U.T.N Facultad Regional del Neuquen Tecnicatura en Programación

1. U.T.N Facultad Regional del NeuquenTecnicatura en Programación Sistema de Procesamientos de Datos Docentes: Lic. Laz Contreras, Gustavo A. Ing. Torrico Terrazas, Alex

2. Sistema Numérico Unarios - Posicionales (1) La necesidad de representar conjuntos de objetos ha llevado a adoptar diversas formas de simbolizar un valor numérico Una forma fácil de representar el números de elementos, establecer una correspondencia con el igual números de símbolo. Ejemplo: Dibujar el mismo numero de trazos, por cada día de la Semana. Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes Sábado Domingo ||||||| Este tipo de sistema se lo denominaría como unario, ya que solo se utiliza un único símbolo . Su desventaja es que no permite simbolizar cómoda y rápidamente conjunto de elemento ¿ Por que del uso de un Sistema numérico ?

3. Sistema Numérico Unarios - Posicionales (2) Los romanos utilizaron un sistema de signo de valor creciente, no posicional ya que cualquier lugar que ocupe el signo siempre tendrá el mismo valor : I, V, X, L, C, D, M. Que se agrupan de derecha a izquierda, sumándose o restándose entre si, siguiera o no el orden creciente. CXVII = cien + diez + cinco + uno + uno -> 117 MCMV = mil + (mil – cien) + cinco -> 1905

4. Sistema Numérico Unarios - Posicionales (3) Los Orientales como también los Mayas, los que desarrollaron los sistemas posicionales, basados en un conjunto limitado de constantes símbolos, entre los que se encontrara el “cero” para identificar la ausencia de elemento. Con estos sistemas, cada símbolo, además del numero de unidades que representa considerado aisladamente tiene un significado o un peso distinto, según la posición que ocupa en el grupo de caracteres del que forma parte. De esta manera es posible representar sistemáticamente cualquier numero, empleando en forma combinada un conjunto limitado de caracteres. Dichos caracteres se denominan “dígitos”

5. Sistemas Numéricos Sistema Decimal: Relacionado con los diez, el sistema posicional decimal, también denominado de “Base o Raíz diez” por utilizar diez símbolos ( 0, 1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) permite representar cualquier numero de elementos combinados dicho símbolos. 9303 = 9 x 1000 + 3 x 100 + 0 x 10 + 3 x 1 9303 = 9 x 103 + 3 x 102 + 0 x 101 + 3 x 100 93320130 = 9 x 103 + 3 x 102 + 0 x 101 + 3 x 100 O sea que el peso de cada posición resulta la potencia creciente de la base.

6. Sistemas Numéricos Sistema Binario: • El sistema de numeración binario solo tiene dos dígitos. El sistema binario con sus dos dígitos es un sistema en base dos. Los dígitos binarios (bits) son 0 y 1. • La posición de un 1 o de un 0 en un número binario indica su peso, o valor dentro del número, así como la posición de un dígito decimal determina el valor de ese dígito. • Los pesos de un número binario están basados en las potencias de dos.

7. 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 Sistemas Numéricos (Binario) • Rango de representación: Conjunto de valores representable. Con n cifras en la base b podemos formar bn combinaciones distintas. [0..bn-1] • Sistema de numeración en base dos o binario Decimal Binario b = 2 (binario) {0,1} Números binarios del 0 al 7

8. Sistemas Numéricos (Binario) • El número se expresa mediante una secuencia de cifras: • N  ... n4 n3 n2 n1 n0 n-1 n-2 n-3 ... • El valor de cada cifra depende de la cifra en sí y de la posición que ocupa en la secuencia • El valor del número se calcula mediante el polinomio: • N  ...+ n3·b3 + n2·b2 + n1·b1 +n0· b0 +n-1·b-1 ...

9. Sistemas Numéricos (Binario) • Ejemplos: 0 0 101102 = (1· 24) + (0· 23) + (1 · 22) + (1· 21) + (0· 20) = 24 + 22+ 21 = 16 + 4 + 2 = 2210 0 0 0 1101002 = (1· 25) + (1· 24) + (0· 23) + (1 · 22) + (0· 21) + (0· 20) = = 25 + 24+ 22 = 32 + 16 + 4 = 5210 0,101002 = 2-1 + 2-3 = (1/2) + (1/8) = 0,62510 10100,0012 = 24 + 22 + 2-3 = 16 + 4 +(1/8) = 20,12510

10. Sistemas Binario (Conversión) • Conversión decimal - base b • Método de divisiones sucesivas entre la base b • Para números fraccionarios se realizan multiplicaciones sucesivas por la base b. • Ejemplos: 2610 = 110102 0,187510 = 0,00112 26,187510 = 11010,00112

11. PRACTICO

12. A A A A B B B B A – B A/B A+B A*B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -- 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 (1) 0 1 0 1 1 1 0 0 0 -- 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 0 Sistemas Binario (Operaciones) • Operaciones básicas

13. Sistemas Binario (Operaciones) • Sumas y restas • Multiplicaciones

14. Sistemas Binario (Operaciones) • División

15. PRACTICO

16. Sistemas Numéricos Sistema Octal: • El sistema de numeración octal solo tiene ocho dígitos. El sistema Octal con sus ochos dígitos es un sistema en base ocho. Los dígitos octales ( 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7). • La posición digito octal indica su peso, o valor dentro del número, así como la posición de un dígito decimal determina el valor de ese dígito. • Los pesos de un número octal están basados en las potencias de ocho.

17. 0 0 Sistemas Numéricos (Octal) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 Decimal Octal b = 8 (octal) {0,1,2,3,4,5,6,7} • Correspondencia con el binario 8 = 23 Una cifra en octal corresponde a 3 binarias • Ejemplos 4 0 10001101100.110102 = 2154.648 0 1 6 5 4 2 4 537.248 = 101011111.0101002 2 7 3 5 • Conversión Decimal - Octal 760.3310  1370.25078

18. Sistemas Numéricos Sistema Hexadecimal : • El sistema de numeración hexadecimal tiene dieciséis dígitos en total. El sistema Hexadecimal con sus dieciséis dígitos es un sistema en base dieciséis. Los dígitos hexadecimales ( 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). • La posición digito hexadecimal indica su peso, o valor dentro del número, así como la posición de un dígito decimal determina el valor de ese dígito. • Los pesos de un número hexadecimal están basados en las potencias de dieciséis.

19. Hexadecimal Decimal Binario 0 0 0000 1 1 0001 2 2 0010 3 3 0011 4 4 0100 5 5 0101 6 6 0110 7 7 0111 8 8 1000 9 9 1001 A 10 1010 B 11 1011 C 12 1100 D 13 1101 E 14 1110 F 15 1111 Sistemas Numéricos (Hexadecimal) • Hexadecimal b = 16 (hexadecimal) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,} • Correspondencia con el binario 16 = 24 Una cifra en hexadecimal corresponde a 4 binarias

20. Sistemas Numéricos (Hexadecimal) 4373 117 273 53 113 17 5 16 16 16 1 1 1 • Ejemplos 10010111011111.10111012 = 25DF.BA16 A 0010010111011111.101110102 = 25DF.BAH 5 B D F 2 • Conversión Decimal - Hexadecimal 4373.7910 1115.CA3D16

21. PRACTICO

22. Representación de Números ENTEROS Existe cuatro métodos de representación de números Enteros (Positivo y Negativo) que todo ordenador realiza en forma interna: • Modulo y Signo • Complemento a 1 • Complemento a 2 • Exceso a 2n-1

23. Modulo Signo En este sistema de representación, el bit que esta situado más a la izquierda representado al signo: • 0(cero) Para los positivos (+) • 1 (uno) Para los negativos (-) • Como responde a un razonamiento intuitivo , se añade arbitrariamente a la magnitud un bit de signo : • 1 bit de Signo • n bits de magnitud

24. Modulo Signo • Ejemplos: Disponemos de 8 bits, representamos los números -13 y 13 • Numero -13 1 0001101 • Numero 13 0 0001101 Signo - (menos) Modulo Signo + (mas) Modulo Rango de Representación: Con el rango de representación es el método de determinar que conjunto de valores se puede representar. Para modulo y signo el rango de representación es para n Bits -2 n-1 +1 <= x >= 2n-1 -1 a) Para el caso de n=8 bits el rango de representación es: -2 8 -1 +1 <= x <= 28 -1 -1 -127 <= x <= 127

25. Modulo Signo b) Para n=16 bits, el rango de representación es: -2 16 -1 +1 <= x <= 216 -1 -1 -32767 <= x <= 32767 La ventaja que presenta este sistema frente a otros, es la de poseer Rango simétrico de igual cantidad de números positivos que negativos, mientras que su MAYOR INCONVENIENTE es que posee 2 (dos) representaciones para numero cero (0). n=8 0 0000000 ( 0 ) 1 0000000 (-0 )

26. Completo a 1 (C-1) Este sistema de representación utiliza el bit de más a la izquierda para el signo, correspondiendo el 0 (cero) para el Signo positivo (+) y el 1 para el signo negativo (-) . Para las n-1 números positivos. El bit de la derecha representa el modulo igual que el MODULO SIGNO. El negativo de un numero positivo se obtiene complementando todo sus dígitos, combinando 0 (cero), por unos y viceversa , incluido el bit de signo. Ejemplo : Disponemos de 8 bits, representamos los números -10 y 10 • Numero 10 0 0001010 • Numero -10 1 1110101 Signo + (mas) Modulo Signo - (menos) Modulo

27. Completo a 1 (C-1) Rango de Representación : -2 n-1 +1 <= x >= 2n-1 -1 a) Para el caso de n=8 bits el rango de representación es: -2 8 -1 +1 <= x <= 28 -1 -1 -127 <= x <= 127 • El sistema de representación posee ventajas de tener rango simétricos y la desventajas de tener dos representaciones para el valor 0 (cero) • 0 0000000 (+0) • 1 11111111 (- 0)

28. Completo a 2 (C-2) Este sistema de representación utiliza el bit de más a la izquierda para el signo correspondiente 0 (cero) para el signo + (positivo) y el 1 (uno) para el signo – (negativo). En caso de números positivos los n-1 bits de la derecha representa el modulo igual que el MODULO SIGNO y COMPLEMENTO A 1. El negativo de un numero se obtiene en 2 pasos. Paso : Se complementa el numero positivo en todos sus bits, cambiando 0 (ceros) por 1 (uno) y viceversa, incluido el bit del signo , es decir se realiza complemento a 1 Paso : Al resultado obtenido anteriormente se le suma 1 (uno) en binario despreciado el ultimo acarreo si existe.

29. Completo a 2 (C-2) • Ejemplos: Disponemos de 8 Bits: Numero 10 : 0 0001010 Numero -10: 1. Paso 1 1110101 2. Paso 1 1110101 1 ____________________________ 1 1110110 Signo + (Positivo) Modulo Signo - (menos) Modulo Rango de Representación : -2 n-1 <= x >= 2n-1 -1 Para el caso de n=8 bits tendremos : -128 <= x <= 127

30. Completo a 2 (C-2) La principal ventaja es tener un única representación para el numero 0 (cero). Numero +0 : 0 0000000 Numero -0: 1. Paso 1 1111111 2. Paso 1 1111111 1 ____________________________ 1 0 0000000 Se desprecia El ultimo acarreo se desprecia, por lo tanto el +0 (cero) y el -0 (cero) tienen la misma representación.

31. Representación en Coma a Punto Fijo • El punto fijo es utilizado para la representación de números enteros, suponiéndose el punto decimal a la derecha de los bits. • Binario Puro • Decimal Desempaquetado • Decimal Empaquetado • Binario Puro : Los Binarios puros se representa utilizado un conjunto de bits equivalente a una palabra. Para una representación normal se denomina SIMPLE PRECISION y una doble palabra se la utiliza bajo denominación de DOBLE PRECISION . • Como Binario Puro, se podrá tomar las representaciones Numéricos: MODULO SIGNO; C-1; C-2; Exceso a 2 n-1

32. Decimal Desempaquetado Este sistema de representación se encuentra relacionado directamente, como decimal empaquetado, al sistema de codificación BCD (Decimal Codificación a Binario) que se basa en los sistemas anteriores vistos. El BCD esto representa a todo por un conjunto de 4 Bits

33. Decimal Desempaquetado Ejemplos: Representar el numero 25 decimal en BCD 2 5 0010 0101 Representar el numero 3456 decimal en BCD 3 4 5 6 0011 0100 0101 0110 En el sistema DECIMAL DESEMPAQUETADO, un numero decimal se representa de tal forma que cada uno de sus cifras ocupa en OCTETO o Bytes. Cada Byte u Octeto lleva en sus primero 4 Bits de la Izquierda cuatro unos “1111” ó “F” en Hexadecimal, denominado Bit de zona y resto de los bits, o sea los cuatros restante (los de las Derechas), la codificación de la cifra BCD, denominado bits de dígitos. Si separamos la ultima cifra del numero obtendremos un Octeto o Byte de la cual cuatros primeros Bits me determinan el signo del numero.

34. Decimal Desempaquetado • Ejemplos: Representar el numero decimal 1968 en decimal desempaquetados En BCD: 1  0001 9  1001 6  0110 8  1000 Ahora preparo el decimal desempaquetado: 1111 0001 1111 1001 1111 0110 1100 1000 1 9 6 8 Si queremos representar -1968 1111 0001 1111 1001 1111 0110 1101 1000 1 9 6 8 + Signo - Signo

35. Decimal Desempaquetado • Ejemplos: • Si deseamos representar ambos números en Hexadecimal • Numero 1968: • F 1 F 9 F 6 C 8 • Numero -1968: • F 1 F 9 F 6 D 8 + Signo - Signo

36. Decimal Empaquetado • Este sistema de codificación es similar al anterior con gran diferencia no descartamos los Bits de la zona, utilizando únicamente a la izquierda de la cifra numérica un cuarteto de 0 (cero) o cuatro Bits Cero, y al final de la cifra numérica, es decir, a la derecha de esto. Se cierra con los 4 Bits del signo, que son los mismos que se utilizamos en los decimal desempaquetados • BCDHexadecimal • Signo + C Signo + • Signo - D Signo – • Ejemplo: • Representar el número decimal 1968 en DECIMAL EMPAQUETADO • Numero 1968: • 0000 0001 1001 0110 1000 1100 • 1 9 6 8 Signo (+)

37. Decimal Empaquetado Numero -1968: 0000 0001 1001 0110 1000 1101 1 9 6 8 Signo (-) Si realizamos la codificación en Hexadecimal: Numero 1968 : 0 1968 C Signo + Numero -1968: 0 1968 D Signo -

38. Representación en Coma Flotante • La representación de la COMA o PUNTO FLOTANTE, surge de la necesidad de • Poder representar números Reales y Enteros en mayor Rango del que ofrece el • PUNTO FIJO y que dicha Pc. Pueda manejar números muy grandes como muy • pequeños. Con la única desventaja que existe en su precisión a la representación • de los valores. • Componentes de la Representación en Coma Flotante • EXPONENTE: Se representa en una de las siguientes sistema de codificación: • Modulo y Signo • Exceso 2 n-1 • MANTISA: Es el número real con el punto decimal implícito a la izquierda de sus bits • Modulo y Signo • Complemento a 1 (C-1) • Complemento a 2 (C-2) • BASE DE EXPONENCIACION: Es una potencia de 2 (dos), determinado generalmente por el fabricante de las computadora (2; 8 ó 16)

39. Representación en Coma Flotante Representación Grafica del punto Flotante Simple precisión en 32 Bits SIGNO MANTISA EXPONENTE 31 30 23 22 0 b) Doble precisión en 32 Bits SIGNO MANTISA EXPONENTE 63 62 52 51 0 El rango de representación 0 mNP Mnp mNN Mnn | ////////////////////////////////////////////// | | ////////////////////////////////////////////// | Cero

40. Representación en Coma Flotante mNN = Es mínimo numero negativo de la Representación MNN = Es el Máximo Numero negativo de la Representación nNP = Es el Mínimo Numero Positivo de la Representación MNP = Es el Máximo Numero Positivo de la Representación Es el Rango de la representación grafica, vemos que existe zonas en la cual no hay representación Numérica y se las clasifica de las siguientes manera 0 mNP Mnp mNN Mnn | ////////////////////////////////////////////// | \\\\\\\ \\\\\\| ////////////////////////////////////////////// | \\\\\\\\\\\\\\\\ Cero Desbordamiento Negativo Desbordamiento Positivo Subdesbordamiento Negativo Subdesbordamiento Positivo

41. Representación en Coma Flotante Subdesbordamiento Negativo  MNN < x < 0 Subdesbordamiento Positivo  0 < x < mNP Desbordamiento Negativo  x < mNN Desbordamiento Positivo  x > MNP • Antes de comenzar con el ejemplo, veremos la forma NORMALIZADA de representar la MANTISA. • En esta representación la mantisa, no posee parte entera y el primer digito a continuación del punto decimal debe ser distinto de 0 (Cero). • Ejemplo: • Representar el numero decimal 435,2 • 435,2 = 4352 x 10-1 = 435,2 x 100 = 43,52 x 101 = 4,352 x 102 = 0,4352 x 103 • Representar el número decimal 4,52 • 4,52 = 452 x 10-2 = 45,2 x 10-1 = 4,52 x 100 = 0,452 x 101 Representación NORMALIZADA Representación NORMALIZADA

42. Representación en Coma Flotante • Ejemplos: 23 = 23 x 20 = 11,5 x 21 = 5,75 x 22 = 2,875 x 23 = 1,4375 x 24 + 0,71875 x 25 EXPONENTE : ES 5: en Exceso a 2n-1 128 + 5 = 133 = 10000101 MANTISA: ES 0,71875: en C-1 0, 10111 0 10000101 10111000000000000000000 Si Deseamos Representar -23 El Exponente es el mismo ya que la mantisa se pasa a C-1 1 10000101 01000111111111111111111 Representación NORMALIZADA Signo Exponente Mantisa + 5 0,71875 Signo Exponente Mantisa - - 0,71875  C-1 5