فصل هشتم: رابطه ها ( Relations ) بخش 8.1 خصوصیات رابطه ها

1. فصل هشتم: رابطه ها (Relations)بخش 8.1خصوصیات رابطه ها

2. رابطه (Relation) • رابطه عمومیت یافته تعریف تابع است • تابع رابطه ای است که هر عضو از دامنه حداکثر با یک عضو از برد رابطه داشته باشد. • f: X  Y •  x  X,  y such that f(x) = y • فرض کنید A و B دو مجموعه باشند • یک رابطه دودویی (binary relation) Rاز A به B یک زیرمجموعه از AB می باشد • A x B = {(a, b) | a  A, b  B} • aRb: (a, b)  R. • کاربرد: پایگاه داده رابطه ای CSci 2011 Fall 2008

3. روابط و خواص آنها تعریف: فرض کنید A و B مجموعه باشند. یک رابطه باینری (دوتایی) از A به B زیر مجموعه ای از A╳B است. رابطه R شامل زوج های مرتبی است که توسط آنها اعضای مجموعه اول را به مجموعه دوم مربوط می سازد. a R b یعنی (a,b)∈R و a R b یعنی (a,b)∉R. مثال: فرض کنید A مجموعه دانشجویان و B مجموعه دروس باشد. ورابطه دروس اخذ شده توسط دانشجویان. مثال: فرض کنید A={0,1,2} و B={a,b} رابطه R برابر باشد با {(0,a),(0,b),(1,a),(2,b)}

4. مثال رابطه • Let A be the students in a the CS major • A = {Alice, Bob, Claire, Dan} • Let B be the courses the department offers • B = {CS1901, CS2011, CS2021} • We specify relation RAB as the set that lists all students a A enrolled in class b  B • R = {(Alice, CS1011), (Bob, CS2011), (Bob, CS2021), (Dan, CS2011), (Dan, CS2021)} CSci 2011 Fall 2008

5. Alice Bob Claire Dan CS1901 CS2011 CS2021 یک تابع درست نیست! نمایش رابطه (Representing relations) گرافیکی به صورت جدول CSci 2011 Fall 2008

6. خصوصیات روابط بازتابی (Reflexive) غیر بازتابی (Irreflexive) متقارن (Symmetric) نامتقارن (Asymmetric) پادمتقارن (Antisymmetric) تعدی (Transitive)

7. Reflexivity vs. Irreflexivity • بازتابی (Reflexivity) • یک رابطه بازتابی است اگر برای هر a∈A آنگاه (a,a)∈R. • غیر بازتابی (Irreflexivity) • یک رابطه ضد بازتابی است اگر برای هر a∈A آنگاه (a,a)∉R. = < >   بازتابی o x x o o غیر بازتابی x o o x x

8. Reflexivity vs. Irreflexivity • مثال7 : روابط زیر را روی مجموعه {1,2,3,4} در نظر بگیرید: • R1= { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} • R2= { (1,1), (1,2), (2,1)} • R3= { (1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} • R4= { (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} • R5= { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4) ,(3,3), (3,4), (4,4)} • R6= { (3,4)} • کدام یک از این روابط بازتابی هستند و کدام یک ضد بازتابی؟

9. Symmetry, Asymmetry, Antisymmetry • رابطه R روی مجموعه A متقارن (symmetric) است، اگر برای همه a,b∈A اگر (a,b) ∈R آنگاه (b,a) ∈R • رابطه R روی مجموعه A غیرمتقارن (asymmetric) است، اگر برای همه a,b∈A اگر (a,b)∈R آنگاه (b,a)  R • رابطه R روی مجموعه A پاد متقارن (antisymmetric) است، اگر • for all a, b  A, ((a,b)  R  (b,a)  R)a=b • for all a, b  A, ((a,b)  R  a  b)  (b,a)  R) < > =   isTwinOf متقارن x x o x x o غیرمتقارن o o x x x x پاد متقارن o o o o o x

10. تعدی (Transitivity) • رابطه R روی مجموعه A متعدی (transitive) است، اگر هر گاه (a,b) ∈R و (b,c) ∈R آنگاه (a,c) ∈R • for all a, b, c  A, ((a,b)R(b,c)R) (a,c)R • If a < b and b < c, then a < c • Thus, < is transitive • If a = b and b = c, then a = c • Thus, = is transitive

11. مرور خصوصیات روابط (*) Alternative definition…

12. ترکیب رابطه ها (Combining relations) • از آنجا که رابطه از A به B زیرمجموعه ای از A╳B است. دو رابطه از A به B می توانند با هر عملگری که دو مجموعه با هم ترکیب می شوند، مورد ترکیب قرار بگیرند.

13. ترکیب رابطه ها به کمک عملگرهای مجموعه ها • Consider two relations R≥ and R≤ • R≥ U R≤ = all numbers ≥ OR ≤ • That’s all the numbers • R≥∩R≤ = all numbers ≥ AND ≤ • That’s all numbers equal to • R≥R≤ = all numbers ≥ or ≤, but not both • That’s all numbers not equal to • R≥ - R≤ = all numbers ≥ that are not also ≤ • That’s all numbers strictly greater than • R≤ - R≥ = all numbers ≤ that are not also ≥ • That’s all numbers strictly less than • رابطه حاصل می تواند تهی باشد.

14. ترکیب رابطه ها همانند توابع • Let R be a relation from A to B, and S be a relation from B to C • Let a A, b  B, and c  C • Let (a,b)  R, and (b,c)  S • Then the composite of R and S consists of the ordered pairs (a,c) • We denote the relation by S ◦ R • Note that S comes first when writing the composition! • (a, c)  S ◦ R if  b such that (a, b)  R, and (b,c)  S

15. مثال ترکیب رابطه ها • Let M be the relation “is mother of” • Let F be the relation “is father of” • What is M◦ F? • If (a,b)  F, then a is the father of b • If (b,c)  M, then b is the mother of c • Thus, M◦ F denotes the relation “maternal grandfather” • What is F◦ M? • If (a,b)  M, then a is the mother of b • If (b,c)  F, then b is the father of c • Thus, F◦ M denotes the relation “paternal grandmother” • What is M◦ M? • If (a,b)  M, then a is the mother of b • If (b,c)  M, then b is the mother of c • Thus, M◦ M denotes the relation “maternal grandmother”

16. ترکیب یک رابطه با خود آن رابطه • Given relation R • R◦ R can be denoted by R2 • R2◦ R = (R◦ R) ◦ R = R3 • Example: M3 is your mother’s mother’s mother CSci 2011 Fall 2008

17. توان یک رابطه (The Powers of a Relation) • توان رابطه R به صورت بازگشتی از تعریف ترکیب بازگشتی دو تابع بیان می شود • Rn, for n = 1, 2, 3, … : R1 = R Rn+1= Rn R مثال: R2= R R R3= R2 R =(R R) R)

18. مثال توان یک رابطه • R = {(1,1), (2,1), (3,2), (4,3)} • Rn , where n = 1, 2, 3, 4, … R1= R = {(1,1), (2,1), (3,2), (4,3)} R2=R R = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,2)} R3= R2 R ={(1,1), (2,1), (3,1), (4,1)} R4= R3 R ={(1,1), (2,1), (3,1), (4,1)} R5= R4 R ={(1,1), (2,1), (3,1), (4,1)}

19. قضیه • یک رابطه R که بر روی یک مجموعه A تعریف شده است دارای خاصیت تعدی (transitive) است اگر و فقط اگر: RnRfor n = 1, 2, 3, 4, …

20. مثال • مجموعه ها و روابط زیر را در نظر بگیرید A={a,b,c}, B={w,x,y,z}, C={A,B,C,D} R1={(a,z),(b,w)}, R2={(w,B),(w,D),(x,A)} R1  A x B , R2  B x C • رابطهR1  R2بیابید:

21. فصل هشتم: رابطه ها (Relations)بخش 8.3بازنمایش رابطه (Representing Relation)

22. بازنمایش رابطه به کمک ماتریس • فرض کنیدR رابطه ای ازA بهBباشد A = {a1, a2, … , am} B = {b1, b2, … , bn} • یک ماتریس صفر-یک با شرایط زیر می تواند بازنمایشی از R باشد: • درایه (i, j) برابر با 1 باشد اگر aiبا bjرابطه داشته باشد. • درایه (i, j) برابر با 0 باشد اگر aiبا bjرابطه نداشته باشد.

23. باز نمایش روابط با استفاده از ماتریس یک رابطه بین دو مجموعه محدود با ماتریس 0و1 قابل نمایش است. فرض کنید رابطه R از A={a1,a2,…,am} به B={b1,b2,…,bm} باشد. رابطه R با ماتریس MR=[mij] قابل بیان است که mij = 1 if (ai,bj) ∈R 0 if (ai,bj) ∉R

24. مثال • R رابطه ای از AبهB A={a, b, c} B={d, e} R={(a, d), (b, e), (c, d)} • ماتریس معادل نمایش رابطه فوق: • دقت کنید که همیشه اعضای مجموعه اول به عنوان سطرها در نظر گرفته می شوند

25. یافتن خصوصیات رابطه ها به کمک ماتریس آن • فرض کنید R یک رابطه دودویی روی مجموعه A (رابطه که از Aبه خود A تعریف شود) باشد و M ماتریس بازنمایش آن رابطه باشد: • R is reflexive iff Mii = 1 for all i • R is symmetric iff M is a symmetric matrix, i.e., M = MT • R is antisymmetric if Mi j= 0 or Mji = 0 for all i  j

26. یافتن خصوصیات رابطه ها به کمک ماتریس آن • فرض کنید R یک رابطه دودویی روی مجموعه A (رابطه که از Aبه خود A تعریف شود) باشد و M ماتریس بازنمایش آن رابطه باشد: • یک رابطه بازتابی است اگر و فقط اگر در ماتریس آن عناصر قطر اصلی همگی یک باشد. • یک رابطه متقارن است اگر وفقط اگر ماتریس آن متقارن باشد یعنی ترانهاده اش با خودش برابر بابر باشد. • یک رابطه پاد متقارن است اگر وفقط اگر در ماتریس آن اگر i≠j آنگاه mij=0 یا mji=0.

27. یافتن خصوصیات رابطه ها به کمک ماتریس آن

28. 1 1 0 é ù ê ú = M 1 1 1 ê ú R ê ú 0 1 1 ë û مثال • رابطه ای که ماتریس نمایش آن به شکل زیر باشد چه خصوصیاتی دارد؟

29. ماتریس رابطه حاصل از اشتراک و اجتماع دو رابطه

30. ماتریس حاصل از ترکیب روابط • عملگر ʘهمانند عملگر ضرب ماتریس ها عمل می کند با این تفاوت که ما در ضرب هر جا که 1+1 داشتیم حاصل آن 1 خواهد بود. یعنی ماتریس حاصل از این عملگر نیز یک ماتریس صفر-یک خواهد بود.

31. ماتریس حاصل از توان رابطه

32. قضیه • یک رابطه R که بر روی یک مجموعه A تعریف شده است دارای خاصیت تعدی (transitive) است اگر و فقط اگر: RnRfor n = 1, 2, 3, 4, … • یک رابطه R که بر روی یک مجموعه A تعریف شده است دارای خاصیت تعدی (transitive) است اگر و فقط اگر: MR ʘ MR = MR[2] ≤ MR

33. گراف جهت دار • یک گراف جهت دار (directed graph) یا دیاگراف (digraph) شامل • مجموعه رئوس (nodes یا vertices) V • و مجموعه زوج های مرتب حاوی رئوس به نام لبه (edge) یا یال (arc) E است. • راس a راس ابتدایی (initial vertex) یال (a,b) • و راس b راس انتهایی (terminal vertex) این یال نام دارد. 

34. نمایش روابط با گراف جهت دار یال (a,a) بایک خط خمیده از راس a به خودش متصل می شود و حلقه (loop) نام دارد.  رابطه R روی مجموعه A با گراف جهت داری که رئوس آن، عناصر A و یال های آن، زوج مرتب های (a,b) که (a,b)∈R نمایش داده می شود.

35. a b c مثال • R یک رابطه دودویی روی مجموعه A A={a, b, c} R={(a, b), (a, c), (b, b), (c, a), (c, b)}. • گراف جهتدار معادل رابطه فوق:

36. مثال V = {a, b, c} E = {(a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b), (d, b)} مجموعه E می تواند معادل یک رابطه باشد

37. مثال R = {(1,1), (1,3), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (4,1)} A{1, 2, 3, 4}.

38. مثال R = {(1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,3), (4,1), (4,3)}

39. یافتن خصوصیات رابطه ها به کمک گراف جهتدار آن یک رابطه بازتابی است اگر روی همه رئوس گراف آن حلقه وجود داشته باشد. یک رابطه متقارن است اگر وفقط اگر به ازاء هر لبه بین دور راس متمایز در گراف لبه ای در خلاف جهت آن نیز موجود باشد. یک رابطه پاد متقارن است اگر وفقط اگر هرگز دو لبه خلاف جهت دو راس متمایز را متصل نکنند. یک رابطه متعدی است اگر وفقط اگر لبه ای از راس x به راسy و لبه ای ازراس y به راس z باشد آنگاه لبه ای نیز از راس x به راس z وجود داشته باشد.

40. مثال

41. A B C D مثال • A: not reflexive, symmetric, antisymmetric, transitive • B: not reflexive, not symmetric, not antisymmetric, not transitive • C: not reflexive, not symmetric, antisymmetric, not transitive • D: not reflexive, not symmetric, antisymmetric, transitive