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SYSTEMES D’EQUATIONS

SYSTEMES D’EQUATIONS. Type d ’activité : leçon illustrée. Sommaire. Enoncé d ’un exercice. Traduction du problème. Méthode de résolution par substitution. Méthode de résolution par addition. Méthode de résolution graphique. Position du problème :

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Presentation Transcript

  1. SYSTEMESD’EQUATIONS Type d ’activité : leçon illustrée

  2. Sommaire Enoncé d ’un exercice Traduction du problème Méthode de résolution par substitution Méthode de résolution par addition Méthode de résolution graphique

  3. Position du problème : certains exercices nécessitent l ’emploi de plusieurs variables inconnues. Celles-ci apparaissent alors dans plusieurs équations qui composent le système. Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

  4. Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. Exemple de rédaction : J ’appelle x le nombre d ’adultes et y le nombre d ’enfants qui ont assisté au spectacle. Je traduis l ’énoncé : 550 personnes ont assisté à un spectacle x + y =550 Les enfants paient demi tarif : donc 8€ par enfant, l ’ensemble des y enfants a payé 8y € l ’ensemble des x adultes a payé 16x € 16x + 8y = 6960€

  5. 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. Ces équations traduisent ce problème. Pour indiquer qu’elles forment un système on place une accolade. x + y =550 16x + 8y = 6960 Il existe trois méthodes de résolution : - par substitution, - par addition - en utilisant un graphique.

  6. Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle . Méthode par substitution principe : on exprime l ’une des inconnues en fonction de l’autre. x + y =550 16x + 8y = 6960 x = 550 - y Puis on remplace l ’inconnue ainsi exprimée dans l ’autre équation. 16x + 8y = 6960 Finalement 16(550 - y) + 8y = 6960 D ’où y = 230 x = 550 -230 =320 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.

  7. Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle . x + y =550 16x + 8y = 6960 x + y =550 2x + y = 870 Astuce de calcul... On divise tous les termes de cette équation par 8. Vérifie que le résultat est identique si on remplace la deuxième équation par 2x + y =870 x = 550 - y 2x + y = 870 2(550 - y) + y = 870 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle . D ’où y = 230 x = 550 -230 =320

  8. 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. x + y =550 16x + 8y = 6960 Méthode par addition principe : on transforme une ou deux équations de manière à éliminer par addition membre à membre une des deux inconnues. Pour éliminer x je multiplie la première équation à gauche et à droite par –16: Les deux coefficients sont opposés. -16x -16 y = -8800 16x + 8y= 6960

  9. Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. -16x -16 y = -8800 16x + 8y= 6960 On additionne membre à membre • 8 y = - 1840 • y = 230 -16 x - 16 y + 16 x + 8 y = - 8800 + 6960 x + y = 550 donc x = 550 - 230 = 320 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.

  10. 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. x + y =550 2x + y = 870 x + y =550 16x + 8y = 6960 Astuce de calcul... On divise tous les termes de la deuxième équation par 8. Vérifie que le résultat est identique si on remplace la deuxième équation par 2x + y =870 Pour éliminer y je multiplie l’une des deux équations par -1 • x – y = - 550 • 2x + y = 870 • x- y+2 x+ y= -550+870 • x= 320 • y = 230 On additionne membre à membre 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.

  11. Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. x + y =550 16x + 8y = 6960 Résolution graphique 16 x + 8y =6960 est une équation dont on peut diviser tous les termes par 8 ! Elle s ’écrit alors2x + y = 870 ou encore y = 870 - 2x Par ailleurs x + y = 550 peut s’écrire y = 550 - x Nous allons donc rechercher graphiquement les coordonnées du point d ’intersection des droites qui ont pour équations : y = 870 - 2x et y = 550 - x

  12. Nous allons rechercher graphiquement les coordonnées du point d ’intersection des droites qui ont pour équations y = 870 - 2x et y = 550 - x Conseils : si l ’énoncé n’impose pas d’unité, il faut réfléchir ! Comment choisir des unités adaptées dans un repère bien placé ? Dans cet exercice x et y désignent un nombre d ’entrées. Ce sont donc des nombres positifs et les axes seront disposés en bas à gauche d ’une feuille de papier ( millimétré de préférence. ) Les valeurs possibles de y sont comprises entre 0 et 550 . Les valeurs possibles de x sont comprises entre 0 et 435. ( 870 / 2 = 435 )

  13. y = 870 - 2x et y = 550 - x sont les équations de deux droites Tracer ces deux droites dans un repère placé en bas, à gauche d ’une feuille de papier millimétré, prendre 1 cm pour 50 entrées. Conseils : aucune méthode n ’est imposée, MAIS à titre de révision vous pouvez tracer la première droite à l ’aide d’un tableau de valeurs pour 3 points. Et la seconde en utilisant la méthode du coefficient directeur et de l ’ordonnée à l ’origine.

  14. La droite d ’équation y = 550 – x a pour coefficient directeur -1 et pour ordonnée à l ’origine 550. y nombre d ’entrées enfant 650 600 550 500 450 La droite d ’équation y = 870 - 2x passe par les points : si x =200 alors y =470 400 350 300 250 200 150 100 50 si x =300 alors y =270 si x =100 alors y =670 donc x nombre d ’entrées adulte 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Si le graphique est bien fait on trouve : 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.

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