Økonometri 1

1. Økonometri 1 Flere emner i den multiple regressionsmodel 13. marts 2003 Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

2. Dagens program: • Opsamling af asymptotiske resultater fra sidst (afsnit 5.3.) • Flere emner i den multiple lineære regressionsmodel (kap. 6): • Skalering: Valg af måleenheder for variablerne (LHS, RHS) • Mere om funktionel form: Log-transformation, kvadratiske led, interaktionsled. • Goodness-of-fit: Hvad kan det (og hvad kan det ikke) bruges til? • Prediktioner fra MLR modellen. • Hovedsagen i kapitlet: Fortolkningen af modellen for en række meget anvendte specifikationer. Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

3. Asymptotisk efficiens af OLS estimatoren • Under Gauss-Markov antagelserne er OLS asymptotisk efficient. • Teorem 5.3: Under Gauss-Markov antagelserne har OLS den mindste asymptotiske varians blandt estimatorer, der løser ligningen • Simpel regression: Tavlegennemgang. Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

4. Inferens i den multiple regressionsmodel: Opsamling • Resultater om OLS med endeligt antal observationer: Normalitetsantagelse eksakte t- og F-test. • Asymptotiske resultater for OLS: • Konsistens under MLR.1-4. • Asymptotisk normalfordelt under MLR.1-5: • t- og F-test begrundes approximativt i endeligt datasæt uden at antage normalfordelte fejlled. • Andre typer af test: Lagrange multiplikator testet • Asymptotisk efficiens af OLS under MLR.1-5. Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

5. Valg af enheder: Skalering af variablerne • Skaleringen af variablerne er ofte arbitrær: Ex. Afstand målt meter vs. Kilometer (1000 m) vs. Amerikanske miles (1609 m) vs. Svenske mil (10000 m). • Løn/uddannelse/erfaring eksemplet fra F3: Antag: • Se på skalering af RHS- og LHS-variabler Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

6. Valg af enheder: Skalering af variablerne: RHS • Afkast af en måneds ekstra uddannelse • Afkast af et års ekstra erfaring • Ønsker begge dele i pro anno termer: Definerer uddannelse i år: Indsæt i model: • I princippet: Frit valg af skala for de enkelte • Koef.estimat og std. fejl reskaleres. Alt andet uændret (inkl. t-værdierne). • Standardiserede variabler: Fratrukket middelværdi og skaleret med standardafvigelse: Sammenligning af koefficienter, hvor skalaen er vanskeligt fortolkelig. Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

7. Valg af enheder: Skalering af variablerne: LHS • Tilfælde 1: Almindelig model uden log-transformation Definer • Koef.estimat og std. fejl reskaleres ligesom SSR, SST, SSE og • og t-værdierne uændrede. Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

8. Valg af enheder: Skalering af variablerne: LHS (fortsat) • Tilfælde 2: Model med log-transformation af Definer • Intet ændret undtagen koef.estimat og std. fejl for konstantleddet, . • Gælder også ved skalering af log-transformeret Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

9. Funktionel form • MLR forudsætter, at modellen er lineær i parametrene. • Men ikke i variablerne. • Funktionel form: Fortolkningsmæssige konsekvenser! • Tre vigtige tilfælde: • Log-transformation • Kvadratiske led • Interaktionsled • Brugen af log-transformation: Absolutte ændringer i log-transformeret variabel svarer til relative ændringer i den originale variabel. Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

10. Funktionel form: Log-transformation • Økonomisk teori ofte udtrykt i afkast-størrelser (% pr. år): • BNP vækstrate: Relativ tilvækst i realt BNP fluktuerer nogenlunde konstant omkring et niveau på ca. 2 % pr. år over længere perioder: Tidsrækkemodeller • Egenkapitalforrentning (”return on equity”, Ex. 2.3, 2.6, 2.8): • Store virksomheder har (gennemgående) store overskud (målt i kr.), små virksomheder har (gennemgående) små overskud. • Mere relevant: Overskud i forhold til størrelsen af den indskudte kapital, en relativ størrelse. • Variansen på en størrelse kan afhænge af niveauet: Relativ varians er mere stabil (RoE ex). Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

11. Funktionel form: Log-transformation (fortsat) Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

12. Funktionel form: Kvadratiske led • Aftagende eller stigende marginaludbytte/-effekt: Fx kvadratisk Engelkurve: Andelen til mad aftagende, men ”flader ud”. • Multipel regressionsmodel: Men ”alt andet lige” betragtning med omtanke. • Effekt af ændring af afhænger af udgangsværdien af • Evalueres ved ”relevant” værdi, fx . Extrapolation…! Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

13. Funktionel form: Interaktionsled • Marginal effekt af at ændre værdien af en forklarende variabel, , afhænger af værdien af fx : Fx kan afkastet af uddannelse variere med alder • Igen: Multipel regressionsmodel: Men ”alt andet lige” betragtning med omtanke. • Evalueringspunktet vælges med omhu. Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

14. Goodness-of-fit • er et mål for modellens forklaringsgrad. • Øges når der tilføjes variabler til modellen (med mindre de er perfekt kollineære med eksisterende regressorer). • Uegnet til modelvalg. Høj er ikke nødvendig for en brugbar model. • Korrigeret , betegnet , ”straffer” for at selvom større modeller tilpasser data bedre, sker dette ved hjælp af flere forklarende variabler. • Tæller og nævner korrigeres for frihedsgrader >< Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

15. Goodness-of-fit (fortsat) • Hvis en variabel tilføjes til modellen vil øges hvis og kun hvis variablen har en t-værdi, der (numerisk) overstiger 1. • Svarer til at lave et to-sidet signifikanstest med et signifikansniveau over 30 %! • bruges i nogle tilfælde til at sammenligne ”ikke-nestede” modeller, hvor den ene model er ikke et specialtilfælde af den anden. • Men begrænsninger: Samme LHS variabel. Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

16. Goodness-of-fit (fortsat) • Hvor mange variabler skal med i modellen? • Overvej hvilke variabler der fortolkningsmæssigt giver mening. • Ofte flere praktiske mål for samme teoretiske størrelse: Problematisk at inkludere flere mål og så lave ”alt-andet-lige” betragtning. • Høj korrelation mellem forklarende variabler giver multikollinearitetsproblem: Svært at skelne effekterne af de enkelte variabler fra hinanden. • Har man mulighed for at tilføje variabler, der er ukorrelerede med de allerede inkluderede, vil det entydigt nedbringe residualvariansen og give mere præcise estimater. Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

17. Prediktioner (forudsigelser) • Punktprediktion fra MLR: Tilpassede værdi: • For givne værdier af et estimat af (MLR.3): • er en estimator af den sande (men ukendte) middelværdi. For givne værdier af har prediktionen en standardfejl, der er afledt af standardfejlene på OLS estimaterne . • Kan vises at standardfejlen på prediktionen er mindst når sættes lig deres gennemsnit. Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

18. Prediktioner (forudsigelser) (fortsat) • Har set på variansen på selve prediktionen af den gennemsnitlige værdi af y, givet værdier af • Ofte af interesse at konstruere et konfidensinterval for en tænkt enhed (husholdning, virksomhed, …) med nogle givne karakteristika: • Må også tage højde for variansen af fejlleddet, • Prediktionsfejlen er: • OLS er middelret og så Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

19. Prediktioner (forudsigelser) (fortsat) • Prediktionsfejlsvariansen: ukorreleret med så variansen splitter op i to komponenter: • Vil ofte være domineret af leddet (især for store n) • Prediktion af afledte variabler: Fx Y når vi modellerer y=log(Y). Husk at generelt med mindre f( ) er lineær. • For log-transformation: Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel

20. Næste gang: • Mette Ejrnæs om Kap. 7: Kvalitativ information regresssionsmodellen: Dummyvariabler Økonometri 1: Flere emner i den multiple regressionsmodel