Donia Alizandra Ruelas Acero donializ7@gmail.com

1. SUMATORIAS DoniaAlizandra Ruelas Acero donializ7@gmail.com

2. CONTENIDO • Introducción • Definición • Propiedades • Sumatorias Notables • Ejercicios Resueltos • Ejercicios Propuestos • Conclusiones • Bibliografía

3. INTRODUCCIÓN

4. INTRODUCCIÓN Érase una vez un niño alemán llamado Carl F. Gauss. Cuando tenía diez años, su profesor de la escuela, enfadado porque sus alumnos se portaban mal, le pusoun problema matemático al pequeño Carl y a sus compañeros. Los niños debían sumar todos los números del 1 al 100, es decir: 1+2+3+4+5+…+98+99+100

5. El profesor se sentó en su silla a leer el periódico, confiaba en que tendría horas hasta que los niños sumaran todos los números. Sin embargo, el pequeño Gauss no tardó ni cinco minutos en ir hacia el profesor y darle el resultado: 5050. • ¿Cómo lo había hecho?

6. Gauss tenía que sumar lo siguiente: 1+ 2+ 3 + 4+ 5 + 6 + 7 + 8... + 95+ 96 + 97 + 98 + 99 + 100 Se dio cuenta de que reordenar los elementos de esta suma, sumando siempre los simétricos, facilitaba enormemente las cosas, es decir: 1+100= 1012 + 99 = 101 3 + 98 = 101 4 + 97= 101 5 + 96= 101 ... 46+ 55= 101 47+ 54= 101 48 + 53= 10149 + 52= 10150+ 51= 101 50 veces 101, es decir 50x101= 5050

7. De donde se deduce la fórmula de la sumatoria de los n primeros números. Conociendo esta fórmula podremos resolver el problema planteado a Gauss, que fue de sumar los 100 primero números.

8. DEFINICIÓN

9. DEFINICIÓN La sumatoria es la operación de la adición de una secuencia de números, el resultado es la suma total. NOTACIÓN Índice superior +…+= Término general sigma Índice inferior

10. PROPIEDADES

11. P1. El número de sumandos y de términos de una sumatoria es igual al índice superior menos el índice inferior mas la unidad. Ejemplo: Hallar el número de términos de la siguiente expresión:

12. P2. La sumatoria de una constante es igual al producto del número de sumandos por la constante. Ejemplo: Hallar la sumatoria de la siguiente expresión:

13. P3. La sumatoria en el que el término general es una suma algebraica ésta se puede descomponer en sumatorias independientes. Donde: k y k´ son constantes. Ejemplo:

14. P4. Una sumatoria cuyo índice inferior no es la unidad puede descomponerse de ésta manera: Donde: a Ejemplo: Hallar la sumatoria de la siguiente expresión:

15. SUMATORIAS NOTABLES

16. Los n primeros números naturales

17. Los n primeros números pares naturales Demostración: Factorización SN primeros N lqqd

18. Los n primeros números impares naturales. Demostración: P3: SN #pares y P2: simplificación lqqd

19. Los n primeros números cuadrados perfectos

20. Los n primeros números cubos perfectos.

21. Los n primeros números cuartos perfectos.

22. Los n primeras potencias.

23. EJERCICIOS RESUELTOS

24. 1. Escriba con notación ∑ a) 3+9+27+81+…(10 términos) Resolución: 3+9+27+81+…(10 términos) 3 9 = 27= 81= 3+9+27+81+…(10 términos) =

25. b) 2+6+10+14+18…(10 términos) Resolución: 2+6+10+14+18…(10 términos) 2 2+6+10+14+18…(10 términos) =

26. 2. Hallar Resolución: :propiedad 3 :propiedad 2 :S.N y :propiedad 2

27. 3. Calcular P , si P = 3 +24 + 81 + 192 +… + 8232 Resolución: :factorizando :S.N. cubos 3 3 33075

28. 4. Hallar n: Resolución: :S.N. números pares :Ec. De 2 grado (n-18)(n+19) n-18 n

29. 5. Hallar S: Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . .. 15 términos Resolución: S = 4 + 7 +12 + 19 + . .. 15 términos :Propiedad 3 :S.N. y Propiedad 2 +(15-1+1)3 +45

30. 6. Calcular E: Resolución: :Decimal a fracción :Factorizando 2n-1 = 2n n = E

31. 7. Se tiene: =1+2+3+…+ 43 1 +2 +3 +…+ Encontrar el valor de: Resolución: A:Encontremos el valor de 1 +2 +3 +…+ B: Hallando =1+2+3+…+ 43 1 +2 +3 +…+ = 2n-1=69 n=35 =946 Aplicando S.N Números impares Por Tanto: M =9 A=4 R=6 1 +2 +3 +…+ = 1 +2 +3 +…+ =

32. 8. Un ómnibus salió de su paradero inicial con 7 pasajeros, y en cada estación suben 2 pasajeros más de lo que subieron en la estación anterior. Si al llegar a su paradero final se contaron con 520 pasajeros. ¿En cuántas estaciones se detuvo el ómnibus a recoger pasajeros? Resolución: Inicio: 1° 2° 3° … n° Final 7 9 11 13 __ 520 Total de pasajeros: 7 +9+11+13+…+n=520 = =

33. 9. Un obrero ha ahorrado este mes S/. 178 soles y tiene con esto S/. 1410 en la caja de ahorros, habiendo economizado cada mes S/ 12 más que el mes anterior.¿ Cuánto ahorro el primer mes? Resolución: 1° 2° 3° … n° Mes Mes Mes 1° Mes actual pasado antepasado de ahorro 178 + 166 + 154 + … +(190-12n) = 1410 6 = 6 – 520 = 3 - 260 = (3n+8)(n-15) = = =

34. 10. Se contrata a un obrero para cavar en busca de fósiles prometiéndole pagar una suma por el primer fósil que encuentre y que luego se le irá duplicando dicha suma para Cada nuevo fósil encontrado. Si encuentra 12 fósiles y recibe S/. 12285 ¿Cuánto le pagaron por el octavo fósil encontrado? Resolución: 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° …. 12° Fósil FósilFósilFósilFósilFósilFósilFósilFósil x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32 x + 64 x + 128x +…+ = 12285 x( + + + + + + + + + + +) = 12285 x+]= Por

35. EJERCICIOS PROPUESTOS

36. 1. Escriba con notación ∑ a) 11+13+15+17+…(7 términos) b) 4+9+16+25+36…(10 términos)

37. 2. Hallar Resolución:

38. 3. Calcular P , si P = 7 +10 + 14 + 19 +… + 78 Resolución:

39. 4. Hallar n: Resolución:

40. 5. Hallar S: Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . .. 30 términos Resolución:

41. 6. Calcular G: Resolución:

42. 7. Se tiene: =1+3+5+…+ 43 1 +3 +5 +…+ Encontrar el valor de: Resolución:

43. CONCLUSIONES

44. La definición de sumatoria ayuda en el entendimiento base en problemas de sumatorias. • Las propiedades de las sumatorias facilitan en la resolución de problemas. • Las sumatorias notables, son sumatorias ya calculadas que nos permiten resolver problemas.

45. BIBLIOGRAFÍA

46. Ministerio de educación.(2007).Matemática primer grado de educación secundaria. Editorial Bruño. Lima-Perú. • Razonamiento Matemático.(2009). Razonamiento Matemático. Editorial Lumbrras. Lima – Perú • Recursos tic para la educación. (2010). Recursos. Recuperado 1 de Setiembre, 2011. de http://recursostic.educacion.es/

47. GRACIAS “Ir más allá de uno mismo y dominar el mundo”