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复变函数 第 5 讲

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复变函数 第 5 讲

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  1. 复变函数第5讲 本文件可从网址 http://math.shekou.com 上下载

  2. 作业第26题的问题.当用复数形式来表示一条曲线的时候, 用参数方程的办法来进行表示经常是一种好办法. 通常用t作参数, 将t视为时间, 质点在平面上随着时间的变化而作运动, 运动的轨迹就形成曲线.因此, 首先将曲线表示成参数方程x=x(t), y=y(t), 再令z=x(t)+iy(t)=z(t), 就构成参数方程, 然后研究z的函数w=f(z)将曲线z(t)映射成w(t)=u(t)+iv(t), 则u=u(t)和v=v(t)构成映射后w平面上的曲线的参数方程. 可视情况从一个方程中解出t代到另一个方程, 就得到u,v的曲线方程.

  3. 应当注意的是参数方程的不唯一性, 例如, x=at, y=bt是一个直线的参数方程, 则x=at3, y=bt3表示同样的直线的参数方程. 甚至x=af(t), y=bf(t), 只要时间函数f(t)在t由-变到+的过程中也能够遍历所有的实数, 只要a,b确定, 就表示的是同样的直线. 当然要选择常用的表示方法, 如直线就用x=at+x0, y=bt+y0, 圆就用x=r cost, y=r sint, 椭圆就用x=a cos t, y=bsin t.如果是一个函数表示曲线, y=f(x), 也可令x=t, y=f(t), 构成参数方程. 当然, 上面的t都用一个恰当的时间的函数来代替也是代表同样的曲线.

  4. 27题的证明 其实在第149页有这个证明, 如果给定e=|f(z0)|/2, 必存在d, 当|z-z0|<d时, 有

  5. §3 初等函数

  6. 1, 指数函数 希望能够在复平面内定义一个函数f(z)具有实函数中的指数函数ex的三个性质:i) f(z)在复平面内解析;ii) f '(z)=f(z)iii) 当Im(z)=0时, f(z)=ex, 其中x=Re(z)

  7. 前面的例1中已经知道, 函数f(z)=ex(cos y+i sin y)是一个在复平面处处解析的函数, 且有f '(z)=f(z), 当y=0时, f(z)=ex. f(z)称为指数函数.记作 exp z=ex(cos y+isin y). (2.3.1)等价于关系式: |exp z|=ex, Arg(exp z)=y+2kp (2.3.2)

  8. 由(2.3.2)中的第一式可知exp z0.跟ex一样, exp z也服从加法定理: exp z1exp z2 = exp(z1+z2) (2.3.3)

  9. 事实上, 设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, 按定义有

  10. 鉴于exp z满足条件iii), 且加法定理也成立, 为了方便, 往往用ez代替exp z. 但是必须注意, 这里的ez没有幂的意义, 仅仅作为代替exp z的符号使用, 因此我们就有ez=ex(cos y+isin y) (2.3.4)特别, 当x=0时, 有eiy=cos y+isin y (2.3.5)

  11. 由加法定理, 我们可以推出exp z的周期性, 它的周期性是2kpi, 即ez+2kpi=eze2kpi=ez其中k为任何整数.

  12. 2.对数函数 对数函数定义为指数函数的反函数. 将满足方程ew=z (z0)的函数w=f(z)称为对数函数. 令w=u+iv, z=reiq, 则 eu+iv=reiq,所以 u=ln r, v=q.因此 w=ln|z|+iArg z

  13. 由于Arg z为多值函数, 所以对数函数w=f(z)为多值函数, 并且每两个值相差2pi的整数倍,记作Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)

  14. Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)如果规定上式中的Arg z取主值arg z, 则Ln z为一单值函数, 记作ln z, 称为Ln z的主值, 因此ln z = ln|z|+iarg z (2.3.7)而其余各值可由Ln z=ln z+2kpi (k=1,2,...) (2.3.8)表达. 对于每一个固定的k, (2.3.8)式为一单值函数, 称为Ln z的一个分支.特别, 当z=x>0时, Ln z的主值ln z=ln x, 就是实变数对数函数.

  15. 例1求Ln 2, Ln(-1)以及它们相应的主值.[解] 因为Ln 2=ln 2+2kpi, 所以它的主值就是ln2. 而Ln(-1)=ln 1+iArg(-1)=(2k+1)pi(k为整数), 所以它的主值是ln(-1)=pi.在实变函数中, 负数无对数, 此例说明在复数范围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷多值的.

  16. 因此, 复变数对数函数是实变数对数函数的拓广. 利用幅角的性质不难证明:

  17. 对数函数的解析性. 就主值ln z而言, 其中ln|z|除原点外在其它点都是连续的, 而arg z在原点与负实轴上都不连续. 因为若设z=x+iy, 则当x<0时, • 所以, 除去原点与负实轴, 在复平面内其它点ln z处处连续. 综上所述, z=ew在区域 • -p<v=arg z<p内的反函数w=ln z是单值的, 由反函数求导法则可知:

  18. 所以, ln z在除去原点及负实轴的平面内解析. 由(2.3.8)式就可知道, Ln z的各个分支在除去原点及负实轴的平面内也解析, 并且有相同的导数值.今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支.

  19. 3. 乘幂ab与幂函数 在高等数学中, 如果a为正数, b为实数, 则乘幂ab可表示为ab=eblna, 现在将它推广到复数的情形. 设a为不等于0的一个复数, b为任意一个复数, 定义乘幂ab为ebLna, 即ab=ebLn a (2.3.9)由于Ln a=ln|a|+i(arg a+2kp)是多值的, 因而ab也是多值的. 当b为整数时, 由于ab=ebLna=eb[ln|a|+i(arg a+2kp)] =eb(ln|a|+iarg a)+2kbpi=eblna,所以这时ab具有单一的值.

  20. 当b=p/q(p和q为互质的整数, q>0)时, 由于 • ab具有q个值, 即当k=0,1,...,(q-1)时相应的各个值. • 除此而外, 一般而论ab具有无穷多个值.

  21. zn在复平面内是单值解析函数, (zn)'=nzn-1.

  22. 4. 三角函数和双曲函数 根据(2.3.5)我们有eiy=cos y+isin y e-iy=cos y-isin y将这两式相加与相减, 分别得到 • 现将其推广到自变数取复值的情形, 定义 当z为实数时, 显然这与(2.3.12)完全一致.

  23. 由于ez是以2pi为周期的周期函数, 因此cos z和sin z以2p为周期, 即cos(z+2p)=cos z, sin(z+2p)=sin z.也容易推出cos z是偶函数: cos(-z)=cos z而sin z是奇函数: sin(-z)=-sin z由指数函数的导数公式可以求得(cos z)'=-sin z, (sin z)'=cos z由(2.3.13), 易知eiz=cos z+isin z (2.3.14)普遍正确, 即对于复数, 欧拉公式仍然成立.

  24. 由定义可知三角函数许多公式仍然成立 • 由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, • sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy. • 但当z为纯虚数iy时, 我们有

  25. 所以 • 这两个公式对于计算cos z与sin z的值有用. • 当y时, |siniy|和|cosiy|都趋于无穷大, 因此, |sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立. • 其它复变数三角函数的定义如下:

  26. 与三角函数密切相关的是双曲函数, 定义 • 分别称为双曲余弦,正弦和正切函数. • chz和shz都是以2pi为周期的函数, chz为偶函数, shz为奇函数, 它们都是复平面内的解析函数, 导数分别为: • (chz)'=shz, (shz)'=chz (2.3.18) • 不难证明 chiy=cosy, shiy=isiny (2.3.19)

  27. 5. 反三角函数与反双曲函数 反三角函数定义为三角函数的反函数, 设z=cos w,则称w为z的反余弦函数, 记作w=Arccos z.

  28. 用同样的方法可以定义反正弦和反正切函数, 并且重复上述步骤, 可以得到它们的表达式:

  29. 反双曲函数定义为双曲函数的反函数. 用与推导反三角函数表达式完全类似的步骤, 可以得到各反双曲函数的表达式: 它们都是多值函数.

  30. 平面场的复势 • 1. 用复变函数表示平面的向量场 这里, 只讨论平面定常向量场. 向量场中的向量都平行于某个平面S, 而且在垂直于S的任何一条直线上的所有点处的向量都是相等的; 场中的向量也都是与时间无关的. 显然, 这种向量场在所有平行于S的平面内的分布情况是完全相同的, 因此它完全可以用一个位于平行于S的平面S0内的场来表示.

  31. S y A Ay Ax x O S0

  32. 在平面S0内取定一直角坐标系xOy, 于是场中 • 每一个具有分量Ax与Ay的向量A=Axi+Ayj便可用复数 • A=Ax+iAy (2.4.1) • 来表示. 由于场中的点可用复数z=x+iy来表示, 所以平面向量场A=Ax(x,y)i+Ay(x,y)j可以借且于复变函数 • A=A(z)=Ax(x,y)+iAy(x,y) • 来表示, 反之, 已知某一复变函数w=u(x,y)+iv(x,y), 由此也可作出一个对应的平面向量场.

  33. 平面向量场与复变函数的这种密切关系, 不仅 • 说明了复变函数具有明确的物理意义, 而且使我们可以利用复变函数的方法来研究平面向量场的有关问题. 在应用中特别重要的是如何构造一个解析函数来表示无源无旋的平面向量场, 这个解析函数就是所谓平面向量场的复势函数.

  34. 2. 平面流速场的复势 设向量场v是不可压缩的(即流体的密度是一个常数)定常的理想流体的流速场:v=vx(x,y)i+vy(x,y)j,其中速度分量vx(x,y)与vy(x,y)都有连续的偏导数. 如果它在单连域B内是无源场(即管量场), 那末 即

  35. 从而可知-vydx+vxdy是某一个二元函数y(x,y)的全微分, 即dy(x,y)=-vydx+vxdy.由此得

  36. 如果v又是B内的无旋场(即势量场), 那末,rotv=0,即 • 这说明了表达式vxdx+vydy是某一个二元函数j(x,y)的全微分, 即 • dj(x,y)=vxdx+vydy. • 由此得 从而有 gradj = v.

  37. j(x,y)就称为场v的势函数(或位函数). 等值线j(x,y)=c2就称为等势线(或等位线).因此对于即无源又无旋的向量场v, (2.4.3)和(2.4.5)同时成立, 将它们比较一下, 即得 • 而这就是柯西-黎曼方程. 因此, 可作解析函数 • w=f(z)=j(x,y)+iy(x,y), • 称之为平面流速场的复势函数, 简称复势.

  38. 作业 第二章习题 第67页开始 第13题1),2),3)小题 第15题

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