Theorie der unscharfen Mengen

1. Theorie der unscharfen Mengen Wintersemester 2005/2006

2. Theorie der unscharfen Mengen Vorlesung Montags, 09.15–11.00h, MIB-1107 Übung Freitags (ungerade Woche), 09.15–11.00h, MIB-1107 Veranstalter Dr. Tatiana Starostina E-mail:Tatiana.Starostina@math.tu-freiberg.de Tel. 3786 Sprechstunde nach Vereinbarung

3. Theorie der unscharfen Mengen Literatur 1). Dirk H. Träger Einführung in die Fuzzy-Logik Teubner, Stuttgart, 1994. 2). Hans Bandemer und Siegfried Gottwald Einführung in die Fuzzy Methoden 4. Auflage, Akademie-Verlag, Berlin 1993 3). Hans Bandemer and Siegfried Gottwald Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Fuzzy Methods with Applications John Wiley & Sons, Chichester 1995. 4). George J. Klir and Bo Yuan Fuzzy Sets and Fuzzy Logic – Theory and Applications Prentice Hall, 1995. 5). Hans-Jürgen Zimmermann Fuzzy set theory and its applications 2nd ed., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991.

4. Theorie der unscharfen Mengen Geschichte Platon(427-347a.d.) Vermutung: es gibt eine dritte Region zwischen „wahr“ und „falsch“ Aristoteles(384-322a.d.) Das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten (bestimmt die Entwicklung mathematischer und logischer Systeme in den nächsten zwei Jahrtausenden)

5. Theorie der unscharfen Mengen Geschichte Moderne Philosophen wie G. Hegel und B. Russelnahmen Platons Vermutung wieder auf. Georg Hegel (1770-1831) B. Russell (1872-1970) Russel: „The law of the excluded middle is true, when precise symbols are employed, but it is not true, when symbols are vague, as, in fact, all symbols are.“

6. Theorie der unscharfen Mengen J. Lukasiewicz (1878-1956) Geschichte ● systematische Alternative zur zweiwertigen Logik ● „wahr (1)“, „possible (1/2)“, „falsch(0)“ ● später vier und fünfwertige Logik ● schließlich unendlichwertige Logik „alle Zahlen im Intervall [0,1]“ ● Verfahren zur numerischen Darstellung von Unschärfe von Symbolen (in Anlehnung an Russel) ● Definition der Ungenauigkeit oder Vagheit eines Symbols unter Zuhilfenahme des Komplements: es gibt mindestens ein Element, das weder vollständig zum Symbol noch vollständig zum Komplement gehört ● Menge der Elemente, die nicht eindeutig zugeordnet werden können: „frings“ = Fransen M. Black (1909-1988)

7. Theorie der unscharfen Mengen Geschichte Lotfi Zadeh (geb. 1921) • grundlegender Artikel „Fuzzy-Sets“ (1965) • Theorie der unscharfen Mengen • verbindet darin Blacks Idee der „frings“ mit • Lukasiewiczs unendlichwertiger Logik Theorie der unscharfen Mengen wurde durch die Beobachtung Lotfi ZADEHs ausgelöst, dass Menschen anscheinend in Kategorien denken und kommunizieren, die sich von den in Mengenlehre und Logik verwendeten (dualen) Strukturen unterscheiden. Dies war zwar schon früher erkannt worden, aber ZADEH war der erste, den diese Beobachtung zur Formulierung einer neuen Theorie veranlasste.

8. Theorie der unscharfen Mengen 70-iger Jahre:einige europäische Wissenschaftler befassten sich mit der unscharfen Logik und entwickelten erste erfolgreiche Anwendungen für industrielle Prozesse und Regelungen Geschichte 80-iger Jahre: ● Entdeckung des praktischen Nutzens in Japan: erste fuzzy-geregelte Waschmaschinen, Staubsauger → höherer Bedienkomfort, Aufsehen als denkende Konsumgüter ● erster Fuzzy-Regler in großtechnischer Anwendung → Vermutung als neues Universalwerkzeug der Regelungstechnik ● Skepsis in Europa, besonders in Deutschland → Qualitätsverbesserung bei Fuzzy-Einsatz oft durch zusätzliche Sensorik erreicht 90-iger Jahre: Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control von Hochschulen aufgegriffen → Fuzzy-Technologie keine vorübergehende Mode, sondern Revolution, die mit Denkgewohnheiten bricht und praktisch vorzeigbar Vorteile bringt → neuer Zweig der Regelungstechnik ist entstanden → Querschnittswissenschaft, die auch in nichttechnischen Bereichen Vorteile verspricht

9. Theorie der unscharfen Mengen Ziele der Theorie der unscharfen Mengen 1) Modellverbesserung (Relaxierung); 2) Komplexitätsreduktion; 3) Modellierung von Unsicherheit; 4) bedeutungserhaltendes Schließen.

10. Theorie der unscharfen Mengen Die wichtigste Anwendungen der unscharfen Mengen(methodische Sicht) Theoretische Anwendungen: Mathematik (Algebra, Logik usw.); Ökonomie; Psychologie. • Modellbasierte und algorithmische Anwendungen: • Unscharfe Optimierung; • Unscharfes Clustern; • Unscharfe Petri-Netze; • Unscharfe mehrkriterielle Analyse; • Unscharfe Netzplantechnik.

11. Theorie der unscharfen Mengen Die wichtigste Anwendungen der unscharfen Mengen Informationsverarbeitung: Unscharfe Datenbanken; Fuzzy-Programmiersprachen. • Wissensbasierte Anwendungen: • Fuzzy Control; • Unscharfe Datenanalyse; • Fuzzy-Expertensysteme.

12. Theorie der unscharfen Mengen Anwendungsgebiete • Wirtschaftswissenschaften; • Entscheidungstheorie; • Finanzdienstleistungen; • Mathematik: - Topologie; • - Algebra; • - Graphen und Netze; • - Optimierung usw. • Naturwissenschaften: • - Physik (Quantenmechanik, Strömungsdynamik); • - Chemie (Wirkstrukturanalyse); • - Medizin; • - Geologie, Ökologie usw. • Ingenieurwissenschaften: • - Regelung und Steuerung (Elektrotechnik, Maschinenbau); • - Automatisierung; • - Qualitätssicherung (unscharfe Datenanalyse).

13. Theorie der unscharfen Mengen Typen der Unsicherheit

14. Theorie der unscharfen Mengen Klassische Mengen

15. Theorie der unscharfen Mengen Klassische Mengen Beispiel Die Grundmenge X ist über folgende Fahrzeuge gegeben: DreiradTraktorTrabantVW Golf Porsche Formel1Flugzeug -Wagen ca. 2km/h50 km/h100 km/h180 km/h250 km/h350 km/h800 km/h

16. Theorie der unscharfen Mengen Klassische Mengen Beispiel Die Menge A der schnellen Fahrzeuge: A={Flugzeug} Dreirad Traktor Trabant VW Golf Porsche Formel1 Flugzeug

17. Theorie der unscharfen Mengen Klassische Mengen Beispiel Die Menge A der schnellen Fahrzeuge: A={VW Golf, Porsche, Formel1, Flugzeug} Dreirad Traktor Trabant VW Golf Porsche Formel1 Flugzeug

18. Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe Mengen Mathematische Notation nach ZADEH: • für endliche unscharfe Mengen: • für „stetige“ unscharfe Mengen:

19. Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe Mengen

20. Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe Mengen Beispiel Abb. Darstellung der unscharfen Menge „Schnell“ = {(Dreirad; 0), (Traktor; 0,1), (Trabant; 0,2), (VW Golf; 0,4), (Porsche; 0,6), (Formel1; 0,7), (Flugzeug; 1)}.

21. Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe Mengen Unscharfe Mengen werden durch Zugehörigkeitsfunktionen (ZGF) repräsentiert. Die Art der Darstellung ist von der Grundmenge X abhängig. X hat endlich viele Elemente Besitzt X sehr viele Elemente oder X istein Kontinuum, z.B. kontinuierliche Messgrößen  diskrete Darstellung von ZGFparametrische Darstellung von ZGF

22. Theorie der unscharfen Mengen 1  0 a b d x Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktionen 1) Trapezförmige mita < b < c < d . 2) Dreieckförmige (Trianguläre)

23.  Theorie der unscharfen Mengen 1 0 a b x Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktionen • 3) Monoton fallende Funktion • lineare Funktion: (L-Funktion) • geglättete Funktionen:

24. Theorie der unscharfen Mengen  1 0 a b x Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktionen • 4) Monoton steigende Funktion • lineare Funktion: (-Funktion) • geglättete Funktion: • (geglättete -Funktion)

25. Theorie der unscharfen Mengen Weitere Typen der Zugehörigkeitsfunktionen Zadeh‘s S-Funktion Die Funktion des Exponentialtyps

26. Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe Mengen Definitionen Beispiel[Zimmermann, 1991]: Träger: = {80, 100, 120, 140, 160}

27. Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe Mengen Definitionen

28. Theorie der unscharfen Mengen 1 (x)  A 0 x -Niveaumengen

29. Theorie der unscharfen Mengen Klassische Mengen Operationen

30. Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe Mengen Operationen

31. Theorie der unscharfen Mengen Operationen von unscharfen Mengen

32. Theorie der unscharfen Mengen Operationen von unscharfen Mengen

33. Theorie der unscharfen Mengen Operationen von unscharfen Mengen

34. Theorie der unscharfen Mengen Operationen von unscharfen Mengen

35. Theorie der unscharfen Mengen Operationen von unscharfen Mengen

36. Theorie der unscharfen Mengen Operationen von unscharfen Mengen

37. Theorie der unscharfen Mengen Operationen von unscharfen Mengen

38. Theorie der unscharfen Mengen Folgerung

39. Theorie der unscharfen Mengen Eigenschaften von klassischen Mengen

40. Theorie der unscharfen Mengen Eigenschaften von unscharfen Mengen M = {a, b, c}

41. Theorie der unscharfen Mengen Eigenschaften von klassischen Mengen

42. Theorie der unscharfen Mengen Eigenschaften von unscharfen Mengen