LECCIÓN 4 MECANISMOS DE DISPERSIÓN DE LOS PORTADORES

1. LECCIÓN 4MECANISMOS DE DISPERSIÓN DE LOS PORTADORES • TIEMPO DE RELAJACIÓN Y PROBABILIDAD DE DISPERSIÓN • DISPERSIÓN POR IMPUREZAS IONIZADAS • DISPERSIÓN DE LOS PORTADORES POR LOS FONONES ACÚSTICOS

2. Probabilidad de dispersión 3D kz ky kx V(r) origina transiciones entre los estados estacionarios del sistema con una probabilidad por unidad de tiempo dada por la regla de oro de Fermi: funciones de Bloch Ecuación de balance detallado: Las transiciones originan una variación de f(k). Para colisiones elásticas se cumple Wkk' = Wk'k y, por tanto,

3. Probabilidad de dispersión Atendiendo a la aproximación del tiempo de relajación que vimos en el tema anterior: Lo que nos permite calcular el tiempo de relajación en función de la probabilidad de dispersión (a su vez calculada de la Regla de Oro de Fermi): donde A representaba un campo externo. Suponiendo colisiones elásticas, que Ag0, y un tiempo de relajación que sólo dependa de la energía,

4. Probabilidad de dispersión elegiendo el eje k'z a lo largo del vector k Sistema de referencia y deducción en: J. Singh, Electronic and optoelectronic properties of semiconductor structures, Cambridge, 2003. El factor angular en la expresión del tiempo de relajación confirma el hecho intuitivo de que grandes ángulos de dispersión influirían más en las propiedades de transporte que los ángulos pequeños.

5. Probabilidad de dispersión Atendiendo a la definición de la sección eficaz de colisión:

6. Dispersión por impurezas ionizadas potencial culombiano Este tipo de potencial no se corresponde con la situación típica, en la que existen, además, portadores libres en el semiconductor. El potencial culombiano de la impureza cargada modifica la posición de las bandas y, por tanto, la distribución de los portadores de carga. El potencial efectivo será, por tanto, el asociado a la carga efectiva, solución de una ecuación de Poisson en coordenadas esféricas Si definimos la longitud de Debye como LD=(ekT/e2n0)1/2, la ecuación diferencial queda:

7. Dispersión por impurezas ionizadas El potencial asociado a la impureza queda apantallado, tanto más cuanto menor es la longitud de difusión LD=(e2n0/ekT)1/2. (Z contiene el signo de la impureza)

8. Dispersión por impurezas ionizadas los elementos de matriz de dicho potencial (hay que recordar que los choques son elásticos y, en módulo, k = k’)

9. Dispersión por impurezas ionizadas Para LD grande, esta expresión se reduce a la fórmula de Rutherford, que daba una sección eficaz de colisión de partículas a, s(q)=cte [sin ( q/2)]-4. Finalmente, podemos calcular el tiempo de relajación :

10. Dispersión por impurezas ionizadas El tiempo de relajación para la dispersión por impurezas ionizadas es inversamente proporcional a Ni , y a E3/2 (en rangos estrechos de T), ya que el término del denominador varía suavemente con la energía. Ello indica que este mecanismo será mas eficaz para menores energías de los portadores, por lo que su contribución será mas importante a bajas temperaturas. En efecto, la movilidad de los portadores, en el caso no degenerado será: VALORES CALCULADOS GaAs VALORES EXPERIMENTALES

11. Dispersión por fonones acústicos k k Una forma de interacción entre portadores de carga y la red cristalina tiene su origen en el hecho de que la propagación de cualquier fonón (vibraciones) a través de la red implica el desplazamiento de los átomos y, por tanto una variación de las distancias entre ellos, lo que conduce necesariamente a una variación de la energía de las bandas. A este tipo de interacción se le llama interacción por potencial de deformación, y es, obviamente de corto alcance, ya que solo actúa en la zona por la que se propaga el fonón. En el caso de propagación de fonones polares, este tipo de interacción suele ser poco significativo respecto a la interacción dominante (Fröhlich = las vibraciones dan lugar a ondas de polarización y, por tanto, a campos eléctricos de largo alcance). Para los fonones ópticos no polares y para los fonones acústicos, el potencial de deformación es la única forma posible de interacción, salvo en los cristales piezoeléctricos, en los que los fonones acústicos pueden crear también campos eléctricos. Cuando se propaga una onda acústica en un cristal, la oscilación de los átomos vendría dada por Ello implica zonas del cristal bajo compresión y zonas bajo dilatación, o, lo que es lo mismo, zonas donde la banda prohibida será mayor o menor.

12. Dispersión por fonones acústicos Si consideramos únicamente los fonones de longitud de onda larga, para los que la frecuencia viene dada por w = cs q, donde cs es la velocidad del sonido en el sólido. Una onda acústica longitudinal produce, al propagarse, una serie de compresiones y expansiones del cristal, que conducen a variaciones en la energía de las bandas. El cambio de energía es proporcional a la presión en cada punto y, por tanto, a la divergencia del desplazamiento. A la constante de proporcionalidad se le llama “potencial de deformación”. La variación de la energía de los electrones, y, por tanto, el hamiltoniano asociado a la interacción electrón-fonón acústico longitudinal será: El elemento de matriz sólo es distinto de cero cuando y valdráHkk' = i Dacq.A. La presencia de la delta significa que en la interacción electrón-fonón se conserva el cuasi-impulso. Para pasar a una descripción completamente cuántica hemos de expresar la amplitud de vibración en función del número de fonones excitados:

13. Dispersión por fonones acústicos FONONES

14. Dispersión por fonones acústicos

15. Dispersión por fonones acústicos Absorción M es la masa de la celda unidad, que puede ponerse en función de su volumen y de la densidad del cristal, M = r Vc, y NTC es el número total de celdas. CUÁNTICAMENTE Emisión El elemento de matriz para la interacción electrón-fonón tendrá pues la siguiente forma: Como para los fonones acústicos la energía es muy pequeña, hw << kT y el número de ocupación se reduce a nw = kT /hw: Así, la probabilidad de transición será la misma para ambos procesos (absorción y emisión de fonones). Por otra parte, al ser la energía de los fonones acústicos mucho menor que la de los electrones, el proceso puede considerarse como elástico y la sección eficaz diferencial resulta ser independiente de la dirección y energía de los electrones:

16. Dispersión por fonones acústicos La dependencia del tiempo de relajación respecto a la temperatura y a la energía es de la forma t = cte T-1 E-1/2, lo que indica que la dispersión de electrones por fonones acústicos es mas eficaz cuanto mayor es la temperatura y energía de los electrones. Al promediar en energía, obtenemos una movilidad tanto menor cuanto mayor es T en la proporción T-3/2.

17. Dispersión por fonones acústicos Esta es la llamada regla de Mathiessen, que, obviamente, presupone que cada proceso de dispersión es independiente, y no se ve afectado por la presencia de los otros. A bajas temperaturas, la energía de los electrones es pequeña y la movilidad se verá limitada por las impurezas ionizadas. A altas temperaturas, la energía de los electrones es grande y el tiempo de relajación por impurezas se hace muy largo, por lo que es la dispersión por fonones la que predomina.