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Premio Sahuaro Luminoso

Premio Sahuaro Luminoso. III Reto. Seno y Coseno Circular. Consideremos la circunferencia centrada en el origen y de radio 1:. Seno y Coseno Circular. Para cada consideremos el punto (x, y) sobre la circunferencia cuyo ángulo medido desde el eje x sea igual a :.

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Presentation Transcript

  1. Premio Sahuaro Luminoso III Reto

  2. Seno y Coseno Circular • Consideremos la circunferencia centrada en el origen y de radio 1:

  3. Seno y Coseno Circular • Para cada consideremos el punto (x, y) sobre la circunferencia cuyo ángulo medido desde el eje x sea igual a :

  4. Seno y Coseno Circular • Definimos como la coordenada xdel punto así obtenido. • Definimos como la coordenada y del mismo punto.

  5. Seno y Coseno Circular • Es fácil ver de la definición que , son funciones acotadas. • Además, es fácil ver que dichas funciones son periódicas.

  6. Seno y Coseno Circular • Probar (usando argumentos geométricos): • cos(-t) = cos(t) • sen(-t) = -sen(t) • cos(p/2 - t) = sen(t) • sen(p/2 - t) = cos(t) • cos(p/2 + t) = -sen(t) • sen(p/2 + t) = cos(t) • cos(p - t) = -cos(t) • sen(p - t) = sen(t)

  7. Seno y Coseno Circular • Probar (usando argumentos geométricos): • cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) • sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) • cos(2t) = 2cos2(t) – 1 • sen(2t) = 2cos(t)sen(t)

  8. Seno y Coseno Circular • Observemos que el área dirigida al doble del sector circular de ángulo t también es igual a t: • Por área dirigida nos referimos a que si el punto se toma debajo del eje x, consideraremos el área como negativa.

  9. Seno y Coseno Circular • Por ello, pudimos haber definido el seno y el coseno como función del área, en vez de usar al ángulo como parámetro.

  10. Seno y Coseno Hiperbólico • Consideremos la Hipérbola Equilátera unitaria centrada en el origen: • Para cada consideremos un punto de la hipérbola; sus coordenadas son (cosh t, senh t)

  11. Seno y Coseno Hiperbólico • Pregunta: • ¿Cómo definir el parámetro t para que se cumplan las siguientes dos condiciones al mismo tiempo? • La definición del parámetro sea una generalización natural del caso del seno y coseno circular. • El parámetro t esté bien definido para todo número real.

  12. Seno y Coseno Hiperbólico • Probar que: • cosh(-t) = cosh(t) • senh(-t) = -senh(t) • Probar,partiendo de la definición geométrica, que: • Probar* que: • Probar que:

  13. Parámetros • Observemos que la longitud de arco del sector circular de ángulo t también es igual a t: • De nuevo, si el ángulo es negativo, consideraremos la longitud de arco como negativa.

  14. Parámetros Ángulo Área Longitud de Arco

  15. Seno y Coseno Lemniscático • La “Lemniscata de Bernoulli” es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de las distancias de dicho punto a los “focos” (-½ , -½) y (½, ½) es constante e igual a ½.

  16. Seno y Coseno Lemniscático

  17. Seno y Coseno Lemniscático • Problema: Hallar la ecuación de la Lemniscata de Bernoulli • En coordenadas cartesianas. • En coordenadas polares. • ¿En qué sentido se puede definir el seno lemniscático y el coseno lemniscático? • ¿Qué propiedades tendría?

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