Méthodes d‘optimisation en finance

1. Méthodesd‘optimisation en finance Abdelaziz BELQADHI

2. Plan • Optimisationlineaire (OL): formulation et exemple. • Application à unproblème de financement. • Optimisationdynamique: application au pricingd‘unecalloptioneuropéenne.

3. OL: formulation

4. OL: terminologie • estappelée la fonctionobjectif. • est le vecteur des variables de décision. • Le systèmelinéairereprésente les contraintes à satisfaire.

5. OL: exemple

6. OL: exemplecontinué

7. OL: Résolution • Algorithme du simplexe: d‘unesolution de base, effectue des opérationsd‘algèbrelinéairepouraméliorer la valeur de la fonctionobjectif. • Algorithme de l‘ellipsoide: démarreavecun ellipsoide contenantl‘optimum, et vainclurecepointdansuneséried‘ellipsoidesdont le volumedécroit à chaqueitération.

8. Algorithme de l‘ellipsoide en images

9. OL: financement • Unecorporationveutfinancerunprojet à court-terme, et doitlever des fonds. • Les sources de financementpossiblessont: • uncréditde maximum 100CHF à 1% d‘intérêt par mois; • un billet de trésorerievalablependant 3 mois à 2% d‘intérêtpour les 3 mois; • l‘excédentmensuelpeut-êtreinvesti à 0,3% par mois.

10. OL: modélisation • montant du crédit au mois i. • montant du billet de trésorerieémis en i. • excédentmensuel au mois i. • F la fortune de la firme au mois de juin. • Notre objectifestd‘avoirunefortune maximale au mois de juin, en respectanttoutes les contraintes de payement.

11. Programme linéaire max F x1 + y1 –z1 = 150 x2 + y2 – 1.01 x1 + 1.003 z1 – z2 = 100 x3 + y3 – 1.01 x2 + 1.003 z2 – z3 = -200 x4 – 1.02 y1 – 1.01 x3 + 1.003 z3 – z4 = 200 x5 – 1.02 y2 – 1.01 x4 + 1.003 z4 – z5 = -50 -1.02 y3 – 1.01 x5 + 1.003 z5 – F = -300 x1, …, x5 100 ; , 0.

12. Option pricing • Une „calloption“ européennedonne le droitd‘acheteruneaction (qu‘onappelle le sous-jacent), à unedateprécise (maturité T) pourunprixdéterminé à l‘avance (strikeprice c). Caveutdireque si le prix au temps T du sous-jacentest de S, et que le strikeest de c, alorsexercerl‘optionnousdonneunprofit de S – c (payoff de l‘option).

13. Option pricing (suite) • Soit le prixactuel du sous-jacent, et supposonsqu‘à la date 1, il y ait 2 outcomespossibles: = *u avecprobabilité p et = *d avecprobabilité 1-p. • On utilise le principe de réplicationpourpricerl‘option. • Soit P unportefeuillecomposé de actions du sous-jacent et unmontant en cash B; on calculeces 2 paramètrespourque le payoff du portefeuillesoit le mêmequecelui de l‘option.

14. Option pricing: réplication Solution:

15. Option pricing: réplication (fin) • La valeur du portefeuilleaujourd‘huiestdoncégale au prix de l‘optionaujourd‘huiet vaut:

16. Programmationdynamique • On se placemaintenantdansunhorizon de n mois (n = 4 dans le dessin).

17. Estimation des paramètres • Pourspécifier le modèlecomplètement, ilfauttrouver u, d et p. Soit . • Hypothèse: l‘espérance (moyennepondérée) et la variance (carrémoyen de l‘erreur par rapport à la moyenne) de sont

18. Estimation des paramètres: équations et solution

19. Equationdynamique • Soit v(k, j) la valeur de l‘option au noeud j à la date k. • Nous cherchons à calculer v(0, 0), quiest le prix de l‘option. • On se rappelle la formule du payoff de l‘option à la date de maturité: max (S-c, 0). • En utilisant le principe de réplication, on peutcalculer v(k, j) à partir de v(k+1, j+1) et v(k+1, j).

20. Equationdynamique (2)