Download
1 / 53
530 likes | 613 Views
Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים. חלק I. בעית התרמיל – Knapsack Problem. בעית התרמיל – Knapsack Problem. בעית התרמיל – Knapsack Problem. ערך הפתרון האופטימלי הוא 240 V* =. בעית התרמיל – שימושים.
E N D
Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים
בעית התרמיל – שימושים • משפחה צריכה להחליט אלו מוצרים לקנות מתוך רשימת קניות S, בהתייחס למגבלת תקציב C. • עלות המוצר iהיא si • ערך המוצרiלמשפחה הוא vi • מפרסם צריך להחליט איזה מודעות/מילות חיפוש לרכוש בהתייחס למגבלת תקציב C.
בעית התרמיל – שימושים • משפחה צריכה להחליט אלו מוצרים לקנות מתוך רשימת קניות S, בהתייחס למגבלת תקציב C. • עלות המוצר iהיא si • ערך המוצרiלמשפחה הוא vi • מפרסם צריך להחליט איזה מודעות/מילות חיפוש לרכוש בהתייחס למגבלת תקציב C.
בעית התרמיל – עוד שימושים • מפעל מייצר C מוצרים זהים. לאיזה ספקים כדאי למפעל לשלוח סחורה? • גודל ההזמנה של ספק i היא si • המחיר שספק iמוכן לשלם הוא vi
אלגוריתם חמדן • רעיון 1:נמיין את הפריטים ע"פ ערךviבסדר יורד ואז נכניס לתרמיל ככל שנוכל. • רעיון 2: נמיין את הפריטים ע"פ צפיפות si/ viבסדר יורד ואז נכניס לתרמיל ככל שנוכל.
אלגוריתם חמדן • רעיון 1:נמיין את הפריטים ע"פ ערךviבסדר יורד ואז נכניס לתרמיל ככל שנוכל. • רעיון 2: נמיין את הפריטים ע"פ צפיפות si/ viבסדר יורד ואז נכניס לתרמיל ככל שנוכל. • נניח שגודל התרמיל הוא 2=C ונתבונן בקלטים הבאים:
אלגוריתם חמדן • רעיון 1:נמיין את הפריטים ע"פ ערךviבסדר יורד ואז נכניס לתרמיל ככל שנוכל. • רעיון 2: נמיין את הפריטים ע"פ צפיפות si/ viבסדר יורד ואז נכניס לתרמיל ככל שנוכל. • נניח שגודל התרמיל הוא 2=C ונתבונן בקלטים הבאים:
אלגוריתם חמדן • רעיון 1:נמיין את הפריטים ע"פ ערךviבסדר יורד ואז נכניס לתרמיל ככל שנוכל. • רעיון 2: נמיין את הפריטים ע"פ צפיפות si/ viבסדר יורד ואז נכניס לתרמיל ככל שנוכל. • נניח שגודל התרמיל הוא 2=C ונתבונן בקלטים הבאים:
אלגוריתם חמדן • רעיון 1:נמיין את הפריטים ע"פ ערך בסדר יורד ואז נכניס לשק ככל שנוכל ע"פ הסדר החדש. • רעיון 2: כמו קודם, אך נמיין את הפריטים ע"פ צפיפות (ערך לחלק לגודל) בסדר יורד. • נניח שגודל התרמיל הוא 2=C ונתבונן בקלטים הבאים:
אלגוריתם חמדן • רעיון 1:נמיין את הפריטים ע"פ ערך בסדר יורד ואז נכניס לשק ככל שנוכל ע"פ הסדר החדש. • רעיון 2: כמו קודם, אך נמיין את הפריטים ע"פ צפיפות (ערך לחלק לגודל) בסדר יורד. • מסקנה: הגישה ה"חמדנית" לא תמיד מצליחה לבחור את הפתרון האופטימלי.
אלגוריתמים לבעית התרמיל • בעיה:לא ידוע אלגוריתם יעיל לפתרון בעית התרמיל.
אלגוריתמים לבעית התרמיל • בעיה:לא ידוע אלגוריתם יעיל לפתרון בעית התרמיל. • קיים אלגוריתם בסיבוכיות O(nC) ("פסאודו-פולינומי")
אלגוריתמים לבעית התרמיל • בעיה:לא ידוע אלגוריתם יעיל לפתרון בעית התרמיל. • קיים אלגוריתם בסיבוכיות O(nC) ("פסאודו-פולינומי") • נתעניין באלגוריתמים שנותנים פתרונות מקורבים.
ערך הפתרון האופטימלי הוא 240 V* = ערך פתרון אלטרנטיבי הוא 230 V = V > V* / 2
אלגוריתמי קירוב - הגדרה • הגדרה:יהי c >1. נאמר שאלגוריתם הוא -cקירוב לבעית מקסימיזציה, אם לכל קלט, ערך הפתרון של פלט האלגוריתם הוא לפחות ערך הפתרון האופטימלי לבעיה לחלק ל-c. • לדוגמא אם c=2, אז אלגוריתם 2-קירוב מבטיח לכל קלט פתרון שערכו הוא לפחות חצי מהערך האופטימלי. • ככל ש-c קטן יותר האלגוריתם נותן קירוב טוב יותר.
אלגוריתמי קירוב - הגדרה • הגדרה:יהי c >1. נאמר שאלגוריתם הוא -cקירוב לבעית מקסימיזציה, אם לכל קלט, ערך הפתרון של פלט האלגוריתם הוא לפחות ערך הפתרון האופטימלי לבעיה לחלק ל-c. • לדוגמא, אם c = 2, אז אלגוריתם 2-קירוב מבטיח לכל קלט פתרון שערכו הוא לפחות חצי מהערך האופטימלי. • ככל ש-c קטן יותר, האלגוריתם נותן קירוב טוב יותר.
אלגוריתם 2-קירוב לבעית התרמיל • מיין את הפריטים ע"פ צפיפות בסדר יורד • ניתן להניח ש: ... <s3/ v3<s2/ v2<s1/ v1 • i 1 • בצע: • אם יש מקום פנוי, הכנס את פריט i לתרמיל,i++ • אחרת, צא מהלולאה. • החזר את V = max{v1+ v2+ ··· + vi-1, vi }
אלגוריתם 2-קירוב לבעית התרמיל • מיין את הפריטים ע"פ צפיפות בסדר יורד • ניתן להניח ש: ... <s3/ v3<s2/ v2<s1/ v1 • i 1 • בצע: • אם יש מקום פנוי, הכנס את פריט i לתרמיל,i++ • אחרת, צא מהלולאה. • החזר את V = max {v1+ v2+ ··· + vi-1, vi } • סיבוכיות האלגוריתם?
אלגוריתם 2-קירוב • 21/1 > 40/2 > 1/1 • V = max { 21, 40} = 40 • V =V*
אלגוריתם 2-קירוב • 30/1= 30/1 > 40/2 • V = max { 60, 40} = 60 • V =V* • 21/1 > 40/2 > 1/1 • V = max { 21, 40} = 40 • V =V*
אלגוריתם 2-קירוב • 2K =C • K+1 = V ≠ V* = 2K • כאשר K שואף לאינסוף: 2 = V / V*
אלגוריתם 2-קירוב - הוכחה טענה: האלגוריתם שראינו הוא 2-קירוב לבעית התרמיל. הוכחה: • max { a, b} > ½ (a+b) • V = max {v1 + v2 + ··· + vi-1, vi } ץV > ½ V* • v1 + v2 + ··· + vi-1+ vi> V* }
מודל הרחוב הראשי של הוטלינג ((Hotelling, 1929
וריאציה של דילמת האסיר “R” “E” “R” 4 , 4 -1 , 5 “E” 5 , -1 0 , 0
פונקצית פוטנציאל “R” “R” “E” “E” “R” 0 1 “R” 4 , 4 -1 , 5 “E” 1 2 “E” 5 , -1 0 , 0
פונקצית פוטנציאל “R” “R” “E” “E” “R” 0 1 “R” 4 , 4 -1 , 5 1 2 “E” 5 , -1 0 , 0 “E”
פונקצית פוטנציאל “R” “R” “E” “E” “R” 0 1 “R” 4 , 4 -1 , 5 1 2 “E” 5 , -1 0 , 0 “E”
פורמלית, משחק מוגדר על ידי , כאשר: • N = {1, 2, …, n} היא קבוצה של nשחקנים. • Ai היא קבוצת הפעולות האפשריות של שחקןi • התועלת של שחקן iמוגדרת ע"י הפונקציה • ui: A1 x A2 x A3 ···x An R • (ז"א התועלת של שחקן i תלויה בפעולות שנבחרו על ידי i וע"י שאר השחקנים) • נאמר שמשחק הוא סופי אם מספר השחקנים הוא סופי ומספר הפעולות שיש לכל שחקן הוא סופי.
משחק הוא משחק פוטנציאל אם קיימת פונקציה • Φ: A1 x A2x A3 ···x AnR • כך שלכל • ai, a’i • מתקיים: • Φ(ai, a-i) – Φ(a’i, a-i) = ui(ai, a-i) – ui(a’i, a-i)
טענה: למשחק פוטנציאל סופי יש שיווי משקל טהור.
טענה: למשחק פוטנציאל סופי יש שיווי משקל טהור. הוכחה: המשחק הוא סופי ולכן יש נקודה (a*i, a*-i) שבה מקבלת הפונקציה Φ מקסימום. כעת, Φ(a*i, a*-i) >Φ(a’i, a*-i) נציב, ונקבל: Φ(a*i, a*-i) – Φ(a’i, a*-i) = ui(a*i, a*-i) – ui(a’i, a*-i) > 0 כלומר לשחקן i לא כדאי לבחור a’iבמקום a*iכאשר כל שאר השחקנים בחרו a*-i, בפרט הנקודה (a*i, a*-i) היא שיווי משקל טהור.
הערה: לא כל משחק הוא משחק פוטנציאל. לדוגמא, כל משחק שאין לו שיווי משקל טהור (למשל, זוג או פרט)
במשחק זוג או פרט לא קיים שיווי משקל נאש באסטרטגיות טהורות, לכל בחירה של זוג פעולות תמיד יהיה שחקן שיעדיף ל"סטות" ולבחור משהו אחר באופן חד צדדי, ולכן המשחק אינו משחק פוטנציאל. • K 2+K • 2-K?
תזכורת:במשחק זוג או פרט לא קיים שיווי משקל נאש באסטרטגיות טהורות, לכל בחירה של זוג פעולות תמיד יהיה שחקן שיעדיף ל"סטות" ולבחור משהו אחר באופן חד צדדי, ולכן המשחק אינו משחק פוטנציאל. • 10 12 • 8 ?
