ODVOD FUNKCIJE

1. ODVOD FUNKCIJE y=f(x) dana zvezna funkcija v točki x poljubna sprememba neodvisne spremenljivke x sprememba funkcije zaradi zveznosti: če diferenčni kvocient diferenčni kvocient je pri h = 0nedoločen

2. Definicija Naj bo funkcija f(x) definirana na intervalu [a,b] in poljubno izbrana točka tega intervala. Če obstaja imenujemo število odvod funkcije f v točki x

3. Odvodje torej število, od katerega se diferenčni kvocient v točki x loči tako malo, kot hočemo, če je le sprememba neodvisne spremenljivke dovolj majhna, torej če je le

4. Izrek Če je funkcija v kakšni točki x intervala [a,b] odvedljiva, je v tisti točki tudi zvezna Geometrično odvod funkcije predstavimo kot tangens naklonskegakota tangente na krivuljo s pozitivno smerjo abscisne osi.

5. PRAVILA ZA ODVAJANJE 1. Odvod konstante je enak nič f(x) = C 2. Ovdod vsote je enak vsoti odvodov F(x) = f(x) + g(x) Posplošitev

6. 3. Odvod razlike je enak razliki odvodov F(x) = f(x) - g(x) 4. Odvod produkta F(x) = f(x).g(x) 5. Funkcijo pomnoženo s konstanto odvajamo tako,da konstanto pred odvod izpostavimo. F(x) = C.f(x)

7. 6.Odvod kvocienta 7. Odvod sestavljene funkcije Dani funkciji y = f(u)inu = u(x) in Funkcija F(x) = f[u(x)] ima odvod

8. Elementarni odvodi 1. Potenčna funkcija 2. Logaritemska funkcija

9. 3. Eksponenta funkcija 4. Sinusna funkcija 5. Kosinusna funkcija

10. 6. Tangensna funkcija 7. Kotangensna funkcija 8. Arkus-sinusna funkcija

11. 9.Arkus-kosinusna funkcija 10. Arkus-tangensna funkcija 11. Arkus-kotangensna funkcija

12. Diferencial funkcije Za diferenčni kvocient in odvod velja in gre,ko gre sprememba neodvisne spremenljivke x sprememba odvisne spremenljivkey

13. Zvezo lahko tudi zapišemo Kadar je tako majhna količina da velja ,imenujemo diferencial neodvisne spremenljivke x in ga pišemo Diferencial funkcije(dy) imenujemo količino

14. Velja Odvod funkcije simbolično tudi pišemo Geometrično diferencial funkcije predstavlja spremembo na tagenti na krivuljo v točki odvoda, ko se neodvisna spremenljivka spremeni za dx

15. Višji odvodi Kadar je odvod funkcije f(x) odvedljiva funkcija, jo lahko ponovno odvajamo drugi odvod funkcije tretji odvod funkcije

16. V splošnem drugi,tretji,...odvod imenujemo višji odvodi ali odvodi višjega reda.

17. Taylor-jeva vrsta Problem Kako izračunati vrednost funkcije f(x) v kakšni točki, če funkcija ni polinom vsaj n-krat odvedljiva funkcija a : poljubno realno število za katerega je f(x) definirana h : poljubna sprememba neodvisne spremenljivke

18. Vrednost funkcije v x = a + h moremo zapisati Temu zapisu pravimo Taylor-jeva vrsta ostanekTaylor-jeve vrsta

19. Za a = 0 in h = xTaylor-jevo vrsto imenujemo MacLaurin-ova vrsta ostanek MacLaurinove vrste Za dovolj velikn ostanek lahko zanemarimo Uporabna za računanje vrednosti funkcij

20. L´Hospital-ovo pravilo Dana je funkcija odvedljivi pri x= a in je ter,torej je f(x) pri x = a nedoločena. Velja

21. Konveksnost in konkavnost funkcije Funkcija je na nekem intervalu konkavna, kadar je vbokla navzdol. velja Funkcija je na nekem intervalu konveksna,kadar je vbokla navzgor velja

22. Ekstremi funkcije Definicija Funkcijay = f(x) ima v točki x = aekstrem, kadar je sprememba funkcije v tej točki istega predznaka za vsako dovolj majhno spremembo neodvisne sremenljivke. sprememba neodvisne spremenljivke sprememba funkcije Ekstrem,kadar je za vsak h istega predznaka

24. Ekstrem imenujemo maksimum, kadar je sprememba funkcije za vsak hnegativna in minimum, kadar je ta sprememba za vsak hpozitivna torej maksimum minimum

25. Izrek Funkcija ima v točki x = a ekstrem natanko tedaj, kadar za to točko velja 1 2 maksimum minimum

26. Funkcija ima v točki x=aprevoj, kadar tangenta v tej točki spremeni stran krivulje V prevoju lahko Problem Funkcija y = f(x) ima v točki x=a in

27. Velja .... Če je in x=aekstrem,če je nsodo število x=aprevoj,če je n liho število maksimum za minimum za