1 / 64

CHAPTER 1

CHAPTER 1. ELEMENTS OF LINIER ALGEBRA M A T R I K S. Matriks adalah suatu susunan angka/bilangan berbentuk persegi empat dan dinyatakan dalam bentuk berikut ini :. 1. MATRIKS. a 11 a 12 … a 1n a 21 a 22 … a 2n A = . . . . . .

kenyon-mcbride
Download Presentation

CHAPTER 1

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. CHAPTER 1 ELEMENTS OF LINIER ALGEBRA M A T R I K S

  2. Matriks adalah suatu susunan angka/bilangan berbentuk persegi empat dan dinyatakan dalam bentuk berikut ini : 1. MATRIKS a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n A = . . . . . . . . . am1 am2 … amn 1.1. Definisi Angka m dan n disebut dimensi. Jika m = n maka disebut matriks bujur sangkar.

  3. 1.1.2. Definisi Matriks n x 1 disebut vektor kolom dan matriks 1 x n disebut vektor baris. Baik vektor kolom atau vektor baris disebut n-vektor atau vektor. 1.1.3. Notasi Himpunan n vektor yang elemennya adalah bilangan rill dinotasikan dengan Rn kolom vektor. x1 x2 X = . . . xn Xt = [ x1 , x2 … xn ] Vektor baris

  4. 1.2. Operasi Matriks 1.2.1 Definisi : Dua Matriks A + B adalah sama jika dan hanya jika mereka memiliki dimensi yang sama dan aij = biji;j 1.2.2 Definisi : A + B adalah maktriks m x n. Penjumlahan A + B didefenisikan sebagai berikut : A + B = [ aij + bij ] Pengurangan didefinisikan sebagai berikut : A – B = [ aij – bij ] 1.2.3 Definisi : Perkalian skalar  dari matriks A adalah matriks A = [ aij ]

  5. 1.2.4 Definisi : x, y  Rn. Perkalian inti (inner product) dari x dan y didefinisikan dengan : xty =  xi yi n i=1 1.2.5 Komentar 1. Property (sifat) dari inner product dengan mudah dapat diverifikasi seperti berikut ini : (i) xty = ytx (ii) xt(y) = (x)ty = (xty) (iii) (x + y)tz = xtz + ytz (iv) xtx ≥ 0 ; xtx = 0 jika x = 0 2. Dua vektor bukan nol dapat saja memiliki suatu perkalian inti nol Contoh : xt = [1 -1] yt = (1 1), maka xty = 0

  6. 1.2.6 Contoh : xt = (x1, x2 … xn) mewakili vektor konsumsi untuk n barang dari seorang konsumen pt = (p1, p2 … pn) adalah vektor harga, maka inner product ptx= p1x1 + p2x2 + … + pnxn menunjukkan total pengeluaran konsumsi. 1.2.7 Definisi A adalah matriks m x n, B adalah matriks n x p. Hasil perkalian AB adalah matriks m x p C = [ Cij ] didefinisikan dengan Cij = ai . bj Dimana ai .bj adalah inner product dari baris ke i untuk matriks A dan kolom ke j untuk matriks B

  7. 1.2.8 Contoh : A = dan B = maka AB = = 1.2.9 Komentar (1) Perkalian matriks AB dapat dilakukan hanya ketika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Sehingga A x B dapat dinyatakan tetapi B x A mungkin tidak dapat. Jika A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah matriks 3 x 4 maka AB dapat diperoleh 2 x 4 tetapi BA tidak dapat dilakukan. 1 0 2 1 3 2 1 2 3 2 -1 0 a1.b1 a1.b2 a2.b1 a2.b2 14 8 0 -1

  8. (2) AB dan BA mungkin. Keduanya dapat diperoleh tetapi AB tidak perlu sama dengan BA Contoh : A = B = Maka AB = sedang BA = (3) Sistim persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk matriks. Contoh sistim persamaan : x1 + 3x2 – 2x3 = 1 -2x1 + x3 + x4 = 8 2x1 + 2x2 - 3x4 = 4 atau dituliskan sebagai berikut : 1 3 -2 0 x1 1 -2 0 1 1 x2 = 8 2 2 0 -3 x3 4 x4 1 2 -3 0 2 0 1 3 4 6 -6 0 2 4 -8 2

  9. 1.3. Sifat Aljabar Suatu Matriks 1.3.1 Definisi Matriks m x n yang memiliki elemen nol disebut matriks nol yang dinotasikan dengan [ 0 ] 1.3.2 Katakan A, B dan C adalah matriks m x n maka : (i) A + B = B + A (ii) A + B + C = A + (B + C) (iii) A + [0] = A = [0] + A 1.3.3 Theorema Jika A adalah matriks m x n, B adalah matriks n x p dan C adalah matriks p x q, maka A(BC) = (AB)C 1.3.4Theorema Bila ,   R (skalar), A adalah matriks m x n dan B adalah matriks n x p. maka (i) (A ) = ( )A (ii) A(B) = (AB)

  10. 1.3.5 Theorema (i) Katakan A dan B adalah matriks m x n, dan C adalah matriks n x p. maka, (A + B)C = AC + BC (ii) Katakan C adalah matriks m x n, dan A dan B adalah matriks n x p. maka, C(A + B) = CA + CB 1.3.6 Theorema Bila ,   R dan A, B adalah matriks m x n. maka : (i) ( + )A = A + A (ii) (A + B) = A + B 1.4. Transpose Suatu Matriks 1.4.1 Definisi Jika A adalah matriks m x n, kemudian transpose dari A adalah matriks n x m dari matriks B B = [ bij ] = [ aji ]

  11. 1.4.2 Contoh : Jika A = maka At = 1.4.3 Theorema (i) (At)t = A (ii) (A + B)t = At + Bt (iii) (A)t = At 1.4.4 Theorema (AB)t = BtAt 1 3 0 4 -2 5 1 0 -2 3 4 5 1.5. Determinan 1.5.1 Definisi Jika A = [ A11], maka | A | = A11 Contoh : A = [ - 3 ] | A | = -3 Jika A = maka | A | = a11a22 – a21a22 a11a12 a21a22

  12. 1.5.2 Definisi A matriks n x n. Minor Aij dinotasikan | Aij |, adalah determinan dari submatriks Aij dari A diperoleh dengan menghilangkan baris i untuk A dan kolom A untuk j A23= Cofactor dari Aij dinotasikan dengan Cij, diperoleh dengan : Cij = ( -1 )i+j | Aij | 1.5.3 Contoh : A = Minor A23 = = 8 – 14 = -6 Cofactor C23 = (-1)2+3(-6) = (-1)5(-6) = 6 3 4 5 0 1 2 6 2 1 3 4 6 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 7 8

  13. 1.5.4Theorema. Untuk setiap matriks 3 x 3 dari A  AijCij =  AknCkn, dimana i,n = 1,2,3 1.5.5 Theorema Katakan A adalah matriks n x n, kemudian  AijCij =  AknCkn, dimana i,n = 1,2,3, … n 1.5.6 Definisi Jika A adalah matriks n x n, kemudian |A| =  Aij Cij =  AknCkn 1.5.7. Contoh : 1 0 -2 (i) A = 3 1 4 5 2 -3 3 k=1 3 j=1 n j=1 n k=1 n j=1 n k=1

  14. |A| = a11C11 + a12C12 + a13C13 C11 = (-1)1+1 = 1 (-3 – 8) = -11 C12 = (-1)1+2 = -1 (-9 – 20) = 29 C13 = (-1)1+3 = 1 (6 – 5) = 1 |A| = 1(-11) + 0(29) – 2(1) = -13 1 4 2 3 3 4 5 -3 3 1 5 2 (ii) 1 0 0 4 -4 1 2 3 2 0 0 0 2 0 1 1 A =

  15. |A| = a12C12 + a22C22 + a32C32 +a42C42 = 0.C12 + 1.C22 + 0.C32 +0.C42 = 0 + 1.8 + 0 + 0 = 8 C22 = (-1)2+2 = 1 (0 + 0 + 8 – 0 – 0 – 0) = 1 (8) = 8  |A| = 8 1 0 4 1 0 2 0 0 2 0 2 1 1 2 1

  16. 1.6. Sifat Dasar Determinan 1.6.1 Theorema |At| = |A| 1.6.2 Theorema Jika B diperileh dari A dengan mempertukarkan dua baris (kolom) dari A, maka |B| = -|A| 1.6.3 Jika matriks A mempunyai 2 baris (kolom) yang sama, maka determinannya sama dengan nol 1.6.4 Jika B diperoleh dari A dengan mengalikan baris (kolom) matriks A dengan sebuah skalar maka |B| = |A| Contoh : a11 a12 … a1n A = a21 a22 … a2n ... … ... an1 an2 … ann

  17. B diperoleh dengan mengalikan baris pertama dengan , yaitu : a11 a12 … a1n B = a21 a22 … a2n an1 an2 … ann |B| = a11c11 + a22c12 + … + a1nc1n = |A| 1.6.5 Jika A adalah matriks n x n dan  adalah skalar maka : |A| = n|A| 1.6.6 Lemma Jika elemen dari baris (kolom) dari matriks A adalah perkalian dengan cofactor dari kolom (baris) lain sehingga menghasilkan penjumlahan sama dengan nol  arjCsj = 0 n j=1

  18. 1.6.7 Theorema jika r  s dan B adalah matriks diperoleh dari matriks A dengan mengganti baris (kolom) ke r dari A dengan (Ar. + As.) atau (A.r + A.s) maka |B| = |A| 1.6.8 Jika A dan B adalah matriks dengan ordo sama, maka |AB| = |A| |B| 1.6.9 Definisi Matriks bujur sangkar A dikatakan matriks segitiga atas jhj aij = 0 untuk i > j a11 a12 a13 … a1n 0 a22 a23 … a2n 0 0 a33 … a3n . . . . . . . . . . . . 0 0 0 … ann

  19. Matriks A adalah matriks segitiga bawah jhj aij = 0 untuk i< j a11 0 … 0 a21 a22 … 0 A =. . . . . . an1 an2 … ann 1.6.10 Jika A untuk matriks diagonal jika aij = 0 untuk i  j a11 0 … 0 a21 a22 … 0 A =. . . . . . 0 0 … ann 1.6.11 Theorema A disebut matriks diagonal jika determinan dari matriks segitiga adalah perkalian dari elemen diagonalnya

  20. 1.6.12 Komentar Sifatdeterminan yang dikemukakanpada section inimungkindapatdigunakanuntukmenghitungdeterminandenganmudahtanpamelaluiperhitungan minor dancofaktor. Utamanyakombinasitheorema 1.6.7 dan 1.6.11 Contoh : 1.5.7 1 0 -2 A = 3 1 4 buatmenjadimatriks diagonal 5 2 -3 Kalikanbaris 1 dengan -3 dantambahkankebariske 2; kalikanbaris 1 dengan -5 dantambahkankebariske 3 1 0 -2 0 1 10 Theorema 1.6.7 0 2 7

  21. Kalikan baris ke 2 dengan -2 dan tambahkan ke baris ke 3 1 0 - 2 0 1 10 = -13 Theorema 1.6.11 0 0 -13 1.7. Invers matriks bujur sangkar 1.7.1 Definisi Matriks I = (Iij) adalah matriks n x n 1, i = j 0, i  j matriks di atas adalah matriks identity dengan ordo n 1.7.2 Remark Jika A dan I mempunyai ordo sama, maka AI = A = IA Iij =

  22. 1.7.3 Defenisi Invers matriks A dengan ordo n x n adalah matriks B dengan ordo n x n sehingga : AB = BA = I 1.7.4 Contoh -1 -2 3 2 2 3 -2 -1 B adalah invers dari A jika : -1 -2 3 2 1 0 2 3 -2 -1 0 1 dan 3 2 -1 -2 1 0 -2 -1 2 3 0 1 B = A = = = I AB = BA = = = I

  23. 1.7.5 Komentar Tidak semua matriks bujur sangkat memiliki invers, contoh : 1 1 1 1 a b c d BA = I a b 1 1 1 0 c d 1 1 0 1 atau a + b = 1 a + b = 0 c + d = 0 c + d = 1 Sehingga tidak ada matriks B seperti BA = I Akibatnya, A tidak memiliki invers A = dan B = adalah Invers A, maka = sistim persamaan ini tidak memiliki solusi

  24. 1.7.6 Theorema Invers suatu matrik adalah unik Bukti : jika B dan C adalah invers A, maka AB = BA = I, AC = CA = I Sekarang, B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C 1.7.7Notasi. Invers matriks bujur sangkar dinotasikan dengan A-1 (A inverse) 1.7.8 Definisi Suatu matriks bujur sangkar dikatakan non-singular jhj memiliki suatu invers 1.7.9 Theorema Jika A dan B adalah matriks non-singular dengan memiliki ordo yang sama, maka demikian pula AB dan (AB)-1 = B-1A-1

  25. Bukti : Pertama : A-1 dan B-1 keduanya exist karena A dan B adalah non singular, sekarang (AB) (B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = AIA-1 = AA-1 = I (B-1A-1) (AB) = B-1(A-1A)B = B-1IB = BB-1 = I sehingga, B-1A-1 adalah invers dari AB 1.7.10 Theorema Jika A adalah non-singular, maka demikian pula A-1 dan (A-1)-1 = A 1.7.11 Theorema. Jika A adalah non-singular, maka demikian pula At dan (At)-1 = (A-1)t Bukti : A non singular, maka : (A-1)A = I , AA-1 = I , (AB)t = BtAt dari Theorema 1.4.4 diperoleh (At)(A-1)t = It = I, (A-1)t(At) = It = I Dengan demikian (At)-1 = (A-1)t

  26. 1.8. Linier Independen dan Non-Singular 1.8.1 Definisi S = {X1, X2, … ,Xk} adalah himpunan vektor dari Rn suatu vektor X  Rn dikatakan linier kombinasi dari vektor dalam S jhj terdapat skalar 1, 2, … , k Seperti X = 1X1 + 2X2 +… + kXk 1.8.2 Contoh (1) Andaikan vektor dalam R2 di bawah ini : X1 = X2 = X3 = Vektor X = adalah linier kombinasi dari X1, X2 dan X3 jika terdapat skalar 1 , 2 dan 3 seperti X = 1X1 + 2X2 + 3X3 yaitu: 1 + 2 + 3 = 2 1 1 1 1 0 1 2 2 1 1 0 1 1 1 2

  27. Atau 21 + 2 + 3 = 1 1 + 3 = 2  1 = 2 - 3 2 = -21 - 3 + 1 2 = -2 (2 - 3) - 3 + 1 2 = 1 - 4 + 23 - 3 2 = -3 + 3 Dengan memilih 3 = 0, 1 = 2 dan 2 = -3, kita lihat bahwa X adalah linier kombinasi dari X1, X2 dan x3 (2) Andaikan vektor dalam R3 di bawah ini Apakah vektor X = adalah linier kombinasi dari X1, X2 dan X3 ? 1 1 0 2 3 0 0 1 0 X1= X2= X3= 1 2 3

  28. Jika benar, maka kita dapat menemukan skalar 1, 2, 3 sebagai berikut : atau : 1.1 + 2.2 + 3.0 = 1 1.1 + 2.3 + 3.1 = 2 1.0 + 2.0 + 3.0 = 3 Tidak ada skalar 1, 2, 3 yang memenuhi persamaan tiga, akibatnya X tidak dapat menjadi linier kombinasi dari X1, X2 dan X3 1.8.3 Remark (1) Definisi linier kombinasi hanya membutuhkan eksistensi skalar i. Koefisien ini tidak perlu unik. Pada contoh 1.8.2 (i) di atas dapat dibuat 3=1, 2=-2 dan 1=1 atau 3=3, 2=0 dan 1=-1 1 1 0 2 3 0 0 1 0 1 2 3 1 + 2 = + 3

  29. (2) Suatu sistim persamaan linier dapat dinyatakan sebagai suatu linier kombinasi dari vektor. Contoh : a11X1 + a12X2 + … + a1nXn = b1 a21X1 + a22X2 + … + a2nXn = b2 . . . . . . am1X1 + am2X2+ … + amnXn = bm Dapat ditulis seperti : a11 a21 a31 . . . am1 a12 a22 a32 . . . am2 a1n a2n a3n . . . amn b1 b2 b3 . . . bm X1+ X2+ … + Xn=

  30. 1.8.4 Definisi Katakan S = {X1, X2, … Xn} adalah himpunan dari vektor jarak Rn. S dikatakan linier dependent jhj terdapat skalar 1, 2 … k tidak semua nol seperti 1X1+ 2X2+ … + kXk= 0 Sebaliknya, S dikatakan linier independent jhj 1X1+ 2X2+ … + kXk= 0 yang mengakibatkan 1= …… = k= 0 1.8.5 Contoh (i) Andaikan S terdiri dari vektor berikut X1 = X2 = 1 2 2 4

  31. Untuk melihat S adalah linier dependent, kita harus temukan skalar 1, 2, (tidak semua sama dengan nol) yaitu : 1 + 2 = 1 + 22 = 0  1 = -22 => 2 = 1; 1 = -2 21 + 42 = 0  Semua nilai juga memungkinkan Sehingga S adalah Linier dependent (ii) Katakan S terdiri dari vektor berikut : X1= X2=X3= Untuk melihat linier dependent atau tidak lihat persamaan ini : 0 0 2 4 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1

  32. 1 + 2 + 3 = Atau : 1.1+ 2.0 + 3.0 = 0 1.0+ 2.1+ 3.0 = 0 1.0+ 2.0 + 3.1 = 0 sehingga 1,2,3 = 0 dan S adalah Linier Independent 1.8.6 Theorema Himp vektor S = {X1, X2, X3, … Xk} adalah linier dependent jhj setidaknya satu vektor dalam S adalah linier kombinasi satu sama lainnya. 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

  33. Bukti : => Andaikan himpunan S adalah linier dependent kemudian terdapat skalar 1, 2, … , k tidak semua nol (katakan 1  0) yaitu : 1X1+ 2X2+ 3X3+ … + kXk= 0 sekarang, X1 = - X2 - … - Xk memperlihatkan bahwa X1 adalah suatu linier kombinasi dari X2, X3, … Xk. => Andaikan bahwa suatu vektor, katakan X1 adalah linier kombinasi dengan lainnya. contoh : X1 = 2X2 +  3X3 + … +  kXk Maka, 1X1 – 2X2 – 3X3 – … – KXk = 0 2 1 k 1

  34. Ini menunjukkan ada skalar 1=1, 2=-2, … , k= -k (Tidak semua nol karena 1  0) seperti : 1X1+ 2X2+ … + kXk= 0 Sehingga S adalah linier dependent 1.8.7 Komentar (1) Secara geometrik linier dependensi untuk 2 vektor pada R2 menunjukkan bahwa vektor terletak pada garis yang sama melalui origin. Jika 1X1+ 2X2= 0 dengan   0, maka X1 = X2; Sehingga X1 adalah suatu perkalian skalar X2. Pada R3, 3 vektor adalah linier dependent jika mereka terletak pada plane yang sama. 2 1

  35. 1.8.7 Theorema Suatu matriks bujursangkar adalah non-singular jhj vektor kolomnya adalah linier independent Bukti : Andaikan A adalah suatu n x n non-singular matriks. Kita ingin menunjukkan bahwa vektor kolomnya a1,a2,… an adalah linier independent, yaitu : 1a1 + 2a2 + … + nan = 0 mengakibatkan 1 = 2 = 3 = … = n = 0 Persamaan tersebut dapat ditulis a11 a21 . . . an1 a12 a22 . . . an2 a1n a2n . . . ann 0 0 . . . 0 + … + n = 1 + 2

  36. Atau atau A = 0 dimana  = [1, 2, … , n]t karena A adalah non-singular maka A-1A = A-10 I = 0  = 0 yang mana memperlihatkan bahwa : 1 = 2 = … n = 0 a11 a21 . . . an1 a12 a22 . . . an2 … … a1n a2n . . . ann 0 0 . . . 0 1 2 . . . n =

  37. 1.8.9 Corellary Matriks bujursangkar A adalah non-singular jhj vektor barisnya adalah linier independent Bukti : Dalam theorema 1.7.11, A adalah non-singular jhj At adalah non-singular. Tetapi dengan theorema 1.8.8, At non-singular jhj vektor kolomnya adalah linier independent dan vektor kolom At adalah vektor baris A. Dengan demikian lihat 1.8.10. 1.8.10 Theorema A adalah singular jhj |A| = 0 1.8.11 Remark Dengan kata lain, theorema 1.8.10 mengatakan bahwa A adalah non-singular jhj |A|  0

  38. 1.9. Inverse Matriks 1.9.1 Definisi Cofactor suatu matriks Anxn adalah Dimana Cij adalah cofactor aij 1.9.2 Definisi Matriks Adjoint dari A adalah transpose dari matriks kofactor A, yaitu : Adj A = (Cof A)t 1.9.3 Theorema Jika A adalah non-singular, maka A-1 = adj A C12 C22 . . . Cn2 … … C11 C21 . . . Cn1 C1n C2n . . . Cnn Cof A = 1 |A|

  39. 1.10. Persamaan Linier Simultan 1.10.1 Definisi Katakan A adalah matriks m x n, X adalah suatu n vektor, dan b suatu m vektor. Solusi persamaan AX = b adalah vektor X yang memenuhi persamaan. Jika Ax = b tidak memiliki solusi, maka dikatakan tidak konsisten. Jika memiliki solusi disebut konsisten. Matriks [A : b] disebut matriks augmented. 1.10.2 Defenisi Persamaan AX = 0 dinamakan persamaan homogeneous. Solusi X = 0 pada persamaan homogeneous disebut trivial solution sedang solusi X ≠ 0 disebut solusi non-trivial. 1.10.3 Definisi Rank baris (kolom) suatu matriks adalah jumlah maksimal baris (kolom) yang liniearly independent 1.10.4 Theorema Rank baris dan rank kolom suatu matriks adalah sama.

  40. 1.10.5 Komentar (1) Kita merefer rank baris dan rank kolom suatu matriks sebagai rank baris saja (2) Jika I adalah n x n maka rank (I) = n (3) Jika Amxn, maka rangk (A) ≤ min {m,n} 1.10.6 Theorema Matriks Anxn adalah non singular jhj rank A = n 1.10.7 Theorema Katakan A adalah nxn matriks. Kemudian AX = 0 memiliki solusi trivial jhj rank A < n 1.10.8 Remark Cara lain menyatakan theorema 1.10.7 adalah dengan menyatakan bahwa AX=0 memiliki solusi non-trivial jhj A adalah singular. 1.10.9Theorema. Katakan A adalah matriks mxn. AX = b adalah konsisten jhj rank (A) = rank ([A : b]) 1.10.10 Theorema Katakan A adalah matriks non-singular maka AX = b memiliki solusi unique ditentukan dengan X = A-1b

  41. 1.10.11 Theorema (Cramer’s rule) Ditentukan persamaan AX = b, dimana A adalah non-singular. Katakan A adalah matriks diperoleh dari A dengan mengganti A.j dengan b. Jika X adalah solusi dari AX = b, maka Xj = Bukti : Untuk penyederhanaan, A3x3 X = A-1b = (adj A) b = |jA| |A| 1 |A| X1 X2 X3 C11 C12 C13 C21 C22 C23 C31 C32 C33 b1 b2 b3 1 |A|

  42. Atau 1 |A| (b1C11 + b2C21 + b3C31) 1 |A| X1 X2 X3 (b1C12 + b2C22 + b3C32) = 1 |A| (b1C13 + b2C23 + b3C33) b1 b2 b3 a12 a22 a32 a13 a23 a33 Sekarang 1A = Evaluasi |1A| dengan kolom pertama diperoleh |1A| = b1C11 + b2C21+ b3C31 Dimana C11, C21, C31 adalah juga cofactor untuk kolom pertama A. Sama halnya |2A| = b1C12 + b2C22+ b3C32 |3A| = b1C13 + b2C23+ b3C33

  43. Sehingga |1A| |A| |2A| |A| X1 X2 X3 = |3A| |A| 1.10.12 Contoh Sebuah Model Makroekonomi Yt = Ct + It + Gt Ct = 0 + 1Yt (0 > 0, 0 < 1 < 1) It = 0 + 1Yt-1 + 2Yt Menulis ulang model Yt – Ct – It = Gt -1Yt + Ct = 0 -2Yt + It = 0 + 1Yt – 1

  44. Atau 1 -1 -1 -1 1 0 -1 0 1 Yt Ct It Gt 0 0+ 1Yt-1 = Katakan -1 0 1 -1 1 0 1 -1 2 A = |A| = 1 - 1 - 2 Asumsikan tidak sama dengan nol sehingga A-1 dapat dihitung : 1 1 1-1 1 1-2 2 1 1 2 1 1 - 1 - 2 A-1 =

  45. Sekarang Yt Ct = It 1 1 2 1 1-2 2 1 1 1-1 1 1 1-1 Gt 0 0+ 1Yt-1 1 1 - 1 - 2 = Disini diperoleh 1 1 - 1 - 2 Yt = (Gt + 0 + 0 + 1Yt-1) 1 1 - 1 - 2 Ct = (1Gt + (1 – 2)0 + 1 (0 + 1Yt-1) 1 1 - 1 - 2 It = (2Gt + 20 + (1- 1)(0 + 1Yt-1)

  46. Reduce form menyatakan 1 unit  Gt    Pendapatan nasional sebesar Konsumsi sebesar Investasi sebesar Dapat pula diselesaikan dengan cara cramer rule 1 1-1-2 1 (1-1- 2) 2 (1-1- 2) 1.10.13 Contoh model sederhana pendapatan nasional Yi = Ci + Ii + Gi + Xi – Mi (i = 1,2,3) (1-3) fungsi konsumsi setiap negara Ci = kiYi , 0 < ki < 1 (1-4) fungsi impor negara i dan negara j adalah Mji = 1iYi , 0 ≤ ji < 1

  47. Total impor negara i adalah Mi = 1iYi + 2iYi + 3iYi = (1i + 2i + 3i) Yi = iYi …………………………………………………. (1-5) Dimana I = 1i + 2i + 3i (catatan 1i =0, i = 1,2,3) Asumsi 0 ≤ i < ki < 1 Dengan definisi, impor negara i dari j adalah export negara j ke i sehingga : Xi = i1y1 + i2y2 + i3y3 ……………………………. (1-6) Substitusi (1-4), (1-5), (1-6) ke dalam (1-3) diperoleh : yi = kiYi + Ii + Gi + (i1y1 + i2y2 + i3y3)- iyi Catatan ii = 0 y1 = (k1-1)y1 + 12y2 + 13y3 + I1 + G1 y2 = 21y1 + (k2-2y2) + 23y3 + I2 + G2 y3 = 31y1 + 32y2 + (k3-3)y3 + I3 + G3

  48. y1 y2 y3 k1-1 21 31 12 k2=2 32 13 23 k3-3 y1 y2 y3 I1 + G1 I2 + G2 I3 + G3 = + y = By + d ; Jika [I – B] non singular, maka y = [I – B]-1 d 1.11. Eigen Value dan Eigen Vectors 1.11.1 Definisi Katakan Anxn, eigen value (karakteristik value) dari A adalah suatu skalar  yaitu terdapat vektor tak nol X  Rn memenuhi AX = X. Vektor X disebut eigen vektor diasosiasikan dengan .

  49. 1.11.2 Contoh Skalar 1 = 2 adalah eigen value A sejak vektor tidak nol X = memenuhi persamaan AX = 2X. Skalar 2 = 3 juga eigen value A karena vektor X = memenuhi persamaan AX = 3X. 1.11.3 Remark Eigen vektor X diasosiasikan dengan eigen value  adalah tidak unik. Jika  adalah skalar tidak nol maka A(X) = (AX) = (X) = (X) sehingga X adalah eigen vektor berasosiasi dengan . Eigen value matriks bujursangkar A dapat diperoleh dengan menggunakan theorema berikut 1 2 -1 4 A = 1 -1 1 -2

  50. 1.11.4 Theorema Skalar  adalah eigen value A jhj (A - I) = 0 Bukti : => Jika  adalah eigen value A, maka AX = X untuk X ≠0, sehingga (A - I)X = 0 sejak X ≠ 0, maka [A-I] adalah singular (komentar 1.10.8), akibatnya |A-I|=0 => Jika |A-I|=0 maka A-I adalah singular sehingga [A-I]X =0 memiliki solusi non-trivial X ≠ 0 yaitu : (A - I)X =0 AX - X =0 AX = X Ini mengikuti bahwa  adalah eigen value dari A 1.11.5 Definisi Persamaan |A - I| = 0 disebut persamaan karak-teristik A dan |A-I| adalah karakteristik polynomial A

More Related