Exchange ，简称SAFE）。 • 远期股票合约（Equity forwards）

9. 远期工具：FRA • 远期利率：远期利率是指现在时刻的将来一定期限的利率。如1×4远期利率，即表示1个月之后开始的期限3个月的远期利率。 • 远期利率是由即期利率推导出来的未来一段时间的利率。 • 确定远期利率的方法是把它看作弥补即期市场上不同到期日之间的 “缺口”的工具。该方法的理论基础是“理性预期” 。

10. FRA：概述 • FRA(forward rate agreements)是合同双方同意在未来一定时间(清算日)，以商定的名义本金和期限为基础进行协议利率与参照利率差额支付的远期合约。 • 买卖FRA的目的： • 1、规避未来利率波动风险【例】 • 2、在未来利率波动上进行投机【例】 • 从本质上说，FRA是在一固定利率下的远期对远期贷款，只是没有发生实际的贷款支付。

11. Example • 1993年4月12日成交一份1个月对4个月的远期利率协议（1×4）的递延期限为1个月，协议期限为3个月。 • 交易日——1993-4-12（星期一） • 即期日——1993-4-14（星期三） • 基准日——1993-5-12（星期三） • 交割日——1993-5-14（星期五） • 到期日——1993-8-16（星期一） • 由于1993年8月14日是星期六，顺延到下一个工作日就是8月16日（星期一），合约期限为94天

12. FRA：交割额的计算 • 交割额是由按协议利率、参考利率、协议期限和协议金额决定的。 • 由于FRA的交割日是在名义贷款期初，而不是名义贷款期末，因此交割额与一般利息的计算稍有不同：交割额的计算需要进行贴现。 • 具体来说，交割额的计算分为两步： • 取基准日的参考利率与协议利率之差，乘以协议金额，再乘以协议期限，得到名义贷款的利息差。 • 以参考利率作为贴现率，对上一步计算得到的利息差进行贴现，计算出利息差在交割日的现值，即交割额。

13. 远期＆期货合约定价

14. 理论基础 • 衍生金融工具的定价（Pricing）指的是确定衍生证券的理论价格，它既是市场参与者进行投机、套期保值和套利的依据，也是银行对场外交易的衍生金融工具提供报价的依据。

15. 基本假设 • 没有交易费用和税收 • 市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金 • 远期合约没有违约风险 • 允许现货卖空行为 • 当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，其理论价格就是无套利机会下的均衡价格。 • 期货合约的保证金帐户支付同样的无风险利率。这意味着任何人无需成本就可取得远期和期货的多头和空头地位。

16. 复利频率为每年计m次的利率与连续复利的转换复利频率为每年计m次的利率与连续复利的转换

17. 无套利定价原理 • 无套利定价法的基本思路为：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等；否则就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。这样，我们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。

18. 3.1 无收益资产远期合约的定价

19. 符号 T —— 远期合约到期时间 S —— 远期合约标的资产的即期价格 K —— 远期合约的交割价格 f —— 当前远期合约多头的价值 F —— 当前的远期价格 r —— 以连续复利计算的无风险利率 • 注意：任何时刻的远期价格都是使得远期合约价值为0的交割价格

20. 0 t T 无收益资产的远期定价No Cash Flows on the Underlying Asset Over the Life of the Forward Contract • 为给无收益资产的远期定价，构建如下两种组合：组合A：一份远期合约多头＋数额为 的现金组合B：一单位标的资产 • 在组合A中，的现金以无风险利率投资，投资期为（T－t），到T 时刻，其金额将达到K 这是因为：

21. 无收益资产的远期定价 • 在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割一单位标的资产。即T时刻，两种组合的价值都等于一单位标的资产。为避免套利，这两种组合在 t 时刻的价值相等。即： (1) • （1）式表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说，一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产多头和 　　 单位无风险负债组成。（2种理解）

22. 现货—远期平价定理 • 由于远期价格 F是使合约价值 f为零时的交割价格 K ，令(1)式中 f＝0，得到 (2) • (2)式就是无收益资产的现货--远期平价定理(Spot-Forward Parity Theorem)，或称现货期货平价定理(Spot-Futures Parity Theorem)。 (2)式表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。

23. 远期价格的期限结构 • 远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。 • 设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远期价格，r为T时刻到期的无风险利率，r*为T*时刻到期的无风险利率， 为T到T*时刻的无风险远期利率。则不同期限远期价格之间的关系： (3) • 运用相同的方法，可推导出支付已知现金收益资产和支付已知红利率资产的不同期限远期价格之间的关系。 0 T T*

24. 0 t T 3.2 支付已知现金收益的资产远期合约的定价 支付已知现金收益资产远期合约定价的一般方法 • 为给支付已知现金收益资产的远期定价，构建如下两个组合： 组合A：一份远期合约多头＋数额为 　　　　 的现金; 组合B：一单位标的证券＋利率为无风险利率、期限为从现在到现金收益派发日 、本金为I 的负债。组合A和B在 T 时刻的价值都等于一单位标的证券。因此，在T时刻，这两个组合的价值应相等，即： (4)

25. 支付已知现金收益资产的远期价格Known Cash Flows to the Underlying Asset • 公式(4)表明，支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之差。 • 或者说，一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产多头和 单位无风险负债构成。

26. 支付已知现金收益资产的远期价格 • 由于远期价格 F 是使合约价值 f为零时的交割价格 K ，令(4)式中 f＝0，得到 (5)

27. 3.3 支付已知收益率资产远期合约的定价 • 支付已知收益率的资产 • 在到期前将产生与该资产现货价格成一定比率的收益的资产 • 支付已知收益率资产的远期合约 • 外汇远期和期货：外汇发行国的无风险利率 • 股指期货：市场整体水平的红利率基本可预测 • 远期利率协议：本国的无风险利率 • 远期外汇综合协议：外汇发行国的无风险利率

28. 支付已知收益率资产远期合约定价的一般方法 • 为给出支付已知收益率资产的远期定价，构建如下两个组合： 组合A：一份远期合约多头＋数额为　　　　 的现金； 组合B：　　　　单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率。 　 组合A和B在T时刻的价值都等于一单位标的证券。因此在T时刻两者的价值也应相等，即： （6）

29. Forward Contract on Constant Dividend Yield and Interest Paying Asset • 公式(6)表明，支付已知红利率资产的远期合约多头价值等于　　　　单位证券的现值与交割价现值之差。 • 或者说，一单位支付已知红利率资产的远期合约多头可由　　　　单位标的资产和　　　　　　单位无风险负债构成。

30. 支付已知红利率资产的现货--远期平价公式 • 根据远期价格的定义，可根据公式(6)算出支付已知收益率资产的远期价格： 　　　　　　　 （7） • 这就是支付已知红利率资产的现货-远期平价公式。公式(7)表明，支付已知收益率资产的远期价格等于按无风险利率与已知收益率之差计算的现货价格在T时刻的终值。

31. 3.3.1 股指期货的定价 • 股票指数反映了一个假想的股票组合的价值变化。 • 通常定义一个很小的时间段里股票指数价值的上升百分比等于同一时间段内组成该组合的所有股票总价值的上升百分比。 • 股票指数通常不因派发现金红利而调整。 • 大部分指数可以看成支付红利的投资资产。设q为红利收益率，则由（7）式可得股指期货价格为： • 注意：上式对日经225指数的期货合约无效。

32. 世界主要股指期货品种-1

33. 世界主要股指期货品种-2

34. S＆P500 期货合约

35. 例题 • 假设S&P500指数现在的点数为1000点，该指数所含股票的红利收益率预计为每年5%（连续复利），连续复利的无风险利率为10%，3个月期S&P500指数期货的市价为1080点，求该期货的合约价值和期货的理论价格。 • 根据公式（6），我们可得： • 由于S&P500指数合约规模为指数乘以500，因此一份该合约价值为：-65.75×500＝-32877美元。 • 根据公式（7），可求出S&P500指数期货的理论价格：

36. 3.3.2 外汇远期和期货的定价Interest Rate Parity • 外汇属于支付已知收益率的资产，其收益率是该外汇发行国连续复利的无风险利率，用rf 表示。用S表示以本币表示的一单位外汇的即期价格，K表示远期合约中约定的以本币表示的一单位外汇的交割价格，即S、K均为用直接标价法表示的外汇汇率。根据公式(6)，得出外汇远期合约的价值： 　　　　　　　 （8）

37. 利率平价关系 • 根据(8)式可得外汇远期和期货价格的确定公式： 　　　 　　 　 （9） • 这就是著名的利率平价关系。它表明，若外汇的利率大于本国利率（rf >r），则该外汇的远期和期货汇率始终小于现货汇率，且随着合约到期日T的增加，F 值减少；同样，若外汇的利率小于本国的利率（rf <r） ，则该外汇的远期和期货汇率始终大于现货汇率，且随着合约到期日T的增加，F值也增加 。

38. 英镑期货合约

39. 3.4 远期合约估价 • 开仓时，远期合约的价值为0，但在以后，其价值可正可负：

40. 投资性资产的远期定价:小结

41. 3.5 中长期国债期货的定价 • 债券报价的基础知识 • 中长期债券的报价习惯

42. CBOT 10年国库券期货合约

43. 中长期债券的报价习惯 • 净价交易：　现金价格=报价+应计利息 • 报价格式：面值的百分比，小数点后采用32进制。 • 计息方式 国债：实际天数/实际天数 公司债与市政债券：30天/360天 • 收益率报价 “等效债券收益率” （Bond Equivalent Yield，BEY）或简称为“债券制”收益率。

44. 中长期国债期货的定价 长期国债现货和期货的报价与现金价格的关系 • 现金价格与报价的关系为： 现金价格＝报价＋上一个付息日以来的累计利息 • 例如，假设现在是1999.11.5，2016年8月15日到期，息票利率为12%的长期国债的报价为94-28（94.875）。由于美国政府债券均为半年付一次利息，从到期日可以判断，上次付息日是1999年8月15日，下一次付息日是2000年2月15日。由于1999年8月15到11月5日之间的天数为82天，1999年11月5日到2000年2月15日之间的天数为102天。 　 因此累计利息等于：6美元×82／184＝2.674美元 该国债的现金价格为：94.875美元＋2.674美元＝97.549美元

45. 交割券与标准券的转换因子 • CBOT规定交割的标准券为期限15年、息票率为8%的国债，其它券种均按一定的比例折算成标准券。这个比例称为转换因子(Conversion Factor )。 • 转换因子等于面值为100美元的各债券的现金流按8%的年利率（每半年计复利一次）贴现到交割月第一天的价值，再扣掉该债券累计利息后的余额。

46. 交割券与标准券的转换因子 • 在计算转换因子时，债券的剩余期限只取3个月的整数倍，多余的月份舍掉。如果取整数后，债券的剩余期限为半年的倍数，就假定下一次付息是在6个月之后，否则就假定在3个月后付息，并从贴现值中扣掉累计利息，以免重复计算。 • 算出转换因子后，就可算出空方交割100美元面值的债券应收到的现金： 　空方收到的现金＝期货报价×交割债券的转换因子　　　　　　　 ＋交割债券的累计利息

47. 例题 • 某长期国债息票利率为14%，剩余期限还有18年4个月。标准券期货的报价为90-00，求空方用该债券交割应收到的现金。 • 首先，计算转换因子。根据有关规则，假定该债券距到期日还有18年3个月。这样我们可以把将来息票和本金支付的所有现金流先贴现到距今3个月后的时点上，此时债券的价值为：

48. 例题 • 由于转换因子等于该债券的现值减累计利息。因此我们还要把163.73美元贴现到现在的价值。由于3个月的利率等于1.9804%，因此该债券现在的价值为：163.73／1.019804＝160.55美元。 • 由于3个月累计利息等于3.5美元，因此转换因子为：转换因子＝160.55-3.5＝157.05美元 • 根据公式（7）算出空方交割10万美元面值该债券应收到的现金为：1000×(90.00×1.5705＋3.5)＝144,845美元

49. 确定交割最合算的债券 • 交割最合算债券就是购买交割券的成本与空方收到的现金之差最小的那个债券。 交割差距＝债券报价＋累计利息-(期货报价×转换因子＋累计利息) 　　　 　 ＝债券报价-期货报价×转换因子

50. 例题 • 假设可供空头选择用于交割的三种国债的报价和转换因子如表12.1所示（见书）,而期货报价为93-16，即93.50美元。请确定交割最合算的债券。根据以上数据，我们可以求出各种国债的交割差距为： 国债1： 144.50-(93.501.5186)=2.5109 国债2： 120.00-(93.501.2614)=2.0591 国债3： 99.80-(93.501.0380)=2.7470 由此可见，交割最合算的国债是国债2