ネットワーク理論 Text. Part 3 pp. 57-104

1. ネットワーク理論Text. Part 3 pp. 57-104 • 最短路問題 pp.58-84 • Ford法,双対問題とポテンシャル，Bellman方程式とBellman-Ford法 • 負の費用をもつ閉路がある場合，閉路を含まない場合 • 最大流問題 pp.85-94 • 最小費用流問題 pp.95-104 1

2. 飛脚に払う費用 （単位は両） 大名の例題 終点 始点 2

3. cは枝集合Ｅから 非負の実数全体への写像 点とそれに接続する 枝が交互に並んだもの 最短路問題（定義） • 点集合 V • 枝集合 E • 有向グラフ G=(V,E) • 枝の費用 c: E → R+ • 目的：始点sから終点tまでの最小費用のパス 最短路 3

4. 氷を運びますか？ Ford法（アイディア） 費用=10（両） 宿場１ 富士山 氷の価格=0（両） 氷の価格=9（両） 氷の価格=10（両） 氷の価格=11（両） 4

5. 点のポテンシャル y : V→ R 氷を運びますか？ ywがyv＋cvw以上なら 飛脚は氷を運ぶ！ y は点集合 V から 実数全体への写像 アイディアの形式化小売価格＝ポテンシャル 費用=cvw 点w 点v 氷の価格=yv（両） 氷の価格= yw（両） 5

6. 「小売価格の見直し」操作 費用=10（両） 宿場１ 富士山 氷の価格=0（両） 小売価格が 適正でない！ 氷の価格=13（両） 小売価格の 見直し 氷の価格=10（両） 6

7. Ford法（飛脚組合バージョン） • 富士山の氷の価格=0；他の宿場町の氷の価格＝∞ • while 小売価格が適正でなければ．．． do • （wにおける）価格が適正でない枝 vw に対して「小売価格の見直し」 7

8. 解いてみよう！（１） 8

9. 解いてみよう！(２） ∞ ∞ 0 ∞ ∞ 9

10. 解いてみよう！(３） ∞ ∞ 0 価格が適正でない ∞ ∞→5 10

11. 解いてみよう！(４） ∞ ∞→10 0 価格が適正でない ∞ 5 11

12. 解いてみよう！(５） ∞ 10→8 0 価格が適正でない ∞ 5 12

13. 解いてみよう！(６） ∞ 8 0 価格が適正でない ∞→7 5 13

14. 解いてみよう！(７） ∞→13 8 0 価格が適正でない 7 5 14

15. 解いてみよう！(８） 13→9 8 0 価格が適正でない 7 5 15

16. 解いてみよう！(９） 9 8 0 全ての価格が 適正になった 7 5 16

17. ポテンシャルの実行不能，実行可能 • 小売価格＝ポテンシャル • ポテンシャルが実行不能（小売価格が適正でない） • ポテンシャルが実行可能（小売価格が適正） 17

18. Ford法 集合の差演算 • ys:=0， yv :＝∞, • While ポテンシャル yが実行不能 do • yw>yv+cvwを満たす枝を見つけてyw:=yv+cvw 18

19. 双対問題とポテンシャル-まずは線形計画として定式化-双対問題とポテンシャル-まずは線形計画として定式化- • 変数 xvw: 最短路（最適パス）が枝vwを使うなら１，それ以外なら0 • 例：始点 s に対して，xs1=0, xs2=1　（８ページ目のスライド参照）xがパスを表すためには．．．始点 s から飛脚が１人出ていく！xs1+xs2=1 19

20. 線形計画として定式化２ • xがパスを表すためには．．．点1に飛脚が入ってきたら出ていかなければならない！xs1+x21 -x12-x1t =0 • 点2に飛脚が入ってきたら出ていかなければならない！xs2+x12–x21-x23 =0 • 点3に飛脚が入ってきたら出ていかなければならない！x23-x3t =0 • 終点tには飛脚が入ってくる！ x1t+x3t =１ 20

21. 線形計画として定式化３ • パスに含まれている枝の費用の合計は最小化 最小化10xs1+5xs2+2x12+x1t+3x21+2x23+6x3t条件 -xs1- xs2 =-1 xs1 - x12-x1t+ x21 =0 xs2+ x12 - x21- x23 =0 x23- x3t =0 x1t + x3t =1 21

22. 双対問題を作ってみよう！ • 絶対に失敗しない方法 (Lagrange緩和を用いる！） まず，主問題のそれぞれの制約式に対応する双対変数を用意 22

23. 双対問題を作ってみよう！ 最小化10xs1+5xs2+2x12+x1t+3x21+2x23+6x3t条件 -xs1- xs2 =-1 xs1 - x12-x1t+ x21 =0 xs2+ x12 - x21- x23 =0 x23- x3t =0 x1t + x3t =1 ×ys ×y1 ×y2 ×y3 ×yt (xs1+xs2-1)×ys (-xs1+x12+x1t-x21)×y1 (-xs2-x12+x21+x23)×y2 (-x23+x3t)×y3 (-x1t-x3t+1)×yt 任意の実数 （負でも良い） =0 23

24. 双対問題を作ってみよう！ 最小化 10xs1+5xs2+2x12+x1t+3x21+2x23+6x3t +(xs1+xs2-1)ys+(-xs1+x12+x1t-x21)y1 +(-xs2-x12+x21+x23)y2+(-x23+x3t)y3 +(-x1t-x3t+1)yt 条件 主問題と同じ =0 任意の実数 この部分は0 24

25. 双対問題を作ってみよう！ 目的関数をyについてまとめる 最小化 yt-ys +(10+ys-y1)xs1+(5+ys-y2)xs2+(2+y1-y2)x12 +(1+y1-yt)x1t+(3+y2-y1)x21 +(2+y2-y3)x23+(6+y3-yt)x3t 条件 主問題と同じ 25

26. 最小化 最適値 最大化 下界（目的関数に加えた項の 合計は０，式を緩和したので） 双対問題を作ってみよう！ 目的関数に加えた制約を全て緩和 下界を与える 最小化 yt-ys+(10+ys-y1)xs1+(5+ys-y2)xs2+(2+y1-y2)x12 +(1+y1-yt)x1t+(3+y2-y1)x21+(2+y2-y3)x23+(6+y3-yt)x3t 条件 xは0以上 0以上でないと 発散してしまう 26

27. 双対問題 ポテンシャルが実行可能である条件 小売価格が適正 双対問題 最大化 yt-ys 条件 27

28. 双対問題の意味合いを考えてみよう（ポテンシャルと双対変数の関係）双対問題の意味合いを考えてみよう（ポテンシャルと双対変数の関係） • 双対変数yは宿場町での氷の小売価格（ポテンシャル）を表す． • 双対問題の目的関数は，江戸と富士山の小売の価格（ポテンシャル）の差の最大化を表す． • 双対問題の制約式は，小売価格が適正（ポテンシャルが実行可能）であることを表す． 28

29. Bellman方程式とBellman-Ford法-双対問題を眺めてみよう！-Bellman方程式とBellman-Ford法-双対問題を眺めてみよう！- よりy1=min{ys+10,y2+3}である． 同様に y2=min{ys+5,y1+2}, y3=min{y2+2}, yt=min{y1+1,y3+6} 29

30. Bellman方程式 Bellman方程式 つまり次式を満たすyを求めれば良い． 30

31. y1=min{10,y2+3} y2=min{5,y1+2} y3=y2+2 yt=min{y1+1,y3+6} Bellman方程式を解こう１ ys=0（富士山sの小売価格は０） y1=min{ys+10,y2+3} y2=min{ys+5,y1+2} y3=min{y2+2} yt=min{y1+1,y3+6} 31

32. Bellman方程式を解こう２ y1=min{10,y2+3}を y2=min{5,y1+2} に代入 y2=min{5,min{10,y2+3}+2} 整理して y2=min{5,min{12,y2+5}} もっと整理して y2=min{5,12,y2+5}；よって y2 =5 32

33. Bellman方程式を解こう３ y2 =5 がわかったので．．． y1=min{10,y2+3}より y1=min{10,5+3} =8 y3=y2+2 より y3=5+2=7 yt=min{y1+1,y3+6}より yt= min{8+1,7+6}=9 より系統的な方法はないものか？ （手計算でなくコンピュータでもできるように！） 33

34. 点wにk+1本の枝を経由してくるときの費用 点vにk本の枝を経由してくるときの 費用にvからwへ移動の費用を加えたもの 点wにk本の枝を経由 してくるときの費用 Bellman方程式（修正版） yv(k)=始点sから，たかだかk本の枝を経由し， 点vに至る最適パスの費用 34

35. Bellman方程式（修正版）をもとにしたFord法-Bellman-Ford法-Bellman方程式（修正版）をもとにしたFord法-Bellman-Ford法- Bellman-Ford法を言葉で書くと．．． k＝０のときは簡単！ ys(0)=0（始点 s までは枝 0 本で費用０） yv(0)=∞（s以外の点vには，枝 0 本では行けない） これを初期条件として．．． k=1,2,3,4（点の数から１を減じた回数だけ；なぜか？） の順にy(k) を計算する． 35

36. Bellman-Ford法の適用例 表の値はyv(k) 0 0 0 0 8 10 8 8 5 5 5 5 最適値 7 ∞ 7 7 9 ∞ 11 9 36

37. Bellman-Ford法 ys(0):=0, yv(0):=∞, for k=0 to n-1 do yw(k+1):=yw(k) ,∀w ∈V for all do if yv(k)+cvw<yw(k) then yw(k+1):=yv(k)+cvw 37

38. Bellman-Ford法の適用例最適パスを記憶する場合 sからきたことを表す 表の値はyv(k)と直前の点pr（Previousの略） 38

39. Bellman-Ford法の適用例 sからきたことを表す 0 0 0 0 10 s 8 2 8 2 8 2 5 s 5 s 5 s 5 s 最適値 ∞ 7 2 7 2 7 2 ∞ 9 1 11 1 9 1 39

40. 最短路木（最適パスの情報を含んだ木） Bellman-Ford法の表を後からたどることにより， 最短路木を作成 1 t s 2 3 40

41. 演習問題１ • Aから各点への最短路をFord法で求めてみよう． • Aから各点への最短路をBellman-Ford法で求めてみよう． B E A 5 4 注：無向グラフなので A->B,B->Ａの両方向に 枝がある有向グラフと みなして解くこと！ 4 3 C 9 F 3 3 10 D 4 41

42. 演習問題２ 下のネットワークにおいて，sからtへの最短路を Bellman-Ford法で求めることができるかな？ （オプション課題） 42

43. ネットワーク理論Text. Part 3 pp. 57-104 • 最短路問題 pp.58-84 • Ford法,双対問題とポテンシャル，Bellman方程式とBemmlan-Ford法 • 負の費用をもつ閉路がある場合，閉路を含まない場合 • 最大流問題 pp.85-94 • 最小費用流問題 pp.95-104 43

44. 飛脚に払う費用 （単位は両） 大名の例題 終点 始点 Ford法を適用してみよう 44

45. Ford法の適用 ∞ ∞ 1 1 t 10 0 -5 s 6 3 2 5 2 3 2 ∞ ∞ 45

46. Ford法の適用 ∞→10 ∞ 1 1 t 10 0 -5 s 6 3 2 5 2 3 2 ∞ ∞ 46

47. Ford法の適用 10 ∞ 1 1 t 10 0 -5 s 6 3 2 5 2 3 2 ∞ ∞→5 47

48. Ford法の適用 10 ∞ 1 1 t 10 0 -5 s 6 3 2 5 2 3 2 ∞→7 5 48

49. Ford法の適用 10→2 ∞ 1 1 t 10 0 -5 s 6 3 2 5 2 3 2 7 5 49

50. 合計費用が負の閉路 （＝負の閉路） Ford法の適用 10→2→1→ ∞ 1 1 t 10 0 -5 s 6 3 2 5 2 3 終わらない！ 2 5→4→3→ 7→6→5→ 50