Main tools of the probabilistic method with applications in graph theory

1. Main tools of the probabilistic method with applications in graph theory Attività formativa - Yuri Faenza Supervisore: Prof. B. Scoppola CdLS in Ingegneria dei Modelli e dei Sistemi 19 settembre 2006

2. Indice • Il metodo probabilistico • Linearità dell’aspettazione • Il metodo del momento primo • Il metodo del momento secondo • Il lemma locale di Lovàsz

3. Il metodo probabilistico Fine: dimostrare l’esistenza di un oggetto con specifiche proprietà Tecnica: Definire un adeguato spazio di probabilità, e dimostrare che a tale oggetto è associata una probabilità positiva Origini: Szele (’43), Erdos (’47) Maggiori Contributi: Erdos, Lovàsz, Janson, Alon, Spencer Applicazioni: Teoria dei grafi, Geometria Computazionale, Informatica Teorica

4. Il metodo probabilistico (2) Pro: • ottiene “facilmente” risultati difficili da raggiungere deterministicamente; • tecnica probabilistica, risultato deterministico. • permette di costruire oggetti di grandi dimensioni, non strutturati e generali; Contro: • raramente costruisce esempi espliciti.

5. Notazione e definizioni Variabili aleatorie Grafo con n vertici ed e archi se Numero cromatico di G Massimo insieme indipendente di G

6. Linearità dell’aspettazione Thr. (Szele): Esiste un torneo T con n giocatori ed almeno sentieri hamiltoniani Torneo Sentiero hamiltoniano Dim. : # sentieri hamiltoniani : permutazione degli n giocatori se è un sentiero hamiltoniano, cioè se altrimenti

7. Linearità dell’aspettazione (2) Thr. (Erdos): Per ogni k,l > 0 esiste un grafo G con lunghezza del ciclo più breve pari ad l e Dim. Si fissi e si assegni ogni arco di G in modo indipendente, con probabilità numero di cicli di lunghezza al più l se l’insieme A forma un ciclo, |A| = i altrimenti

8. Linearità dell’aspettazione (3) In particolare: 1) Posto 2) Possiamo quindi scegliere n grande abbastanza perché esista G per cui 1) e 2) non sono verificati Si rimuova da ogni ciclo di lunghezza alpiù l un vertice, ottenendo che per quanto visto ha almeno vertici, ha il più piccolo ciclo di lunghezza maggiore di l e vale

9. Il metodo del momento primo Thr. (Caro & Wei): Per ogni grafo G(V,E) vale Dim. Si consideri un ordinamento di V scelto con probabilità uniforme

10. Il metodo del momento primo (2) v.a. che indica se v è nell’insieme I v ed i suoi vicini hanno tutti la stessa possibilità di avere l’indice più piccolo Metodo del momento primo I è un insieme indipendente, infatti se per assurdo non lo fosse, esisterebbero tali che ; ma allora e ; impossibile Teorema di Turan

11. Il metodo del momento secondo Lemma (Diseguaglianza di Markov) Dim. Lemma (Diseguaglianza di Tchebyschev) Per ogni Dim.

12. Il metodo del momento secondo (2) Corollario • Sia non negativa Dim. • Utilizzo: lower bound sul numero cromatico e proprietà dei grafi random

13. Il lemma locale di Lovàsz Obiettivo: dimostrare che A raro ha probabilità >0 Con eventi indipendenti, ciascuno con probabilità (almeno) p Lemma locale di Lovàsz: generalizzazione al caso in cui gli eventi che ci interessano sono “quasi” dipendenti, per provare l’esistenza di eventi rari

14. Il lemma locale di Lovàsz (2) Thr (Lll), caso generale:

15. Il lemma locale di Lovàsz (3) Thr (Lll), caso simmetrico: è dipendente da al più altri d eventi

16. Thr (Alon & Linial):Sia D(V,E) un grafo orientato con minimo grado uscente e massimo grado entrante . Se allora D contiene un ciclo orientato, semplice di lunghezza Grafo Orientato D(V,E) (u,v) Grado entrante/uscente u v Il lemma locale di Lovàsz (4) Dim. Si consideri un colorazione casuale di V in cui ogni nodo è colorato in modo uniforme ed indipendente dagli altri.

17. v u Tali eventi sono al più , è limitata Il lemma locale di Lovàsz (5) Ogni è indipendente da tutti gli eventi tranne quelli per cui vale: Applichiamo il Lll (caso simmetrico)

18. Il lemma locale di Lovàsz (3) Thr (Lll), caso simmetrico: è dipendente da al più altri d eventi

19. Il lemma locale di Lovàsz (6) Partendo da otteniamo una sequenza tale che e Sia j il minimo intero tale che esista Allora il ciclo è quello richiesto