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4. Fonones: Vibraciones Cristalinas

4. Fonones: Vibraciones Cristalinas. Bibliograf ía: Kittel, cap. 4. VIBRACION ELASTICA EN MEDIOS CONTINUOS. Ecuacion de Onda para ondas elasticas medio lineal homogeneo, Ey modulo de elasticidad,  densidad del medio Solucion de la forma, ondas viajeras. Desplazamiento Atómico en una red.

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  1. 4. Fonones: Vibraciones Cristalinas • Bibliografía: Kittel, cap. 4. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  2. VIBRACION ELASTICA EN MEDIOS CONTINUOS Ecuacion de Onda para ondas elasticas medio lineal homogeneo, Ey modulo de elasticidad,  densidad del medio Solucion de la forma, ondas viajeras Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  3. Desplazamiento Atómico en una red • Las posiciones de los átomos en una red de Bravais están dadas por: • Por simplicidad sólo consideraremos 1 átomo por celda y supondremos un sistema de coordenadas ortogonal. • Por conveniencia, ni=(hi,ki,li) denota al átomo I-ésimo que tiene posición R. • El desplazamiento del átomo i se puede escribir como Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  4. Desplazamiento Atómico • Cuando onda plana se propaga por el cristal, los planos atómicos se mueven en fase paralelos o transversales a la dirección de propagación. • Problema se vuelva 1D: para cada k (vector de onda) hay 3 modos de vibración: • 1 de polarización longitudinal • 2 de polarizaciones transversales Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  5. Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos • La energía del cristal cambia si los átomos son desplazados res pecto de sus posiciones de equilibrio • El cambio de energía puede escribirse en función de la posición de todos los átomos: E=E(R1,R2,R3,... RN) • El orden más bajo de los desplazamientos es cuadrático: ley de Hooke (límite armónico). (No hay términos lineales si se expande en torno a las posiciones de equilibrio.) Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  6. Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos • La expresión general para la fuerza sobre el átomo s es: • De la expresión armónica se puede expresar la fuerza como Cs: constantes de fuerza - razón entre la fuerza sobre el átomo s y el desplazamiento del átomo j (es generalización de la constante de fuerza de un resorte). Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  7. Cadena Lineal monoatomica • Consideremos una línea de átomos. • Entonces, la fuerza sobre atomo s es: • Considerando sólo las interacciones con primeros vecinos mas cercanos: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  8. Oscilaciones de una Cadena Lineal • Ley de Newton (ecuación de movimiento): • Dependencia temporal: luego aparece una ecuación de diferencias en los desplazamientos: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  9. Oscilaciones de una Cadena Lineal • Solucion de la forma Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  10. Oscilaciones de una Cadena Lineal Una forma más conveniente es: • Finalmente: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  11. Oscilaciones de una Cadena Lineal • La solución para cada oscilador con vector de onda k y frecuencia • Relación de k en función de k se llama relación de dispersión. Aproximación en el continuo: k<<1/a (i.e. >>a) Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  12. Primera Zona de Brillouin • La solución de k sobre el espacio recíproco es periódica. • Toda la información está en la primera zona de Brillouin. • La pendiente de k es 0 en los bordes de la ZB: G = /a • El resto se repite con periodicidad 2/a, i.e. k= k+G ! (G es cualquier vector de la red recíproca; G = n(2/a) k Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  13. Primera Zona de Brillouin Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  14. Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco • El movimiento atómico con el vector de onda k es idéntico al de k+G. • Todas las vibraciones independientes se pueden describir por k dentro de la 1a zona de Brillouin (1ZB) Punto B, onda propagandose derecha Punto A, onda propagandose izquierda Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  15. Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco • La 1ZB es el rango físicamente significativo para las ondas elásticas. • El cuociente de desplazamiento de 2 planos sucesivos es: • El rango (-,) para la fase ka cubre todos los valores independientes: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  16. Vk=0 en borde de ZB (esperable en una onda estacionaria) vk=vsonido k Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco • La onda us = u exp(iksa-it) es una onda plana. • La velocidad del paquete de ondas (velocidad de grupo) es vk=dk/dk (i.e. es la pendiente de k vs. k) • Significado físico de vk: velocidad de transporte de energía en el medio Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  17. Significado de vk=0 en frontera dezona de Brillouin • dk/dk =0 en el límite de la ZB. • Toda onda (vibraciones u otras ondas) son difractadas si k está en el borde de la ZB. • Esto es equivalente a la reflexión de Bragg de rayos x: cuando se cumple la condición de Bragg (kmax=/a ), la onda estacionaria no puede desplazarse por la red sino que a través de sucesivas reflexiones y se establece una onda estacionaria. • Ello lleva a una onda estacionaria con velocidad de grupo Vs= 0. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  18. Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco • Este es un resultado general válido para todos los cristales en todas las dimensiones. • Las vibraciones son un ejemplo de excitaciones. Los átomos no están en su posición de mínima energía mientras vibran. • Las excitaciones se denominan con un vector de onda k y son funciones periódicas de k en el espacio recíproco. • Todas las excitaciones se cuentan si los k considerados están dentro de la 1a zona de Brillouin (ZB). • Las excitaciones fuera de la ZB son idénticas a aquellas dentro de ella y no son excitaciones independientes. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  19. límite de longitud de onda largo • ka<<1  • cos(ka)  1 - 1/2(ka)2 • Resultado:  es directamente proporcional al vector de onda, i.e. velocidad del sonido es independiente de la frecuencia en el límite de longitudes de onda largas:  = vk (mecánica del continuo). Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  20. Dispersión en Cu Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  21. m M C C C un vn un+1 Red Biatómica 1D Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  22. Red Biatómica 1D m M C C C • Resultado: • Ecuación se puede resolver para 2, pero es más simple examinar casos límite: • ka << 1 : cos(ka)  1 - ½ (ka)2 + ... • ka =  (borde 1ZB) • Para ka << 1: un vn un+1 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  23. Red Biatómica 1D Para ka << 1: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  24. Red Biatómica 1D Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  25. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  26. RELACION DISPERSION PARA REDES 3D Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  27. Dispersión en KBr Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  28. VIBRACIONES DE RED CUANTIZADAS Modelo cuantizado de las vibraciones de red: hay un conjunto de 3N oscilaciones lineales independientes( modos) con energia E=(n(w)+1/2) hw El numero medio de fonones en el modo con frecuencia wes Frecuencia de Debye wD: la mas grande frecuencia de vibracion en el cristal asumiendo la relacion de dispersion : w = v k. Temperatura de Debye Q=hwD/kB Las frecuencias fononicas acusticas tipicas esde orden ~1013 Hz, frecuencias opticas tipicas~ 1014 Hz, temperature Debye: diamante -3000 K, Cu -320K, Pb -90K Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  29. DISPERSION INELASTICA DE NEUTRONES Neutrones pueden ser dispersados del cristal cuando absorben o Emiten un fonon Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

  30. 100% Cl Cl Cl Na Na Transmittance 70 50 60 l(mm) ABSORCION INFRAROJO EN CRISTALES IONICOS Luz transmitida en el rango de infrarojo, w~ 1014 Hz (l~40-100mm) Es absorvida por cristales ionicos con modo optico de fonones Transmitancia a traves pelicula delgada de NaCl (0.17mm) Iones de Cl y Na se mueven en direcciones opuestas Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

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