1 / 29

EKIVALEN

EKIVALEN. Budi Murtiyasa Jur. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Juli 2008. E K I V A L E N. Rank, OBE/OKE, Matriks Ekivalen, Bentuk Kanonik, Matriks Elementer, Dekomposisi A = LU, Bentuk Normal. RANK / PANGKAT.

kirkan
Download Presentation

EKIVALEN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. EKIVALEN Budi Murtiyasa Jur. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Juli 2008 design by budi murtiyasa 2008

  2. E K I V A L E N Rank, OBE/OKE, Matriks Ekivalen, Bentuk Kanonik, Matriks Elementer, Dekomposisi A = LU, Bentuk Normal

  3. RANK / PANGKAT Rank : dimensi dari submatriks yang terbesar yang determinannya tidak nol 2 -3 1 4 Dengan menghilangkan kolom keempat diperoleh submatriks : A = -1 0 -2 3 1 -1 1 -1 = 0 Tetapi, jika dari A menghilangkan kolom pertama diperoleh submatriks : = – 8 ≠ 0 Karena submatriks yang determinannya tidak nol ini berdimensi 3, maka rank dari A, ditulis r(A) = 3.

  4. Berapakah rank-nya ? r(E) = 3 E = A = r(A) = 2 B = r(B) = 1 Matriks persegi, yang determinannya tidak nol dikatakan mempunyai rank penuh, atau matriks nonsingular. C = r(C) = 2 Matriks D dan E dalam contoh diatas mempunyai rank penuh atau nonsingular. r(D) = 3 D =

  5. OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) Terhadap suatu matriks A dapat dilakukan manipulasi anggotanya dengan melakukan operasi baris elementer (OBE). A = H3(-1)(A) = H13(A) = H12(-2)(A) =

  6. OPERASI KOLOM ELEMENTER (OKE) Terhadap suatu matriks A dapat dilakukan manipulasi anggotanya dengan melakukan operasi kolom elementer (OKE). A = K3(4)(A) = K24(A) = K41(1)(A) =

  7. Terhadap suatu matriks dapat dilakukan berturut-turut sederetan OBE dan/atau OKE H21(-3) H3(-2) H43(1) A = ~ ~ ~ H41 = B H31(2) ~ ~ Perhatikan bahwa dengan lima kali OBE secara berturutan terhadap A diperoleh matriks baru, misalnya B. Jadi dalam hal ini : H41 H31(2) H21(-3) H43(1) H3(-2) (A) = B Matriks B yang diperoleh dari A dengan melakukan OBE/OKE disebut matriks-matriks yang ekivalen, dinotasikan A ~ B

  8. Perhatikan kembali : H41 H31(2) H21(-3) H43(1) H3(-2) (A) = B Dengan sederetan OBE, A dapat di bawa menjadi matriks baru B. Sebaliknya, tentu juga ada sederetan OBE yang dapat membawa B kembali ke matriks A. H31(-2) B = H41 H21(3) ~ ~ ~ H43(-1) H3(-1/2) = A ~ ~ H3(-1/2) H43(-1) H21(3) H31(-2) H41 (B) = A Jadi dengan sederetan OBE : Ini berarti B ekivalen A, ditulis B ~ A Karenanya operasi OBE (OKE) mempunyai invers (kebalikan).

  9. Perhatikan : H41 H31(2) H21(-3) H43(1) H3(-2) (A) = B Sebaliknya, H3(-1/2) H43(-1) H21(3) H31(-2) H41 (B) = A Analogi, invers OKE : Dapat di amati bahwa invers OBE adalah :

  10. K32(5) H21(1) H31(-2) P = = Q ~ ~ ~ Sebaliknya, mudah diamati bahwa : K32(-5) H31(2) H21(-1) Q = ~ = P ~ ~ Dalam hal ini P ~ Q atau Q ~ P. Relasi ekivalen ( ~ ) suatu matriks memenuhi sifat : 1. refleksif, A ~ A 2. simetri, A ~ B, maka B ~ A 3. transitif, A ~ B, dan B ~ C, maka A ~ C Dua matriks yang ekivalen mempunyai rank yang sama

  11. Matriks Elementer : Matriks elementer adalah matriks identitas yang sudah mengalami satu kali OBE (atau satu kali OKE) Misalnya I = Matriks Elementer (kolom) Matriks Elementer (baris) = E12 = F13(1) H12(I) = K13(1) (I)= H3(-2)(I) = = E3(-2) K2(-3) (I) = = F2(-3) = E23(-1) K32(I) = H23(-1) = = F32

  12. Karena OBE/OKE mempunyai invers, maka matriks elementer tentu juga mempunyai invers

  13. Apa keistimewaan matriks elementer ? Jadi : H31(A) = E31 A I3 = A = H21(-1)(A) = E21(-1) A OBE identik dengan penggandaan di depan dengan matriks elementer dengan tipe yang sama E31 = H31(A) = H31(A) = = E31 A = H21(-1)(A) = E21(-1) A = = E21(-1) = = H21(-1)(A)

  14. Jadi : I4 = A = K3(-2)(A)= A F3(-2) K14(1)(A) = A F14(1) OKE identik dengan penggandaan di akhir (belakang) dengan matriks elementer dengan tipe yang sama F3(-2) = K3(-2)(A)= = K3(-2)(A) = A F3(-2)= K14(1)(A) = = A F14(1) = F14(1) = = K14(1)(A)

  15. K32(5) H21(1) H31(-2) P = = Q ~ ~ ~ Dalam hal ini : K32(5) H31(-2) H21(1) (P) = Q Atau bisa juga dengan matriks elementer : E31(-2) P F32(5) = Q E21(1) =

  16. Dari bentuk EBT, jika diteruskan dengan OKE, suatu matriks dapat di bawa nenjadi bentuk normal. Bentuk normal (N) suatu matriks kemungkinannya salah satu dari bentuk : (Ir 0) Ir atau dengan r menyatakan rank dari matriks.

  17. MEREDUKSI MATRIKS MENJADI BENTUK ESELON Ingat kembali tentang matriks eselon : 1. setiap baris yang semua unsurnya nol terletak sesudah baris yang mempunyai unsur tidak nol; 2. pada setiap baris yang mempunyai elemen tidak nol; elemen tidak nol yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen tidak nol baris sebelumnya Reduksi menjadi bentuk eselon, dan berapa rank nya ? H21(1) H31(2) H32(-1) = U A = ~ ~ ~ Jadi bentuk eselon dari A adalah : Karena bentuk eselon U mempunyai tiga baris yang tidak nol, maka r(U) = 3, dan tentu juga r(A) = 3. U =

  18. Reduksi menjadi bentuk eselon untuk matriks : H31(1) H21(2) H32(-1) = U B = ~ ~ ~ Rank dari B adalah r(B) = 2 Bentuk eselon dari B adalah U = Reduksi menjadi bentuk eselon untuk matriks : H41(-1) H21(-3) H31(-2) ~ ~ C = ~ H32(-1) H42(-1) Jadi r(C) = 2 = U ~ ~

  19. Cari bentuk eselon daro matrik : A = ~ ~ r(A) = 2

  20. DEKOMPOSISI MATRIKS A = L U Untuk sembarang matriks A dengan melakukan OBE tipe II dan III, matriks A tersebut dapat di dekomposisi sebagai A = L U, dengan L matriks segitiga bawah, dan U matriks eselon. Jika A matriks persegi, maka U ini adalah matriks segitiga atas. Dekomposisikan matriks A = LU, jika : H32(1) H31(-3) H21(2) A = = U ~ ~ ~ Ini berarti bahwa : H32(1) H31(-3) H21(2) (A) = U A = E21(-2) E31(3) E32(-1) U = L U Jadi E32(1) E31(-3) E21(2) A = U L = = P A = U P-1 P A = P-1 U A = (E32(1) E31(-3) E21(2))-1 U A = L U dan U = A = (E21(2))-1 (E31(-3))-1 (E32(1))-1 U

  21. Dekomposisikan menjadi A = LU, jika : H31(2) H21(1) H41(1) H32(1) ~ ~ ~ ~ A = Jadi : H42(2) H43(-1) = U ~ ~ L = dan U= H43(-1) H42(2) H32(1) H41(1) H31(2) H21(1) (A) = U E43(-1) E42(2) E32(1) E41(1) E31(2) E21(1) A = L U A = U Jadi L = E21(-1) E31(-2) E41(-1) E32(-1) E42(-2) E43(1) = L =

  22. MEREDUKSI MATRIK MENJADI BENTUK ESELON BARIS TEREDUKSI (EBT) Bentuk EBT adalah bentuk eselon yang : a. Elemen pivot harus 1, b. Elemen pivot merupakan satu-satunya unsur yg tidak nol pada kolom di mana elemen pivot berada menjadi bentuk EBT ! Reduksi A = Solusi : langkah awal, bawa A menjadi bentuk eselon terlebih dahulu, kemudian teruskan dengan OBE sehingga dua syarat di atas dipenuhi. H12(2) H21(1) H32(-1) H1(-1) ~ A = ~ ~ ~ H31(2) H13(-3) Jadi bentuk EBT dari A adalah : ~ H23(-2)

  23. Telah diketahui dari bentuk EBT, jika diteruskan dengan OKE, suatu matriks dapat di bawa nenjadi bentuk normal. Bentuk normal (N) suatu matriks kemungkinannya salah satu dari bentuk : Ir (Ir 0) atau Oleh karena itu, untuk sembarang matriks A, maka dengan OBE dan OKE dapat di bawa menjadi bentuk normal N, sedemikian hingga : Hp . . H3 H2 H1 A K1 K2 K3 . . KQ = N Ep . . E3 E2 E1 A F1 F2 F3 . . FQ = N P A Q = N Di mana P adalah hasil penggandaan (perkalian) matriks elementer baris dan Q adalah hasil penggandaan matriks elementer kolom. Bergantung pada cara melakukan OBE dan OKE, banyaknya matriks P dan Q tidak tunggal. Tetapi setiap P mempunyai tepat satu pasangan Q sehingga P A Q = N.

  24. Bagaimana mendapatkan matriks P dan Q sehingga P A Q = N ? Karena P merupakan hasil penggandaan matriks elementer baris, maka P dapat dicari dengan jalan melakukan OBE terhadap I (identitas) dengan tipe OBE yang sama terhadap A sedemikian hingga A tereduksi menjadi bentuk eselon atau bentuk eselon baris tereduksi (EBT). Pada saat A tereduksi menjadi bentuk eselon atau bentuk EBT, maka I (identitas) akan tereduksi menjadi matriks baru, yaitu matriks P. Jadi (A | I) ~ (U | P) Sedangkan Q merupakan hasil penggandaan matriks elementer kolom, maka Q dapat dicari dengan jalan melakukan OKE terhadap I (identitas) dengan tipe OKE yang sama terhadap A (yang telah tereduksi menjadi U), sedemikian hingga U ini tereduksi menjadi bentuk normal N. Pada saat U tereduksi menjadi bentuk normal N, maka I (identitas) akan Tereduksi menjadi matriks baru, yaitu matriks Q. Jadi ~

  25. Cari matriks P dan Q sehingga PAQ = N, jika A = Solusi : H21(3) H32(1) ~ (A | I3) = ~ H31(-2) H1(-1) H12(1) = (U | P) ~ ~ K23 K21(1) = ~ = = ~ K43(2)

  26. serta N = dan Q = Jadi P = Dapat di cek kebenarannya bahwa : P A Q = N Dari bentuk normalnya, dapat diketahui bahwa rank dari A adalah r(A) = 2. Cari bentuk normal dari matriks B = Solusi : H21(-1) H3(-1/2) ~ (B | I3) = ~ H31(2) = (U | P)

  27. K21(-2) ~ = = K31(-2) = I3 N = dan Q = Jadi P = Dapat ditunjukkan bahwa PBQ = N = I. Perhatikan kembali bahwa B = Dapat dihitung det(B) = - 2 ≠ 0 Ini berarti r(B) = 3. Amati bahwa B matriks persegi dengan determinan ≠ 0, atau matriks B nonsingular, serta matriks B ini mempunyai bentuk normal berupa matriks I. Dengan kata lain, Bekivalen dengan matriks I.

  28. Jika A adalah matriks persegi yang nonsingular (determinannya tidak sama dengan nol), maka matriks A ekivalen dengan matriks I (identitas). Atau dengan kata lain, selalu ada matriks P dan Q sehingga PAQ = I Perhatikan kembali kasus matriks B, di atas, yaitu : H21(-1) H3(-1/2) (B | I3) = ~ ~ H31(2) Sampai di sini bisa saja diteruskan melakukan OBE, sehingga : = (U | P) H13(-2) H12(-2) ~ ~ = (I3 | P) = (N | P) Amati bahwa B matriks persegi nonsingular, dengan hanya melakukan OBE, matrik B dapat direduksi menjadi bentuk normal N = I.

  29. Jika A adalah matriks persegi yang nonsingular (determinannya tidak sama dengan nol), dengan hanya melakukan OBE maka matriks A dapat direduksi menjadi matriks I (identitas). Atau dengan kata lain, selalu ada matriks P sehingga PA = I Jika A adalah matriks persegi yang nonsingular (determinannya tidak sama dengan nol), dapat juga ditunjukkan bahwa hanya melakukan OKE maka matriks A dapat direduksi menjadi matriks I (identitas). Atau dengan kata lain, selalu ada matriks Q sehingga A Q = I Dari uraian tersebut dapat disimpulkan, jika A matriks persegi nonsingular, selalu ada matriks nonsingular P dan Q sedemikian hingga : 1. P A Q = I (melakukan OBE dan OKE terhadap A) 2. P A = I (hanya melakukan OBE terhadap A) 3. A Q = I (hanya melakukan OKE terhadap A)

More Related