POTENCIA, EJE Y CENTRO

1. POTENCIA, EJE Y CENTRO Bloque II * Tema 075 Matemáticas Acceso a CFGS

2. POTENCIA DE UN PUNTO • POTENCIA DE UN PUNTO • Por un punto P(a, b) trazamos dos o más rectas que corten a una circunferencia de centro C(k, h) y radio r. • Los puntos de corte serán A y B, A’ y B’, etc. • Los triángulos PBA’ y PAB’ son semejantes ya que poseen dos ángulos iguales. • Podemos poner: • PA’ PA • ----- = ----  PA’ . PB’ = PA . PB • PB PB’ • Este producto es constante para cualquier recta que pase por el punto P(a,b). • Esa constante se denomina potencia de P respecto a la circunferencia C, y se escribe PotC (P) P(a, b) A B A’ B’ Matemáticas Acceso a CFGS

3. Cálculo de la potencia • CALCULO DE LA POTENCIA DE UN PUNTO • Como hemos dicho que es indiferente la recta secante trazada por P, tomamos aquella que coincide con el diámetro de la circunferencia. • Distancia del punto al centro de la circunferencia: • d(P, C) = √ [ (a ‑ k)2 + (b ‑ h)2 ] = d • PotC (P) = (d + r).(d – r) = d2 – r2 • PotC (P) = (a ‑ k)2 + (b ‑ h)2 – r2 • Vemos pues que la potencia de un punto respecto a una circunferencia se calcula tomando la ecuación de la circunferencia igualada a cero y sustituyendo la x y la y por las coordenadas del punto P. d=d(P, C) P(a, b) A r r C B Matemáticas Acceso a CFGS

4. Consecuencias • Consecuencias: • Si la potencia es positiva, el punto es exterior a la circunferencia. • PotC (P) > 0  P(a, b) es exterior a C • Ejemplo: • Sea P(5,2) y C: x2 + y2 – 25 = 0 PotC (P) = 25 + 4 – 25 = 4 > 0 • Si la potencia es 0 , el punto pertenece a la circunferencia. • PotC (P) = 0  P(a, b) pertenece a C • Ejemplo: • Sea P(- 6,8) y C: x2 + y2 – 100 = 0 PotC (P) = 36 + 64 – 100 = 0 • Si la potencia es negativa, el punto es interior a la circunferencia. • PotC (P) < 0  P(a, b) es interior a C • Ejemplo: • Sea P(0, -2) y C: x2 + y2 – 16 = 0 PotC (P) = 0 + 4 – 16 = – 12 < 0 Matemáticas Acceso a CFGS

5. Ejercicios • Ejemplo 1 • Sea P(0,2) y C: x2 + y2 – 2x + 5 = 0 • PotC (P) = 0 + 4 – 0 + 5 = 9 > 0 • El punto es exterior a la circunferencia • Ejemplo 2 • Sea P(1, -1) y C: x2 + y2 – 2x + 3y – 5 = 0 • PotC (P) = 1 + 1 – 2 – 3 – 5 = – 8 < 0 • El punto es interior a la circunferencia • Ejemplo 3 • Sea P(a, 0) y C: x2 + y2 – a2 = 0 • PotC (P) = a2 – a2 = 0 = 0 • El punto pertenece a la circunferencia, sea cual sea el valor de a. • Ejemplo 4 • Sea P(a, a) y C: x2 + y2 – 50 = 0 • PotC (P) = a2 + a2 – 50 = 2. a2 – 50 = 2.(a2 – 25) • El punto es exterior a la circunferencia cuando …. • El punto pertenece a la circunferencia si … • El punto es interior a la circunferencia cuando …. Matemáticas Acceso a CFGS

6. EJE RADICAL • EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS • Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de ambas. • Sean las circunferencias: • C1: x2 + y2 + D1.x + E1.y + F1 = 0 • C2: x2 + y2 + D2.x + E2.y + F2 = 0 • Sea el punto P(x,y), general. • Al ser iguales las potencias: • x2 + y2 + D1.x + E1.y + F1 = x2 + y2 + D2.x + E2.y + F2 • Simplificando: • (D1 – D2).x + (E1 – E2).y + (F1 – F2) = 0 • que es la ecuación de una recta. • El eje radical es siempre perpendicular a la línea que une los centros. Matemáticas Acceso a CFGS

7. EJE RADICAL Matemáticas Acceso a CFGS

8. Ejercicios • 1.- Hallar el eje radical de • C1: x2 + y2 – 9 = 0 y C2: (x – 3)2 + (y – 4)2 – 25 = 0 • x2 + y2 – 9 = x2 – 6x + 9 + y2 – 7y + 16 – 25 • 6x – 9 – 9+ 7y – 16 + 25 = 0 • 6x + 7y – 9 = 0 • 2.- Hallar el eje radical de • C1: (x – 1)2 + y2 – 1 = 0 y C2: (x – 1)2 + (y – 4)2 – 25 = 0 • x2 – 2x + 1 + y2 – 1 = x2 – 2x + 1 + y2 – 8y+ 16 – 25 • – 2x + 1 – 1 + 2x – 1 + 8y – 16 + 25 = 0 • 8y + 8 = 0 ,, y = - 1 • 3.- Hallar el eje radical de • C1: x2 + y2 – 1 = 0 y C2: (x – 5)2 + (y – 5)2 – 100 = 0 • x2 + y2 – 1 = x2 – 10x + 25 + y2 – 10y + 25 – 100 • 10x + 10y – 1 – 25 – 25 + 100 = 0 • 10x + 10y + 49 = 0 ,, y = – x – 4,9 Matemáticas Acceso a CFGS

9. CENTRO RADICAL • CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS • Se llama centro radical de tres circunferencias a un punto tal que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias. • Se obtiene como intersección de los ejes radicales. • La intersección de los tres ejes radicales que se obtienen tomando las circunferencias de dos en dos es un punto único. • Sean los ejes: • (D1 – D2).x + (E1 – E2).y + (F1 – F2) = 0 • (D3 – D2).x + (E3 – E2).y + (F3 – F2) = 0 • (D3 – D1).x + (E3 – E1).y + (F3 – F1) = 0 • Que tomados dos cualesquiera y resolviendo el sistema obtenemos las coordenadas del centro radical. Matemáticas Acceso a CFGS

10. CENTRO RADICAL Centro radical correcto: Es único Centro radical incorrecto Matemáticas Acceso a CFGS

11. Ejercicios • 1.- Hallar el centro radical de C1: x2 + y2 – 9 = 0 • C2: (x – 3)2 + (y – 4)2 – 25 = 0 y C3: (x – 5)2 + (y – 5)2 – 100 = 0 • Tomadas dos a dos los ejes radicales son: • 6x + 8y – 9 = 0 (1) • y = – 2x – 25 (2) • y = – x – 4,1 (3) • Tomamos los ejes (2) y (3); y resolviendo por igualación: • 2x + 25 = x + 4,1 • x = 4,1 – 25 = x • x = – 20,9 • y = – x – 4,1 = 20,9 – 4,1 = 16,8 • Comprobamos que el punto pertenece al eje (1): • 6x + 8y – 9 = 0 • 6.(– 20,9 ) + 8.(16,8) – 9 = 0 • – 125,4 + 134,4 – 9 = 0 ,, 9 – 9 = 0 • El centro radical es el punto P(– 20’9, 16’8) Matemáticas Acceso a CFGS