第一章

1. 第一章 邏輯與證明、集合和函數

2. 1.1命題(proposition) • 命題 • 一個或為真貨為假，但不能既真又假的陳述語言 • 範例 • 下列句子均為命題 • 華盛頓特區是美國的首都 • 多倫多是加拿大的首都 • 1+1=2 • 2+2=3 • 若一命題為真命題，它的真值為真，以T表示 • 若一命題為假命題，它的真值為假，以F表示 • 從既存的命題以邏輯運算組合而成的新命題就稱複合命題

3. 定義 • 令P為命題。句子”不是P那樣“ • 是另一個命題，稱為P的否定。 • P的否定記號為¬P 。而命題¬P 則稱讀作“非P”

4. 命題 • 命題 (proposition) 為一種敘述句型，可能真確，也可能錯誤。 • 若一命題在所有情況下皆為真確，便稱之為真理 (tautology)；而一命題在所有情況下為錯誤，便稱之為矛盾 (contradiction)。 • 若p和q兩命題，當p為真，q亦真；當p為偽時，q亦偽，且反之亦然，則稱p, q兩命題等價 (equivalent)。

5. 設p和q為兩個命題。 • 定義p和q的交錯 (disjunction；交替) 命題亦為一命題，當p或q有一為真時，其值為真； • 當p和q皆為偽時，其值為偽，我們以符號pq表之。 • 設p和q為兩個命題。 • 定義p和q的連接 (conjunction) 命題亦為一命題， • 當p及q兩者皆為真時，其值為真； • 其他情況，其值皆為偽，我們以符號pq表之。

6. 設p為一命題， • p之否定 (negation) 命題，亦為一命題， • 當p為真時，其值為偽；當p為偽時，其值為真，以符號 ¬p表之。 • 一命題若是由其它的命題所組合而成的 • 一般稱為「複合 (compound) 命題」。 • 反之，一個命題若不是由其他命題所組成的，就稱之為「原子命題」(atomic proposition)。 • 換句話說，一個複合命題是由一些原子命題所組合成的。

7. 邏輯運算符號

9. 設p和q為二命題，上例所介紹的也是p和q的組合命題「若p則q」，現在就將幾種組合定義如下：設p和q為二命題，上例所介紹的也是p和q的組合命題「若p則q」，現在就將幾種組合定義如下： • 命題「若p則q」，以符號表之p→q，若p和q都為真；或p值為偽，其值為真。 • 若p值為真，q值為偽，其值為偽。命題「若p則q」亦可讀做「p演繹 (implies) q」。

15. 蘊 涵 • AB • 蘊涵（implication） • A 蘊涵 B • A 是 B 的充分條件（sufficient condition） • B 是 A的必要條件（necessary condition） • 我們稱 A 為前提（antecedent）、B 為結論（consequent）

16. 蘊 涵

17. 蘊 涵

18. 若p,則q  p蘊含q • 若p,q  p惟若q • P是q的充分條件  q的充分條件是p • q若p  q每當p • q當p  q是p的必要條件 • q的必要條件是p  q因p

19. 1.2 命題等價 • 複合命題裡 • 該複合命題的真值都永遠為真,則我們稱為永真式(tautology) • 該複合命題的真值都永遠為假,則我們稱為矛盾式(contradiction) • 既不是永真式也不是矛盾式的命題稱為可能式(contingency)

21. 等 價 • 等價（equivalence） • AB • Aif and only ifB，簡稱A iff B • 中文唸做 A 若且唯若 B • 是命題 (AB)(BA) 的縮寫。

22. 等 價

23. 等 價

24. 邏輯等價 • 若P  Q 是永真式,則命題P和Q稱為邏輯等價 • 以PQ表示P和Q邏輯等價

27. 邏 輯

28. 否 定

29. 範 例 • 請寫下命題公式 ~(AB)  (~A~B) 的真值表。

30. 範 例 • 如果我們的命題當中有 n 個命題字母而且我們要為這個命題寫出真值表，那麼這個真值表將有多少個橫列？

31. Topic #1.1 – Propositional Logic: Equivalences Ex.證明 pq  (p  q). F T T T F T T F F T T F T F T T F F F T

32. 永 真 式 與 永 假 式 • 永真式 • 永假式

33. 永 真 式 • PQ 為永真式，若且唯若 P=Q • 如果永真式中間所使用的是連結運算子””，則左右兩個命題等價。 • 換句話說，左右兩個命題相等。 • ~(AB)(~A~B) 的真假值永遠是真，因此 ~(AB) 與 (~A~B) 等價 • 或者說 ~(AB) 等於 (~A~B) • 我們一般也寫成 ~(AB)=(~A~B)

34. 永 真 式

35. 永 真 式 • 當一個複合命題的字母數過多時，利用真值表來證明一個命題是永真式並不方便。 • 假設我們現在有一個 AB 的命題，其中 A 跟 B 本身都是複合命題。 • 除了用真值表來判定 AB 是否為永真式外，我們還有一個更快的方法：反證法。

36. 永 真 式 • 我們假設 AB 不是永真式 • 因此我們等於是假設 A 與 B 存在一種組合使得 AB 為假 • 亦即，當 A 是真時 B 卻是假的 • 然後再去證明這將導致矛盾產生。

37. 永 真 式 • 讓我們看命題 (PQ)(~Q~P)。這裡 A 是 PQ 而 B 則是 ~Q~P • 我們要證明這個命題是永真式。 • 我們假設它不是，然後再證明如果不是的話，某些基本命題將既是真也是假，而這是矛盾的。 • 藉此我們證明它是永真式。

38. 永 真 式 • 假設 (PQ)(~Q~P) 不是永真式，則存在當(PQ) 為真時 (~Q~P) 為假。我們因此指派真假值： • PQ真 • ~Q~P假 • 從第二個指派，我們知道 • ~Q真 • ~P假 • 亦即 • Q假 • P真

39. 永 真 式 • 但是，如果 P 為真且 PQ 為真，則 Q 必須為真。 • 結果，Q 必須同時為真與假。這產生矛盾。 • 因此，(PQ)(~Q~P) 是永真式。

40. 邏 輯

41. 邏 輯

42. 1.3 述詞與量詞 • 述詞 • 含變數的子句 • X>3, x=y+3 和 x+y=z • 第一部份,變數X是句子的主詞 • 第二部份, X>3是述詞 • 我們可以用P(x)表示句子“x>3” • P(x)也可說是命題函數

43. 範例 • 令P(X)表示句子”x>3”,P(4)和P(2)的真值為何? • 解答 • 在”x>3”中,讓x=4即可得到P(4),因此P(4),即”4>3”為真 • 在”x>3”中,讓x=2即可得到P(2),因此P(2),即”2>3”為假

44. 範例 • Q(x,y)表示句子”x=y+3”,命題Q(1,2)和Q(3,0)的真值為何? • Sol: • Q(1,2): 1=2+3 假 • Q(3,0):3=0+3 真

45. 量詞 • 定義 • P(X)的全稱量化是下列命題: “對於論域中所有的X而言,P(X)為真” • 符號 xP(x) “對所有XP(X)”或“對每個XP(X)” • 定義 • P(X)的存在量化是下列命題: “在論域中存在一個使得P(X)為真的元素 X而言” • 符號 xP(x) “有一個X使得P(X)” 或“至少有一個 X使得P(X)”

46. 範例 • 令P(X)表示句子”x>3”,若論域是所有實數,則xP(x)的真值為何? • Sol: • 因為“X>3”在x=4為真,P(X)的存在量化xP(x)為真 • 範例 • 令P(X)表示句子”x+1>x”,若論域是所有實數,則xP(x)的真值為何? • Sol: • Up因為所有實數, P(X)為真 xP(x)為真

47. 量詞

48. 量詞的否定

49. 巢狀量詞 • 範例 • 假設變數X和Y的論域是所有實數,語句 xy(x+y=y+x) 指的是對所有實數X和Y,x+y=y+x皆成立 • 範例 • 用量詞表示句子“有一位搭過世界上每家航空公司飛機的女士” 令P(w,f)為”W搭過班機f”和Q(f,a)為“f是航空公司a飛機” waf(p(w,f)Q(f,a))

50. 轉譯“除了零之外的每個實數都有乘法的反元素”轉譯“除了零之外的每個實數都有乘法的反元素” • x((x0) y(xy=1)) • 轉譯“兩個正整數的和是正整數” • x y((x>0)  (y>0) y(x+y>0))