Tutorial Grado Décimo

1. Tutorial grado decimo Tutorial Grado Décimo Presentado Por: Giovanny Hernandez 1102

2. Contenido. • Razones Trigonométricas. • Funciones Trigonométricas. • Funciones Trigonométrica Inversas. • Identidades y Ecuaciones. • Probabilidad.

3. Razones Trigonométricas • Ángulos y Sistema de Medición. • Triángulos y Rectángulos. • Razones Trigonométricas.

4. Ángulos y Sistema de Medición. • La palabra trigonometría se deriva del griego que significa medida de triángulos .Inicialmente la trigonometría trato la relación entre los lados de los ángulos de un triángulo, y fue usada en el desarrollo de la astronomía y la navegación. Hoy día es muy utilizada por otras ciencias, para resolver situaciones que involucran medida de longitudes. • Para medir un ángulo en grados se asigna un valor de 360 al ángulo de una vuelta en sentido positivo y mediante particiones de la unidad, se dan los valores en grados de los respectivos ángulos. Un radian es la medición de un ángulo cuya longitud de arco es igual al radio de la circunferencia. Para el ángulo de medida S=R

5. Triángulos y Rectángulos. Cuando clasificamos los triángulos según la medida de sus ángulos, obtenemos tres calces: Acutángulo, rectángulo y obtusángulo. Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto. Teorema de Pitágoras. La suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo e equivale al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

6. Razones Trigonométricas Algunas aplicaciones inmediatas de la trigonometría requieren el uso de los triángulos rectángulos. Un triángulo tiene seis elementos: tres lados y tres ángulos, y en las aplicaciones se debe calcular algún elemento del triángulo conociendo otros. Para hacerlo se emplean razones trigonométricas. Una razón trigonométrica es el cociente entre las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo. Consideramos el triángulo rectángulo de ángulos A, B ,C y C=90º. Puesto que la suma de los ángulos anteriores del triángulo es 180º, los ángulos Ay B son complementarios. Es decir: A+B =90º o en forma equivalente B=90º-A.

7. Funciones Trigonométricas • Funciones circulares. • Angulos de referencia. • Gráficas de funciones sen, cos. • Gráfica de las funciones tan, cot, sec y csc.

8. Funciones circulares. • Cuando las funciones trigonométricas se definen en términos de un triángulo rectángulo, tenemos las razones trigonométricas; ellas son definidas solo cuando el ángulo 0 es agudo. En esta unidad utilizamos un circulo para definir las funciones sen y cos, donde 0 puede ser cualquier numero real. Posteriormente definimos las demás funciones trigonométricas en forma semejante. • El circulo de radio 1 centrado en el origen del plano cartesiano, se llama circulo unitario. El circulo unitario determina una circunferencia unitaria de ecuación x2+y2=1

9. . Ángulos de referencia Las funciones trigonométricas de cualquier numero real se puede reducir a las funciones trigonométricas de un numero en el intervalo 0 mayor o igual t mayor o igual “pi”/2 con algunas consideraciones. Se le llama ángulo de referencia de un ángulo 0, al ángulo agudo positivo alfa formado por el lado final de 0 y el eje X.

10. . Funciones sen, cos Observemos que los ángulos 0 y 0+2pi, por tanto, las seis funciones trigonometricas satisfacen: Sen(0+2pi)=sen0; cos(0+2pi)=cos0 tan(0+2pi)=tan0 CSC(0+2pi)=csc0; SEC(0+2pi)=sec0 cot(0+2pi)=cot0 Las funciones trigonometrías hacen parte de la clase importante de funciones que definimos a continuación. Una función f es periódica si existe una constante p>o tal que f (x+p)=f (x), para todo x en el dominio de f. El periodo positivo mas pequeño de una función periódica se llama periodo principal de la función. Una función cuya grafica es simétrica respecto al eje y, se llamara función par, es decir si para todo x es un dominio f(-x)=f (x).

11. Funciones tan, cot, SEC y CSC. • Recordemos que tan0=sen0/cos0, cot0=cos/sen0, sec0=1/cos0 y • csc0=1/sen. • Con base en estas rozones, podemos afirmar que los dominios de definición de estas cuatro funciones dependen de cuando sen0 y cos0 son iguales a cero. • Tan0 y sec0 no están definidas cuando cos0=o, es decir cuando • 0=+-pi /2, +-3pi/2,+-5pi/2,…. • Ósea, cuado 0=pi/2+K pi, donde K=o,+-1,+-2…. • Por tanto: • El dominio tan0 y sec0 es (0E R 0 =pi /2+K=o,+-1,+-2,.., • En el caso de las funciones cot0 y csc0, estas no están definidas • cuando sen0=o, es decir, cuando0=o,+-pi, +-2pi,+-3pi,…, o sea, • cuando 0=n pi, donde n=o, +-1,+-2. • Por lo tanto: • El dominio de cot0 y csc0 es (0E R/ 0=npi, n=o,+-1,+-2…..)

12. Identidades y ecuaciones • Identidades. • Ecuaciones trigonometricas.

13. Identidades • Un estudio de la trigonometría involucra dos aspectos importantes: simplificar expresiones y resolver ecuaciones. Para lograrlo es necesario estar familiarizado con las reglas básicas del algebra y el manejo apropiado de las identidades básicas. En la parte algebraica es importante desarrollar en forma correcta productos, factorizas iones, expresiones fraccionarias, racionalización de denominadores y solución de ecuaciones. • Como paso fundamental en el manejo de las identidades vamos a estudiar algunos procedimientos útiles para trasformar una expresión de otra. Utilizaremos las propiedades algebraicas y las identidades trigonometricas fundamentales.

14. Identidades reciprocas. Cot x=1/tan x cos x=1/cos x CSC x=1/sen x Identidades por cociente. Tan x=sen x/cos x cot x=cos x/sen x Identidades pitagóricas Sen2 x+ cos2 x=1 1+tan2 x=sec2 x 1+cot2 x=csc2x Identidades de ángulos complementarios Cos (pi/2-x)=sen x cot (pi/2-x)=tan x CSC (pi/2-x)=SEC x Funciones pares e impares Cos(-x)=cos x sen(-x)=-sen x

15. Ecuaciones trigonometricas Ecuaciones simples Llamaremos ecuación simple a una expresión de la forma f (x)=c, donde f (x) es una función trigonometrica y c una constante. Solución de una ecuación en general Para obtener las soluciones de una ecuación trigonometrica es necesario emplear algunas técnicas utilizadas en algebra, como agrupación de términos semejantes, factorizas ión estación de raíces y, desde luego el uso de identidades que permitan escribir unas funciones en términos de otras.

16. Probabilidad Espacios Muéstrales Principios fundamentales de conteo.

17. Espacios Muéstrales Los modelos deterministicos caracterizan fenómenos cuyo resultado puede predecirse con seguridad, si conocemos las condiciones en las cuales se presentan. Con mayor precisión si conocemos las condiciones iniciales de un experimento, que da lugar a un fenómeno, entonces podemos prever los resultados posteriores de este. Los modelos probabilisticos caracterizan fenómenos aleatorios (fortuitos, al azar) o inciertos, con la propiedad de que al observarlos en determinado conjunto de condiciones, no siempre se obtenga el mismo resultado, es decir que no presentan la regularidad de los fenómenos deterministicos (clásicos).

18. Principios fundamentales de conteo • Principio de multiplicación. • Si un proceso consta de N eventos, A1, A2…,A n y A1 pude ocurrir de m, maneras diferentes, A2 pude suceder m2 formas distintas,…, A n puede ocurrir de m n maneras diferentes, entonces el numero de maneras distintas en que puede ocurrir el procesó completo puede realizarse de m1 x m2 x … x m n formas distintas. • Principio de adición • Sea n eventos A1, A2,..,A n y supongamos que A1 pude ocurrir de m1 maneras distintas, A2 pude suceder de m2 formas distintas,…, An pude ocurrir de m n maneras diferentes, entonces el numero de maneras distintas en que pude presentarse el proceso “ocurre o bien A1, o bien A2, o bien A3…, o bien A n “es m1+m2+…+m n.

19. Presentado por giovanny hernanez