Odvod

1. Odvod Kako opišemo hitrost spreminjanja funkcije glede na spremembo argumenta? Povprečna hitrost spremembe f v času od t0 do t1 : Diferenčni količnik Trenutna hitrost je

2. Primeri Alternativni zapis: Nova spremenljivka h=t-t0

3. Fizikalni pomen odvoda x=x(t) pot v odvisnosti od časa t povprečna hitrost v času od t0 do t1 hitrost v trenutku t0 v=v(t)hitrost gibanja v času t Dv(t0)pospešek W(t)toplota, ki v času t preide z enega telesa na drugega DW(t0)toplotni tok Q(t)električni naboj, ki v času t preteče čez prerez vodnika DQ(t0)električni tok

4. y=f(x) Geometrični pomen odvoda Smerni koeficient sekante skozi T0in T1 je T1 T0 x1 x0 smerni koeficient tangente je limita smernih koeficientov sekant Tangenta je limita sekant Df (x0) je smerni koeficient tangente na graf v točki T0

5. Primer 1 Določi tangento nakrivuljo y=x3-2x2+1 pri x=2. 2 x=2, y=8-8+1=1 Enačba tangente:

6. y=|x| Odvedljivost Odvod je definiran kot limita diferenčnih količnikov, zato se lahko zgodi, da v nekaterih točkah njegova vrednost ni določena. f(x)=|x| Limita je odvisna od tega, s katere strani gre x proti 0! Tangenta na graf je navpična!

7. padajoča Df negativen naraščajoča Df pozitiven Geometrični pomen odvoda(nadaljevanje) f naraščajoča na intervalu I okoli točke x0 f naraščajoča pri x0 ⇒Df (x0) ≥0 fpadajoča pri x0 ⇒Df (x0) ≤0

8. Računanje odvodov I. korak: funkcija odvod Predpis x ↦ Df(x)določa funkcijof ' :A→ℝ . odvod funkcije f Primeri

9. II. korak: računske operacije in sestavljanje seštevanje (in odštevanje) množenje: deljenje: sestavljanje:

10. Primeri

11. III. korak: osnovne funkcije

12. Primeri

14. Višji odvodi Primeri Vrednosti višjih odvodov v neki točki f(x0), f'(x0), f''(x0), f'''(x0), ... določajo celotno funkcijo

15. odvod po spremenljivki T odvod po spremenljivki V funkcija n spremenljivk Parcialni odvodi i-ti parcialni odvod

16. Primer

17. Lokalni ekstremi Če je f(x0) ≥f(x) za vse x na nekem intervalu okoli x0 pravimo, da ima f v x0lokalni maksimum. Če pa je f(x0)≤f(x) za vse x na nekem intervalu okoli x0 pravimo, da ima f v x0lokalni minimum. Odvedljiva funkcija ima pri lokalnem ekstremu vodoravno tangento. V lokalnem ekstremu velja: f'(x0)=0 (stacionarna točka)

18. Vsi lokalni ekstremi so v stacionarnih točkah. lok. maksimum Stacionarne točke so lahko lokalni ekstremi ali pa prevoji. Lokalni ekstrem NI nujno tudi globalni ekstrem. lok. minimum prevoj globalni minimum (globalnega maksimuma ni)

19. y=f(x) a b Globalni ekstremi Globalni ekstrem funkcije je bodisi pri lokalnemu ekstremu, bodisi na robu definicijskega območja. globalni maksimum globalni minimum kandidati za ekstreme funkcije f(x) na intervalu[a,b]:

20. Postopek za določanje globalnih ekstremov odvedljive funkcijef(x) na intervalu[a,b]: • Izračunamo odvod f'(x); • Določimo ničle odvoda, npr. x1,x2,...; • Izmed vrednosti f(a), f(b), f(x1), f(x2),... določimo največjo in najmanjšo - to sta globalni maksimum in globalni minimum. Primer Določi globalne ekstreme funkcije f(x)=x3-4x2+6 na intervalu [-1,4]. Globalni maksimum je f(0)=f(4)=6, globalni minimum je f(8/3)≈ -3.48

21. Optimizacijske naloge Za katero pozitivno število je vsota števila in njegove recipročne vrednosti najmanjša? Najmanjšo vsoto dobimo pri x=1. Kateri izmed pravokotnikov z obsegom 5m ima največjo ploščino? Največjo ploščino ima kvadrat s stranico 1,25m.

22. r h • Kakšne dimenzije mora imeti valjasta pločevinka s prostornino V, da bo za njeno izdelavo potrebno najmanj pločevine? Optimalna pločevinka ima višino enako premeru.

23. kandidati za lokalne ekstreme so rešitve sistema enačb Lokalni ekstremi funkcij več spremenljivk f ima lokalni maksimum pri (x1,...,xn) f ima lokalni maksimum pri (x1,...,xn) za vsako spremenljivko posebej vsi parcialni odvodi so enaki 0

24. Stacionarne točke funkcije več spremenljivk lokalni maksimum sedlo

25. Stacionarni točki sta (0,0) in . Primeri Edina stacionarna točka je (0,0).

26. Globalni ekstremi funkcij več spremenljivk f(x,y) je definirana na delu ravnine. Če je odvedljiva, zavzame ekstrem bodisi v stacionarni točki v notranjosti območja, ali pa na robu. Postopek za določanje globalnih ekstremov odvedljive funkcijef(x,y) na območju D ⊆ℝ: • Izračunamo parcialna odvoda fx'(x,y)infy'(x,y); • Določimo stacionarne točke kot rešitve enačb fx'(x,y)=0in fy'(x,y)=0; • Točke na robu območja D obravnavamo kot funkcijo ene spremenljivke in poiščemo pripadajoče stacionarne točke. • Izmed vrednosti funkcije fv vseh stacionarnih točkah določimo največjo in najmanjšo - to sta globalni maksimum in globalni minimum.

27. Poišči minimum in maksimum funkcije na trikotniku z oglišči A(0,0), B(3,0) in C(0,3). -1 C A B Primer notranjost trikotnika: daljica AB: stacionarna točka (0,0) ni v notranjosti daljice daljica AC: daljica BC: oglišča: minimum je f(1,1)= -1, maksimum je f(0,3)=12

28. Izravnavanjenumeričnih podatkov Naloga: iz tabele numeričnih podatkov(xi,yi)določi funkcijsko zvezoy=f(x),ki se s temipodatki najbolje ujema. Primer: v tabeli so podane vrednostikoličineyv odvisnosti odx.Določi ustrezno funkcijskozvezoy=f(x). Oceni vrednostyprix =1.5(interpolacija)in prix=2(ekstrapolacija).

29. Podatke predstavimo v koordinatnem sistemu: Zveza med x in y je približno linearna. Kako bi dobili enačbo premice, ki se tem podatkom najbolje prilega?

30. Enačba premice y=A+Bx je odvisna od parametrov A in B. Ustreznost parametrov preskusimo na množici podatkov (xi,yi),i=1,2,...,n, s pomočjo testne funkcije Če ležijo vsi podatki na premici y=A+Bx je F(A,B)=0, kar je najboljši možni rezultat. V splošnem primeru iščemo vrednosti A in B, pri katerih testna funkcija zavzame minimum.

31. Testna funkcija po kriteriju najmanjših kvadratov Sistem dveh linearnih enačb in dveh neznank: ima natanko eno rešitev, ki ustreza globalnemu minimumu testne funkcije.

33. interpolirana vrednost: f(1.5)=4.303 ekstrapolirana vrednost: f(2)=5.354

34. rešujemo takole: V praksi sistem povprečje argumentov povprečje funkcijskih vrednosti povprečje kvadratov argumentov povprečje produktov Obe enačbi delimo z n in vpeljemo oznake:

35. Nelinearne zveze V tabeli je predstavljena kinetika razpada N2O5 v raztopini CCl4. cje koncentracija N2O5 po preteku t sekund.

36. Funkcijska zveza ni linearna, temveč eksponentna: Računanje s testno funkcijo je zamudno, zato raje lineariziramo. Vpeljemo novo količino in uporabimo prejšnje formule. (zveza med logaritmom koncentracije in časom je linearna) Dobimo:

37. pri pogoju Računamo (Nedoločena oblika ) Računanje limit Velja: L’Hospitalovo pravilo

38. L’Hospitalovo pravilo uporabimo tudi za ko je in Primeri:

39. Risanje grafov (Območje definicije, obnašanje na robu, ničle, območja naraščanja in padanja, stacionarne točke, ukrivljenost, prevoji, simetrije.) 1. Definicijsko območje:določimo na podlagi lastnosti osnovnih funkcij. 2. Rob definicijskega območja: obnašanje funkcije (pole, asimptote) izrazimo s pomočjo limit; pri računanju si pomagamo z L’Hospitalovim pravilom. 3. Ničle: določimo s pomočjo raznih, tudi približnih, metod za reševanje enačb.

40. 4. Naraščanje in padanje, ekstremi: funkcijo odvajamo; kjer je odvod pozitiven, funkcijske vrednosti naraščajo, kjer je negativen padajo. V ničlah odvoda so lokalni ekstremi ali prevoji. funkcija odvod Če vrednosti odvoda pri prehodu čez ničlo spremenijo predznak, je v stacionarni točki lokalni ekstrem. Če se predznak ne spremeni, je v stacionarni točki prevoj.

41. 5. Ukrivljenost: kjer je drugi odvod pozitiven, je graf konveksen, kjer je negativen, je graf konkaven. Prevoji so točke, kjer graf spremeni ukrivljenost, torej ničle drugega odvoda, pri katerih drugi odvod spremeni predznak. prevoj konkavna konveksna 6. Periodičnost in simetrije: odvod periodične funkcije je periodičen; odvod sode funkcije je lih, odvod lihe pa sod.

42. Natančno nariši graf funkcije Primeri Definicijsko območje: imenovalec je pozitiven, funkcija je definirana povsod. Obnašanje na robu: f(x) ima vodoravno asimptoto y=0 Ničle: edina ničla števca je x=0. Simetrije: funkcija je liha.

43. f ima prevoje za konveksna je za konkavna je za Naraščanje, padanje, ekstremi: f narašča za -1<x<1in pada sicer; v -1 ima lokalni minimum, v 1 pa lokalni maksimum. Ničli odvoda sta -1 in +1; odvod je negativen za x<-1 in x>1 in pozitiven za -1<x<1. Ukrivljenost:

44. asimptota y=0 ničla x=0 minimum x=-1, y=-0.5, maksimum x=1, y=0.5 prevoji x=0,-1.73,1.73

45. (numerično) Nariši graf Definicijsko območje: navpična asimptota (pol) x=0 vodoravna asimptota y=0 Ničle funkcije, 1. in 2. odvoda: