Matemática na Fazenda

1. Matemática na Fazenda Na fazenda??? Acho que não vai dar certo...

2. Universidade Estadual de Campinas EL654 - Didática Aplicada ao Ensino da Matemática Prof.ª Dr.ª Rosana Giaretta Sguerra Miskulin Projeto Com a Programa Computacional“The Geometers Sketchpad” Elaine Amaral - 002940 Érica Jannini - 992803 Lívia Lex - 951011 Valdineia Viana - 982242

3. Objetivos Este trabalho tem por objetivo proporcionar ao aluno o desenvolvimento de conceitos de função e geometria através do programa computacional “The Geometers Sketchpad”. Para isso será realizada uma atividade envolvendo cálculo de área máxima de uma região retangular.

4. Resgate Histórico - Álgebra Por volta do ano 400 d.C., uma idéia audaciosa de um estudioso de Alexandria começou a mudar toda a história da matemática. Esse estudioso era Diofante de Alexandria, que viveu de 325 a 409 e seus estudos se basearam no uso de símbolos para facilitar a escrita e os cálculos matemáticos. Os Símbolos criados por Diofante fizeram com que as expressões, até então escritas totalmente com palavras, pudessem ser representadas com abreviações.

5. Resgate Histórico - Álgebra Diofante viveu numa época muito tumultuada, presenciando, por exemplo, a queda do Império Romano Com isso, a Matemática teve todo um processo de desenvolvimento interrompido, fazendo com que a simbologia de Diofante não saísse do estágio inicial. Só no ano de 650 aproximadamente, com a ascensão do Império Árabe, é que houve uma retomada dos estudos matemáticos.

6. Resgate Histórico - Álgebra De 786 a 809 no reinado do Califa Harun al-Raschid (o mesmo das mil e uma noites) os muçulmanos conquistaram vários territórios, fazendo surgir grandes cidades, centros de comércio e de artesanato. Todas essas atividades comerciais, as viagens marítimas e através do deserto, provocaram um grande desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos.

7. Resgate Histórico - Álgebra Em 809, com a morte de al-Raschid, seu filho al-Mamum assumiu o trono e governou até 833. al-Mamum criou em Bagdá um centro de ensino e contratou os mais brilhantes sábios muçulmanos da época. Entre eles estava Mohamed Ibn Musa al-Khowarizmi, grande matemático que escreveu um livro chamado al-jabr, que significa restauração e refere-se a mudança de termos de um lado para outro de uma equação. Provavelmente o termo Álgebra se originou do título desse livro.

8. Resgate Histórico - Álgebra al-Khowarizmi, deu sua contribuição, mas não conseguiu expressar as equações totalmente em símbolos. Isso só aconteceu 700 anos depois, quando França e Espanha estavam em guerra, e para evitar que seus planos fossem descobertos pelos inimigos tanto franceses como espanhóis, usavam códigos em suas mensagens. Mas os espanhóis não se deram bem, pois, sempre que um mensageiro de suas tropas era capturado, os franceses rapidamente descobriam seus planos militares. "Os franceses têm um pacto com o diabo" diziam os espanhóis, até o Papa foi chamado para resolver a questão.

9. Resgate Histórico - Álgebra O demônio era François Viète um advogado francês, capaz de decifrar os códigos secretos das mensagens espanholas. Apaixonado por álgebra, François Viète viveu de 1540 até 1603 e passou para a história como o principal responsável pela introdução dos símbolos no mundo da matemática. Por isso, ficou conhecido como o Pai da Álgebra.

10. Resgate Histórico - Álgebra Além de Viète, outros matemáticos da mesma época deram suas contribuições para o aperfeiçoamento da álgebra. Entre eles, Robert Record, inglês que criou o símbolo (=) para a expressão (igual a). Esse sinal foi usado foi usado por Thomas Harriot, outro matemático inglês, responsável pela eliminação das poucas palavras que ainda restavam na álgebra de Viète.

11. Resgate Histórico - Álgebra A passagem para uma álgebra completamente simbólica foi obra de René Descartes, grande matemático e filósofo francês, que introduziu as seguintes inovações, aperfeiçoando a álgebra de Viète: 1) criou o símbolo (.) para a operação de multiplicação; 2) criou a notação que usamos hoje para os expoentes de uma potenciação 3) passou a usar as primeiras letras do alfabeto para os coeficentes da incógnita e os termos independentes (se literais) e as últimas letras para representar as incógnitas.

12. Resgate Histórico - Geometria A Geometria tem origem provável na agrimensura ou medição de terrenos, segundo o historiador grego Heródoto (século V a.C.). Contudo, é certo que civilizações antigas possuíam conhecimentos de natureza geométrica, da Babilonia à China, passando pelas civilizações Hindu. O termo "geometria" deriva do grego geometrein, que significa medição da terra: geo = terra, metrein = medição.

13. Resgate Histórico - Geometria Em tempos recuados, a geometria era uma ciência empírica, uma coleção de regras práticas para obter resultados aproximados. Apesar disso, estes conhecimentos foram utilizados nas construções das pirâmides e templos Babilônios e Egípcios. Mas é sem dúvida com os geometras gregos, começando com Tales de Mileto (624-547 a.C.), que a geometria é estabelecida como teoria dedutiva. O trabalho de sistematização em geometria iniciado por Tales é continuado nos séculos posteriores, nomeadamente pelos pitagóricos.

14. Resgate Histórico - Geometria A geometria denominada Euclidiana surge assim em homenagem a Euclides. Por volta do ano 300 a.C., Alexandre, o Grande, havia submetido todos os povos do Mediterrâneo. Alexandria, na foz do rio Nilo, torna-se a principal capital da cultura grega. É ali que o matemático Euclides (315 a.C.?-255 a.C.?) começa a colecionar as descobertas e os teoremas formulados por Tales, Pitágoras, Eudóxio, Zenão, Demócrito e outros grandes matemáticos gregos.

15. Resgate Histórico - Geometria Sistematiza essas descobertas em Os elementos, com 13 volumes, reunindo praticamente tudo o que a humanidade sabe até hoje sobre pontos, retas, planos, figuras geométricas elementares. A obra também sintetiza a aritmética até então conhecida, estabelece as primeiras relações algébricas e a primeira teoria dos números. Resume esses conhecimentos em dez premissas básicas cinco postulados e cinco axiomas.

16. x y Atividade Em uma fazenda, o proprietário deseja cerca uma área retangular que será destinada à criação de gado. Para isso, há 120 m de cerca disponível. Assim, o dono da fazenda pede ao seu funcionário: “use o material disponível de maneira que a área para a criação de gado seja a máxima possível”.

17. Atividade O funcionário entendeu que teria que encontrar as dimensões do retângulo que tornassem a área para a criação a maior possível. Além disso, ele percebeu que o perímetro da região para qualquer dimensão deveria ser o mesmo, pois a quantidade de cerca era de 120 m. Resolva o problema utilizando o programa computacional “The Geometers Sketchpad”.

18. 2 Area IJLK = 6,78 cm I J m IJ = 4,50 cm m IK = 1,51 cm m KL = 4,50 cm L K m JL = 1,51 cm Resultados Foram construídos alguns retângulos no programa “The Geometers Sketchpad”. O perímetro de todos os retângulos era o mesmo, 12 cm. Os resultados obtidos são apresentados a seguir:

19. 2 2 Area ABCD = 8,78 cm Area EFGH = 8,94 cm m EF = 2,99 cm m AB = 3,49 cm m FG = 2,99 cm m BC = 2,51 cm m GH = 2,99 cm m DC = 3,49 cm m EH = 2,99 cm m AD = 2,51 cm E F A B D C H G Resultados

20. Resultados Assim, foi possível observar que a área vai ser máxima quando os quatro lados medirem 3 cm cada um. Ou seja, a área é maior quando a região para a criação de gado for um quadrado.

21. Resultados Esperados Dimensões: x e y cerca: 2x + 2y = 120 y = 60 – x área: A = xy A = x . (60 – x) A(x) = -x2 + 60x

22. Resultados Esperados Para que a área seja máximo, é necessário encontrarmos o valor de x para o qual A(x) é máximo. Como o gráfico da função A(x) é uma parábola, esta terá seu valor máximo no vértice. Logo: xV = -60/ -2 . (-1) xV = 30 m y = 60 – x = 60 – 30 y = 30 m

23. Bibliografia • http://www.start.com.br/matematica • http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/licenciatura.html • http://www.somatematica.com.br • http://www.geometria.com.br Voltar